徐麗媛，陳良云

（1.白城師范學院數(shù)學系，吉林 白城，137000；

2.東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 長春 130024）

·研究簡報·

關于代數(shù)整數(shù)與代數(shù)數(shù)的一個注記

徐麗媛1，陳良云2

（1.白城師范學院數(shù)學系，吉林 白城，137000；

2.東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 長春 130024）

證明了代數(shù)數(shù)是有理數(shù)系數(shù)方陣的特征值，代數(shù)整數(shù)是整數(shù)系數(shù)方陣的特征值.由此出發(fā)，完全用線性代數(shù)與矩陣計算的方法簡潔地證明了代數(shù)整數(shù)對加減法和乘法封閉，從而構成一個環(huán)（代數(shù)整數(shù)環(huán)）；所有代數(shù)數(shù)對加減乘除封閉，從而構成一個域（代數(shù)數(shù)域）.

代數(shù)數(shù)；代數(shù)整數(shù)；特征值

代數(shù)整數(shù)對加減法和乘法封閉，從而構成一個環(huán)，這是代數(shù)史上一個重要的結論，它的證明要用到模的理論［1－4］.而本文完全用高等代數(shù)的方法，更直觀明了地證明了這一結論.

在本文中，約定以下符號：

C表示復數(shù)域，C［x］表示以復數(shù)為系數(shù)的x的多項式的集合；

R表示實數(shù)域，R［x］表示以實數(shù)為系數(shù)的x的多項式的集合；

Z表示整數(shù)環(huán)，Z［x］表示以整數(shù)為系數(shù)的x的多項式的集合；

Q表示有理數(shù)域，Q［x］表示以有理數(shù)為系數(shù)的x的多項式的集合；

Zm×n表示元素在Z中的m行，n列的矩陣的集合；

In表示n階單位矩陣.

設α是一個復數(shù)，如果α是一個有理系數(shù)的多項式ɡ（x）的零點，即ɡ（α）＝0.那么以α為零點的次數(shù)最低的首項系數(shù)為1的有理系數(shù)多項式f（x）是Q上的不可約多項式，而且f（x）｜ɡ（x）.

由h（x）是首一多項式，故F（x）與－F（x）也有一個是首一多項式，故f（x）＝±F（x）∈Z［x］.即α是代數(shù)整數(shù).

例2 任何單位根均為代數(shù)整數(shù).

這是因為n次單位根ξ是首一多項式xn－1的零點.

定理2α是代數(shù)數(shù)當且僅當α是Q上某個方陣A的特征值.α是代數(shù)整數(shù)當且僅當α是Z上某個方陣A的特征值.

證明 由于A的特征多項式f（λ）＝det（λIn－A）是首一多項式.

當A∈Qn×n時，f（λ）∈Q［λ］.于是A的特征值是代數(shù)數(shù).

當A∈Zn×n時，f（λ）∈Z［λ］.于是A的特征值是代數(shù)整數(shù).

反之，設

故α是A的特征值.因此定理2成立.

定理3C中代數(shù)整數(shù)構成的集合對加法、減法與乘法封閉（即構成環(huán)）；所有的代數(shù)數(shù)構成一個域，任何代數(shù)數(shù)是代數(shù)整數(shù)的商.

證明代數(shù)數(shù)的集合，代數(shù)整數(shù)的集合都是非空的，下面證明對加法與乘法封閉.

設α，β是兩個代數(shù)數(shù)（代數(shù)整數(shù)）.由定理2，可假定它們分別為Q（Z）上方陣

注上面定理也可敘述為：所有代數(shù)數(shù)構成一個域，稱為代數(shù)數(shù)域；所有代數(shù)整數(shù)構成一個環(huán)，稱為代數(shù)整數(shù)環(huán).

［1］ 馮克勤.代數(shù)數(shù)論入門［M］.上海：上?？茖W技術出版社，1988：18.

［2］ 宋天光.交換代數(shù)導引［M］.合肥：中國科學技術出版社，2002：127.

［3］ 孟道驥.高等代數(shù)與解析幾何［M］.第2版.北京：科學出版社，2004：116-120，237-244.

［4］ 吳顯峰，陳良云.Engel定理及其應用［J］.東北師大學報：自然科學版，2009，32（4）：5-8.

A note about algebric integer and algebra number

XU Li-yuang1，CHENG Liang－yun2

（1.School of Mathematics，Baicheng Normal College，Baicheng 137000，China；
2.School of Mathematics and Staistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，Chian）

In this paper，it is proved that an algebraic number can be seen as an eigenvalue of a matrix over rational field，and an algebraic integer can be seen as an eigenvalue of a matrix over integral ring.Then the important conclusion in mathematics that all algebraic integers form a ring and the field of its fractions is an algebraic number field is directly and clearly proved，in history the prove of this conclusion is much difficult for people to understand.

algebraic number；algebraic integer；eigenvalu

O 110·21

110.21

A

1000-1832（2011）03-0151-03

2010-01-10

吉林省自然科學基金資助項目（20101564）；吉林省教育廳科研項目（吉教合字2010第128號）.

徐麗媛（1978—），女，碩士，講師，主要從事李代數(shù)、李超代數(shù)研究；陳良云（1974—），男，博士，副教授，博士研究生導師，主要從事模李超代數(shù)理論與應用研究.

陶 理）