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        基于非交換代數(shù)結(jié)構(gòu)的公鑰密碼體制

        2011-12-25 09:20:56李紹華尚緒鳳
        關(guān)鍵詞:同態(tài)共軛公鑰

        李紹華,尚緒鳳

        (中國計量學(xué)院理學(xué)院,浙江杭州 310018)

        基于非交換代數(shù)結(jié)構(gòu)的公鑰密碼體制

        李紹華,尚緒鳳

        (中國計量學(xué)院理學(xué)院,浙江杭州 310018)

        提出了一個新的基于非交換代數(shù)結(jié)構(gòu)的Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議,并在此基礎(chǔ)上建立了一個新的公鑰密碼體制.它的安全性取決于一個基本問題的困難性,而這個基本問題是共軛搜索問題和Diffie-Hellman問題的結(jié)合變形問題.最后將提出的體制應(yīng)用到數(shù)字簽名方案中,并給出一個類似于ElGamal的簽名方案.

        非交換代數(shù)結(jié)構(gòu);Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議;扭共軛搜索問題;公鑰密碼體制

        0 引言

        隨著密碼技術(shù)的發(fā)展,非交換代數(shù)結(jié)構(gòu)已成為構(gòu)造密碼體制的一個趨勢,也引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注.許多優(yōu)秀的以非交換結(jié)構(gòu)為平臺的密碼體制相繼提出[1-2],例如辮群就是一個很好也很重要的平臺.非交換結(jié)構(gòu)中常見的問題是共軛搜索問題和Diffie-Hellman問題.本文將提出一個基本問題,它是共軛搜索問題和Diffie-Hellman問題的結(jié)合問題,本文提出的方案就是基于該基本問題,并且適用于一般的非交換結(jié)構(gòu).文獻[1]也提出了一個類似的問題,但是是以辮群為指定的平臺進行討論的.

        共軛搜索問題:已知x,y∈G,且x與y互為共軛的,找出a∈G,s.t:y=axa-1.共軛搜索問題還有一個推廣,即扭共軛搜索問題[3]:已知x,y∈G,φ,ψ∈End( G),*為G上的反同態(tài),找出a∈G,s.t:y=ψ(a) xφ( a*).這一問題比一般的共軛搜索問題更為不平凡,并且更適合于構(gòu)造復(fù)雜的密碼體制.再給出DH問題:已知g,gkA,gkB∈F,計算gkAkB.Diffie-Hellman問題也有一個推廣的問題,即:令φ,ψ∈Aut( G),且φψ=ψφ,已知a,φ(a),ψ(a),求φ( ψ(a)).本文使用的基本問題:設(shè)G是非交換的代數(shù)結(jié)構(gòu),已知x∈G且x?Z( G),φ,ψ是G到Z( G)上的同態(tài),*為G上的反同態(tài),y1=ψ(a) xφ( a*),y2=ψ(b) xφ( b*),a,b∈G是隱藏的,計算ψ(a) y2φ( a*)或ψ(b) y1φ( b*).此問題可以看成共軛搜索問題和Diffie-Hellman問題的一個變形,它顯然比一般的共軛搜索問題和Diffie-Hellman問題更難解決.一般的共軛搜索問題存在所謂的“基于長度的攻擊”,一些試探性的算法已經(jīng)顯示出非常高的成功率[4-7].而考慮我們所提出的基本問題時,線性攻擊似乎是不可行的,見文獻[3]中的具體分析.

        注:在非交換結(jié)構(gòu)中,ψ(a) y2φ( a*)不一定等于ψ(b) y1φ( b*),而由于φ,ψ是G到Z( G)上的同態(tài),故兩者是相等的.這是共軛問題應(yīng)用到Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議的關(guān)鍵問題,文獻[1]中是利用辮群的自身結(jié)構(gòu)來解決這一問題的,而本文通過同態(tài)的選取可將方案推廣到一般的非交換結(jié)構(gòu)中.

        1 提出的方案

        1.1 非交換群上的Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議

        假設(shè)Alice想與Bob達(dá)成一個會話密鑰,G是非交換群,公開信息為x∈G-Z(G),φ,ψ:G→Z( G),G上的反同態(tài)*,協(xié)議如下

        (1)Alice選取隨機元a∈G,計算y1=ψ(a) xφ( a*),并將y1發(fā)給Bob;

        (2)Bob選取隨機元b∈G,計算y2=ψ(b) xφ( b*),并將y2發(fā)給Alice;

        (3)Alice和Bob分別計算KA=ψ(a) y2φ( a*)和KB=ψ(b) y1φ( b*).

        由于

        故達(dá)成的會話密鑰為K=KA=KB.

        1.2 非交換群上的公鑰密碼體制

        利用上面的協(xié)議,建立一個新的公鑰密碼體制.令G為非交換群,H:G→{0,1}k是一個適當(dāng)選取的雜湊函數(shù).

