付俊強(qiáng)，張新娜，何 鑫

（1．洛陽(yáng)理工學(xué)院，河南 洛陽(yáng)471023；2．中原工學(xué)院，鄭州450007）

DQM求解功能梯度圓板軸對(duì)稱線性彎曲問題研究

付俊強(qiáng)1，張新娜1，何 鑫2

（1．洛陽(yáng)理工學(xué)院，河南 洛陽(yáng)471023；2．中原工學(xué)院，鄭州450007）

基于一階剪切變形板理論，研究了功能梯度圓板在均布機(jī)械載荷作用下的軸對(duì)稱線性彎曲問題．假設(shè)功能梯度材料性質(zhì)只沿板厚方向變化，且服從冪函數(shù)規(guī)律，推導(dǎo)了該問題的控制方程，考慮固支邊界條件，用微分求積法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解．利用求解結(jié)果討論了功能梯度材料的梯度參數(shù)、板厚半徑比對(duì)圓板線性彎曲的影響．

功能梯度材料；圓板；微分求積法；線性彎曲

功能梯度材料（Functionally Graded Materials，F(xiàn)GM）通常是由陶瓷和金屬?gòu)?fù)合而成的一種高性能復(fù)合材料，它能夠充分發(fā)揮陶瓷耐高溫、抗腐蝕和金屬?gòu)?qiáng)度高、韌性好的特點(diǎn)，還能很好地解決金屬和陶瓷強(qiáng)行匹配而引起的粘結(jié)強(qiáng)度低、熱膨脹系數(shù)不協(xié)調(diào)等問題．FGM概念自1984年由日本科學(xué)家提出以來，受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注．Reddy J N等基于一階剪切變形的Mindlin板理論，討論了FGM圓形板和環(huán)形薄板的軸對(duì)稱小撓度彎曲問題，利用經(jīng)典板理論解和一階剪切變形板理論解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，導(dǎo)出了多種邊界條件下的解析解［1］；Ma L S和 Wang T J采用三階剪切變形板理論，并利用與文獻(xiàn)［1］類似的分析方法，研究了FGM板的軸對(duì)稱非線性彎曲問題［2］；劉進(jìn)等基于一階剪切變形板理論，利用微分容積法求解四邊簡(jiǎn)支和四邊固支FGM矩形板的線性彎曲［3］；陳海勝等根據(jù)虛功原理，采用懲罰函數(shù)法滿足本征邊界條件，得到FGM板彎曲的無網(wǎng)格法控制方程，并給出了數(shù)值算例［4］；王鐵軍等基于一階剪切變形板理論，研究了在熱／機(jī)載荷作用下的FGM圓／環(huán)板軸對(duì)稱彎曲問題，獲得了位移和內(nèi)力的一般解析解［5］．

本文基于一階剪切變形理論，推導(dǎo)FGM圓板線性彎曲的控制方程，并利用微分求積法（Differential Quadrature Method，DQM）［6－7］將其離散，考慮固支邊界條件，對(duì)方程數(shù)值求解，并利用求解結(jié)果討論材料的梯度性質(zhì)、載荷條件、板厚與半徑比值等對(duì)圓板線性彎曲的影響．

1 控制方程

選取半徑為r、厚度為h的功能梯度材料圓板，上表面為純陶瓷，下表面為純金屬，上下表面之間是由陶瓷到金屬的連續(xù)過渡，在板的上表面施加均布載荷q．

FGM是一種非均勻復(fù)合材料，其組分的體積分?jǐn)?shù)隨空間坐標(biāo)變化而變化．因此，彈性模量E為位置坐標(biāo)的函數(shù)．在工程中最常用的FGM是組分僅在某一方向上隨坐標(biāo)變化的功能梯度材料．本文研究的FGM材料梯度僅發(fā)生在圓板的厚度方向，并采用冪函數(shù)形式的體積分?jǐn)?shù)函數(shù)來近似模擬FGM板厚度方向的組分變化規(guī)律．

