鄭應(yīng)燈,姚欲波,盧海雯,陳雪東

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江湖州 313000)

醫(yī)院病床合理安排的隨機(jī)模擬與分析*

鄭應(yīng)燈,姚欲波,盧海雯,陳雪東

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江湖州 313000)

采用運(yùn)籌學(xué)排隊(duì)論原理對(duì)醫(yī)院門(mén)診病人的排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行研究,提出醫(yī)院病床設(shè)置的最佳值,并與醫(yī)院現(xiàn)在的住院安排做對(duì)比,為醫(yī)院的管理模式提供改進(jìn)建議和科學(xué)的理論依據(jù).同時(shí),應(yīng)用核密度估計(jì)初步判斷病人的術(shù)后恢復(fù)時(shí)間,以及規(guī)定時(shí)間段內(nèi)出院的病人人數(shù).該方法可以應(yīng)用于醫(yī)院各類(lèi)疾病的病床安排和時(shí)間估計(jì),是一種科學(xué)、有效的方法.

病床安排;排隊(duì)論;核密度估計(jì);隨機(jī)模擬;模型優(yōu)化

MSC 2000:90B22

0 引言

隨著醫(yī)療水平和服務(wù)水平的提高,病床利用的最優(yōu)化問(wèn)題受到了廣泛關(guān)注.排隊(duì)論是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支[1],其研究目的是如何改進(jìn)服務(wù)機(jī)構(gòu)或組織被服務(wù)的對(duì)象,使得某種指標(biāo)達(dá)到最優(yōu).用排隊(duì)論方法研究病床安排問(wèn)題在這種背景環(huán)境下應(yīng)運(yùn)而生.

我們從醫(yī)療水平的進(jìn)一步提高方面對(duì)病床利用率的優(yōu)化,以及從增加病床的數(shù)量方面對(duì)病床利用率的優(yōu)化進(jìn)行了研究.本文將根據(jù)所有病人住院時(shí)間長(zhǎng)短的規(guī)律,將病床分為短期、中期、長(zhǎng)期三類(lèi),構(gòu)造病床分配模型[2],運(yùn)用排隊(duì)理論中的穩(wěn)定狀態(tài)平衡方程,對(duì)病床分布情況進(jìn)行分類(lèi)優(yōu)化,提高病床的利用率,并用實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證.由于疾病種類(lèi)比較多,在安排病人的入院及入院后的手術(shù)問(wèn)題上就顯得比較復(fù)雜.住院部的床位不足,常出現(xiàn)病人等待時(shí)間延長(zhǎng),排隊(duì)成龍,病人的滿(mǎn)意度下降,手術(shù)工作忙亂,甚至引起醫(yī)患糾紛;床位太多,則造成不必要的閑置,浪費(fèi)資源.例如,某住院部對(duì)全體非急癥病人按照 FCFS(First Come,First Serve)規(guī)則安排住院,造成等待住院病人隊(duì)列越來(lái)越長(zhǎng).本文運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)的排隊(duì)論理論,通過(guò)對(duì)住院部待床排隊(duì)系統(tǒng)的研究,科學(xué)、準(zhǔn)確地描述排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律性;對(duì)床位安排進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)運(yùn)營(yíng)[3],提出科學(xué)、有效的整改措施,從而最大限度地滿(mǎn)足病人及家屬的需要.