        (1)密鑰生成系統(tǒng)選擇x∈G-Z( G),兩同態(tài)φ,ψ:G→Z( G),和G上的一個反同態(tài)*.A選擇隨機元a∈G,計算y= ψ(a) xφ( a*),則A的公鑰為(x,y),私鑰為a.

        (2)加密給定消息m∈{0,1}k,假設(shè)B要將m發(fā)給A,則B選擇隨機元b∈G,利用A的公鑰計算c=ψ(b) xφ( b*),d= H( ψ(b) yφ( b*))⊕m,密文為(c,d).

        (3)解密A收到密文(c,d),利用私鑰解密得m=H( ψ(a) cφ( a*))⊕d.

        以上體制是正確的,因為

        2 應(yīng)用

        上一節(jié)提出的公鑰密碼體制可以用于構(gòu)造各種數(shù)字簽名方案.下面給出一個類似于ElGamal的簽名方案.

        設(shè)G為非交換群,x∈G-Z( G),兩同態(tài)φ,ψ:G→Z( G),反同態(tài)設(shè)為元素的逆運算.假設(shè)用戶要為消息m簽名.

        (1)選擇隨機元a∈G,計算y=ψ(a) xφ( a*);

        (2)選擇隨機元k∈G,計算r=ψ( k-1)xφ(k),z=ψ( r-1)yφ(r);

        (3)計算δ,s.t:m=δk(ar)-1.

        最后得到的簽名為(m,z,δk).這里a可以看做簽名人的私鑰,公鑰為y,保密信息為(a,k,r,δ).

        接收者收到簽名后,計算L=ψ(m) xφ( m-1),R=ψ( δk) zφ((δk)-1),當(dāng)且僅當(dāng)L=R時接受簽名.

        此簽名方案是正確的,因為

        3 結(jié)束語

        本文將一般的共軛搜索問題與Diffie-Hellman問題相結(jié)合提出了一個基本問題,這個問題的困難性不低于共軛搜索問題和Diffie-Hellman問題.在此基礎(chǔ)上提出了新的Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議和新的公鑰密碼體制,并且提出了一個數(shù)字簽名方案.我們的體制比一般的基于共軛搜索問題或Diffie-Hellman問題的方案更有優(yōu)勢.一方面是提出的基本問題能更好地抵抗線性攻擊,另一方面我們的方案對一般的非交換結(jié)構(gòu)都是適用的,更具有普遍性.

        [1]KO K H,LEE S J,CHEON J H.New public key cryptosystem using braid groups[J].Lecture Notes in Computer Science,2000,30(1880): 166-183.

        [2]PAENG S H,HA K C,KIM J H,et al.New public key cryptosystem using finite non Abelian groups[J].Lecture Notes in Computer Science,2001,31(2139):470-485.

        [3]SHPILRAIN V,USHAKOV A.An authentication scheme based on the twisted conjugacy problem[J].Lecture Notes in Computer Science,2008,38(5037):366-372.

        [4]GARBER D,KAPLAN S,TEICHER M,et al.Probabilistic solutions of equations in the Braid group[J].Advances in Applied Mathematics,2005,35(3):323-334.

        [5]GARBER D,KAPLAN S,TEICHER M,et al.Length-based conjugacy search in the Braid group[J].Contemp Math Amer Math Soc,2006,54 (418):75-87.

        [6]MYASNIKOV A D,USHAKOV A.Length based attack in braid groups[J].Lecture Notes in Computer Science,2007,37(4450):76-88.

        [7]RUINSKIY D,SHAMIR A,TSABAN B.Cryptanalysis of group-based key agreement protocols using subgroup distance functions[J].Lecture Notes in Computer Science,2007,37(4450):61-75.

        NEW Public Key Cryptosystem Using Non-Abelian Algebra Structures

        LI Shao-hua,SHANG Xu-feng

        (Colleg of Science,China Jiliang University,Hangzhou 310018,China)

        Propose a new Diffie-Hellman key exchange scheme based on non-Abelian algebra structures and also propose a new public key cryptosystem based on the proposed scheme.The security of this scheme relies on the difficulty of a base problem,which combines the conjugacy search problem with the Diffie-Hellman problem,and which is a transformation problem.At last,apply the proposed cryptosystem to a signature scheme which is similar to ElGamal scheme.

        non-Abelian algebra structure;Diffie-Hellman key exchange scheme;twisted conjugacy search problem;public key cryptosystem

        TP309.7

        A

        1007-0834(2011)03-0035-02

        10.3969/j.issn.1007-0834.2011.03.012

        2011-05-23

        國家自然科學(xué)基金資助項目(11071081);浙江省自然科學(xué)基金杰出青年團隊項目(R1090138)

        李紹華(1986—),男,黑龍江哈爾濱人,中國計量學(xué)院理學(xué)院.

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