設(shè)金屬組分的體積含量沿厚度方向的變化形式為：

則陶瓷組分的體積含量應(yīng)為：

彈性模量E表示為：

式中：c、m分別表示陶瓷和金屬成分；Vm表示金屬相的體積分?jǐn)?shù)；z是板的厚度坐標(biāo)（－h(huán)／2≤z≤h／2）；n是冪指數(shù)（0≤n＜ ∞），它取不同的值代表成分含量不同的功能梯度材料（見圖1）．顯然，板的上表面（z＝h／2）為純陶瓷，下表面（z＝－h(huán)／2）為純金屬．

圖1 金屬材料體積分?jǐn)?shù)沿板厚方向的變化圖

一階剪切變形板理論所基于的位移場(chǎng)U為［5］：

式中：u表示由于材料的非均勻性引起的中面位移；w表示中面上的徑向位移；φ表示板的中面法線轉(zhuǎn)動(dòng)．FGM圓板在橫向均布載荷q的作用下，力形式的平衡方程為［8］：

根據(jù)位移場(chǎng)，可得幾何方程：

式（5）、式（6）中的下標(biāo)“，”表示對(duì)后面變量的求導(dǎo)．

假設(shè)材料為線彈性的，則可得應(yīng)力：

引入內(nèi)力矢量：

將式（6）代入式（7）得到應(yīng)力，將式（7）代入式（8）式得到內(nèi)力，將式（8）代入（5）式得到位移形式的控制方程．引入無量綱量：x＝r／b，ˉw＝w／h，ˉu＝ub／h2，ˉφ＝φb／h，經(jīng)過推導(dǎo)后，仍用w代替ˉw，u代替ˉu，φ代替ˉφ，可得到所分析問題的無量綱化平衡方程：

上式中，剛度系數(shù)定義為：

是剪切修正系數(shù)．

2 DQM計(jì)算

DQM本質(zhì)上是用整個(gè)計(jì)算區(qū)域上所有節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值的加權(quán)來近似代替函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，因此將微分方程組轉(zhuǎn)化為以節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值為未知量的代數(shù)方程組，求解該代數(shù)方程組，即得原微分方程組的數(shù)值解．構(gòu)造DQM就是構(gòu)造插值基函數(shù)，插值基函數(shù)選取的好壞是直接決定DQM求解微分方程定解問題能否成功的關(guān)鍵．利用DQM解決這個(gè)問題時(shí)，必須把問題的求解區(qū)間正則化為［0，－1］或［－1，1］，然后選取合理分布的節(jié)點(diǎn)．

圓板的固支邊界條件為：

圓板中心處的條件為：

用DQM對(duì)邊界條件進(jìn)行離散：

考慮邊界條件后，對(duì)式 （9）進(jìn)行DQM離散得：

式中：v

3 求解結(jié)果及討論

假設(shè)FGM 圓板由不銹鋼（SUS304）和陶瓷（Si3N4）復(fù)合而成，不銹鋼的彈性模量Em＝201．04 GPa，泊松比vm＝0．326 2；陶瓷的彈性模量Ec＝348．43 GPa，泊松比vc＝0．24．

圖2所示為厚度h＝1 cm，半徑r＝30 cm的FGM圓板在橫向均布載荷q＝1 500 k N／cm時(shí)的彎曲構(gòu)形．可以看出：在固支邊界條件下，圓板受均布的機(jī)械載荷作用，板的中心（x＝0）處彎曲的變形量最大，從中心向外移動(dòng)（x的數(shù)值增大）時(shí)，彎曲變形量變小，直至為0；受相同的機(jī)械載荷作用時(shí)，F(xiàn)GM圓板的梯度參數(shù)n的值越大，中心撓度越小，n＝∞時(shí)為純陶瓷圓板，中心撓度最小，n＝0時(shí)為純金屬圓板，中心撓度最大，而具有中間材料性質(zhì)的FGM圓板的中心撓度介于二者之間．