1 問(wèn)題的分析解答

1.1 確定住院病人

為建立合理的病床安排模型,確定第二天應(yīng)該安排哪些病人住院,我們考慮一個(gè)排隊(duì)論模型[4].當(dāng)天出院的病人相當(dāng)于接受服務(wù)之后的人,而第二天入院的病人相當(dāng)于剛接受服務(wù)的人.假設(shè)記錄了一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)進(jìn)入狀態(tài)n和離開(kāi)狀態(tài)n的次數(shù),則因?yàn)椤斑M(jìn)入”和“離開(kāi)”是交替發(fā)生的,所以這兩個(gè)數(shù)要么相等,要么相差為1.但就這兩件事件的平均發(fā)生率來(lái)說(shuō),可以認(rèn)為是相等的,即當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行相當(dāng)時(shí)間而達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)后,對(duì)任一狀態(tài)n來(lái)說(shuō),單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入該狀態(tài)的平均次數(shù)和單位時(shí)間內(nèi)離開(kāi)該狀態(tài)的平均次數(shù)應(yīng)該相等.這就是系統(tǒng)在統(tǒng)計(jì)平衡下的“流入 =流出”原理.根據(jù)這一原理,可得到如下任一狀態(tài)下的平衡方程:

在(0,2λ)區(qū)間內(nèi)累積積分值可近似為1(λ≥3),如圖1、圖2所示.

雖然病人的到達(dá)為possion流,到達(dá)的顧客數(shù)服從possion分布,但通過(guò)SPSS相關(guān)統(tǒng)計(jì)分析可知,顧客的服務(wù)時(shí)間不服從負(fù)指數(shù)分布[5],而是服從正態(tài)分布,具體如圖3、圖4所示.

運(yùn)用SPSS做Q-Q圖,對(duì)服務(wù)時(shí)間服從正態(tài)分布進(jìn)行檢驗(yàn),可以從圖3、圖4中看到服從的效果非常好.

我們不按照傳統(tǒng)排隊(duì)論中的Little公式計(jì)算相關(guān)指標(biāo),而是建立具體的關(guān)系圖.醫(yī)院是按照FCFS(First come,First serve)規(guī)則安排病人住院的[6].而我們建立的模型是按照不同的病種類(lèi)型刻畫(huà)出優(yōu)先級(jí),并根據(jù)優(yōu)先級(jí)安排病床,在優(yōu)先級(jí)數(shù)目相同的條件下,先到先安排[7].

下面主要以眼科疾病的病床安排為例進(jìn)行討論.

根據(jù)一個(gè)眼科專(zhuān)科醫(yī)院的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,眼科疾病主要分為4大類(lèi):白內(nèi)障(單眼或雙眼)、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷.外傷屬急癥,就診時(shí)只要有空床就安排住院,第二天安排手術(shù).白內(nèi)障手術(shù)前的準(zhǔn)備為1～2天,手術(shù)安排在周一和周三,如果是雙眼,周一做一只,周三做一只.另外兩種病手術(shù)前的準(zhǔn)備為2～3天,考慮到醫(yī)生資源,不安排在周一和周三.其他眼科疾病比較復(fù)雜,有各種不同情況,但大致在住院以后的2～3天內(nèi)就可以接受手術(shù),主要是術(shù)后的觀(guān)察時(shí)間較長(zhǎng).

在編程中,外傷要特殊處理,首先要安排病床給外傷,優(yōu)先級(jí)設(shè)為4,白內(nèi)障手術(shù)后的恢復(fù)時(shí)間屬于簡(jiǎn)單的離散分布,程序中優(yōu)先級(jí)可作如下考慮,見(jiàn)圖5.

對(duì)病人按照病種分類(lèi),如果是外傷病人,則直接賦值優(yōu)先級(jí)為4,否則按照白內(nèi)障和非白內(nèi)障病人進(jìn)行分類(lèi).如果是白內(nèi)障病人,賦予的優(yōu)先級(jí)權(quán)重為α1,否則優(yōu)先級(jí)權(quán)重為α2,這樣我們就對(duì)所有病人的優(yōu)先級(jí)進(jìn)行了刻畫(huà).為了實(shí)現(xiàn)上述過(guò)程,我們利用Matlab編寫(xiě)子程序進(jìn)行處理.