圖3所示為厚度h＝1 cm，半徑r＝30 cm的FGM圓板在不同數(shù)值的均布機(jī)械載荷作用下，圓板中心撓度w（0）的數(shù)值．可以看出：FGM圓板的中心撓度w（0）隨著載荷q的增大呈線性增加；機(jī)械載荷越大，梯度參數(shù)n對(duì)FGM圓板中心撓度的影響也越明顯．

圖2 FGM圓板彎曲構(gòu)形

圖4所示為不同板厚半徑比的FGM圓板，在均布機(jī)械載荷q＝1 500 k N／cm作用下對(duì)應(yīng)的中心撓度．可以看出：機(jī)械載荷不變情況下，不同梯度參數(shù)的FGM圓板的中心撓度隨著板厚半徑比的增大而迅速減小，當(dāng)板厚半徑比增大到一定程度后，圓板中心撓度的變化就不再明顯．

4 結(jié) 語

圖3 FGM圓板的中心撓度－載荷曲線

基于一階剪切變形板理論，推導(dǎo)了功能梯度材料圓板在均布機(jī)械載荷作用下的軸對(duì)稱線性彎曲問題的控制方程，用微分求積法進(jìn)行了數(shù)值求解，并討論了梯度參數(shù)、板厚半徑比對(duì)功能梯度材料圓板彎曲的影響．通過使用微分求積法計(jì)算，可知該方法所得到的數(shù)值收斂性較好．該方法數(shù)學(xué)原理簡(jiǎn)單、效率較高、可操作性強(qiáng)，易于工程上應(yīng)用．

圖4 FGM圓板中心撓度隨板厚半徑比的變化曲線

［1］Reddy J N，Wang C M，Kitipornchai S．Axisymmetric Bending of Functionally Graded Circular and Annular Plates［J］．European Journal of Mechanics－A／Solids，1999，18：185－199．

［2］Ma L S，Wang T J．Nonlinear Bending and Post－buckling of a Functionally Graded Circular Plate under Mechanical and Thermal Loadings［J］．International Journal of Solids and Structures，2003，40：3311－3330．

［3］劉進(jìn)，武蘭河，張曉煒．功能梯度材料板的彎曲問題［J］．石家莊鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，16（2）：1－5．

［4］陳海勝，程昌鈞．求解功能梯度材料板彎曲問題的無網(wǎng)格法［J］．上海大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，13（3）：299－303．

［5］王鐵軍，馬連生，石朝鋒．功能梯度中厚圓／環(huán)板軸對(duì)稱彎曲問題的解析解［J］．力學(xué)學(xué)報(bào)，2004，36（3）：348－353．

［6］王鑫偉．微分求積法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用［J］．力學(xué)進(jìn)展，1995，25（2）：232－240．

［7］劉洋，楊永波．軸向均布載荷下壓桿穩(wěn)定問題的DQ解［J］．力學(xué)與實(shí)踐，2005，27（4）：44－47．

［8］馬連生，趙永剛，楊靜寧．功能梯度圓板的軸對(duì)稱非線性分析大撓度問題［J］．蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，30（6）：139－142．

Study on the Question of Axisymmetric Linear Bending of Functionally Graded Circular Plate by Differential Quadrature Method

FU Jun－qiang1，ZHANG Xin－na1，HE Xin2
（1．Luoyang Institute of Science and Technology，Luoyang 471023；2．Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China）

Based on the first－order shear deformation plate theory，the functional gradient materials circular plate of axisymmetric linear bending problem under machinery loading effect is studied．The material properties of functionally graded material are assumed to vary continuously only along thickness wise direction in the plate，and obey a simple power law of the volume fraction of the constituents．Governing equations for the problem are derived．considering fixed supported boundary conditions，and then a differential quadrature method is employed to numerically solve the equations．Effects of gradient material properties，the ratio of the thickness and radius on bending behavior of the plate are discussed in details by using the numeric solution obtained．

functionally graded material；circular plate；differential quadrature method；linear bending．

O343

A

10．3969／j．issn．1671－6906．2011．02．015

1671－6906（2011）02－0055－04

2010－12－21

付俊強(qiáng)（1981－），男，河南洛陽(yáng)人，碩士．