病人進(jìn)入服務(wù)體系,得到一個(gè)信息變量[ID,ty,day].運(yùn)用M atlab編程,得到ID從1～102的病人的最終信息[ID,ty,day,day1,day2,day3].由于我們加入了隨機(jī)函數(shù)變量,故對(duì)不同次的運(yùn)算結(jié)果,得到了不同病人的最終信息.

通過(guò)數(shù)據(jù)分析,我們以一個(gè)星期為單位,根據(jù)各個(gè)病種占總?cè)藬?shù)的比率看出,在不同的星期其波動(dòng)性不大,所以可以通過(guò)固定概率來(lái)刻畫(huà)其他病種病人的數(shù)量(見(jiàn)表1).

表1 各類(lèi)病人每天就診人數(shù)概率分布表

接著,我們運(yùn)用M atlab進(jìn)行隨機(jī)模擬[8],根據(jù)進(jìn)來(lái)的病人數(shù)服從possion分布,給出每天的總病人數(shù).通過(guò)數(shù)據(jù)分析,我們還發(fā)現(xiàn)外傷病人是服從右偏態(tài)分布的(見(jiàn)圖6).因此,我們可以應(yīng)用離散分布律和正態(tài)分布函數(shù)的隨機(jī)模擬得到每天各種病的人數(shù).再把每個(gè)病人的信息以向量的形式(病人的ID、病人的類(lèi)型、門(mén)診時(shí)間)輸入到一個(gè)接收矩陣A,利用中轉(zhuǎn)矩陣mz接受所有到門(mén)診但沒(méi)有住院的病人信息,這樣就確定了第二天該安排哪些病人住院.

2.2 告知住院時(shí)間

為了回答想知道何時(shí)能出院的病人,我們對(duì)已給的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后發(fā)現(xiàn),對(duì)于相同類(lèi)型的病人來(lái)說(shuō),他們的術(shù)后恢復(fù)時(shí)間是有規(guī)律可言的.我們利用核密度估計(jì)初步地判斷病人的術(shù)后恢復(fù)時(shí)間,以及規(guī)定時(shí)間段內(nèi)的病人出院人數(shù).

假設(shè)數(shù)據(jù) x1,x2,…,xn取自連續(xù)分布p(x),在任意點(diǎn) x處的一種核密度估計(jì)定義為:

同時(shí)還要求Vn=.實(shí)際上有:

核函數(shù)的形狀通常不是密度估計(jì)中最關(guān)鍵的因素,和直方圖一樣,帶寬對(duì)模型光滑程度的影響作用較大.因?yàn)閂n=hdn,如果 hn非常大,將有更多的點(diǎn)對(duì) x處的密度產(chǎn)生影響,由于分布是歸一化的,即

因而距離 xi較遠(yuǎn)的點(diǎn)也分擔(dān)了對(duì)x的部分權(quán)重,從而較近的點(diǎn)的權(quán)重wi減弱,距離較遠(yuǎn)和距離較近的點(diǎn)的權(quán)重相差不大.在這種情況下,(x)是n個(gè)變化不大的函數(shù)的疊加,因此(x)非常平滑;反之,如果hn很小,那么只有很少的點(diǎn)分擔(dān)Vn,因此各點(diǎn)之間的權(quán)重由于距離的影響而出現(xiàn)大的落差,因而(x)是n個(gè)以樣本點(diǎn)為中心的尖脈沖的疊加,就好像是一個(gè)充滿(mǎn)噪聲的估計(jì).模型建立的具體操作流程如圖8.

利用Matlab軟件通過(guò)隨機(jī)模擬得到在某段時(shí)間內(nèi)所有出院病人的信息,包括門(mén)診時(shí)間、住院時(shí)間、手術(shù)時(shí)間、出院時(shí)間.進(jìn)而通過(guò)核密度估計(jì)分析下一批次病人的住院等待時(shí)間,得到住院等待時(shí)間的核密度估計(jì)圖(見(jiàn)圖6).從圖6可知住院等待時(shí)間在5～11天之間,比之前按照FCFS原則得到的12.495天要優(yōu)化得多.

具體的以眼科疾病為例.觀(guān)察頻率圖發(fā)現(xiàn),青光眼和視網(wǎng)膜疾病的病人的術(shù)后恢復(fù)時(shí)間服從某種分布,而對(duì)于白內(nèi)障的患者來(lái)說(shuō),他們的時(shí)間點(diǎn)較少,故我們采用頻率代替概率的方法[9],用均勻的概率分布來(lái)刻畫(huà)他們的術(shù)后恢復(fù)時(shí)間;從住院時(shí)間到手術(shù)時(shí)間這一個(gè)關(guān)系時(shí)間與住院的星期有關(guān),而住院等待時(shí)間取決于該病人的優(yōu)先級(jí),這個(gè)時(shí)間病床安排模型確定住院等待時(shí)間.我們把白內(nèi)障(雙眼皮)的住院時(shí)間(圖7)與之前的(圖8)進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)了明顯的差異,優(yōu)化之后的住院時(shí)間要比原來(lái)縮短很多.

當(dāng)前該醫(yī)院對(duì)全體非急癥病人是按照FCFS規(guī)則安排住院的,這樣雖然可以解決大部分病人的住院安排問(wèn)題,但沒(méi)有使該醫(yī)院的病床使用率達(dá)到最高,根據(jù)統(tǒng)計(jì)得出醫(yī)院每天看門(mén)診的病人(非急癥)平均要等待12.495天才可以入院,該現(xiàn)象可以映射出醫(yī)院在病人入院安排工作上存在不合理因素.而運(yùn)用多排隊(duì)多服務(wù)的服務(wù)系統(tǒng)求出的每種疾病病人的平均逗留時(shí)間僅為9.3347天,要比醫(yī)院現(xiàn)行的規(guī)則優(yōu)化很多.對(duì)白內(nèi)障和白內(nèi)障(雙眼)病人以往的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,發(fā)現(xiàn)這兩種病人入院后等待手術(shù)的時(shí)間分別為2.333和3.579天,超過(guò)了正常的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間1～2天.多出的等待時(shí)間不僅會(huì)造成醫(yī)院的資源浪費(fèi),使等待入院的病人隊(duì)伍越來(lái)越長(zhǎng),而且給病人增加多余的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān),使病人的滿(mǎn)意率下降[10].

2.3 基于核密度估計(jì)的區(qū)間估計(jì)

為體現(xiàn)優(yōu)化模型的優(yōu)越性,對(duì)于住院等待時(shí)間的核密度估計(jì)圖,我們利用M atlab軟件給出了在等待時(shí)間的置信帶(95%)內(nèi)住院等待時(shí)間為區(qū)間[6.3,10.5],而在等待時(shí)間的置信帶(90%)內(nèi)住院等待時(shí)間為區(qū)間[8.2,10.3],具體如表2所示:

表2 置信帶為90%和95%的住院等待時(shí)間區(qū)間表

由圖9、圖10顯示,等待時(shí)間的置信帶分別為95%和90%得到的區(qū)間估計(jì)的比較如表3所示:

表3 模型優(yōu)化前后住院等待時(shí)間區(qū)間表

3 結(jié)束語(yǔ)

優(yōu)化后的病床安排模型充分考慮到各類(lèi)疾病病人住院時(shí)間的長(zhǎng)短問(wèn)題,根據(jù)病人住院的時(shí)間長(zhǎng)短將病床進(jìn)行合理的分配.模型盡量保證各種運(yùn)營(yíng)的指標(biāo)達(dá)到最優(yōu),并能使系統(tǒng)中排隊(duì)等待的病人數(shù)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡,甚至越來(lái)越少,以減少病人的抱怨率[11],提高病床利用率.該理論應(yīng)用于醫(yī)院的病床安排是科學(xué)、有效的.

[1]李德,錢(qián)頌迪.運(yùn)籌學(xué) [M].北京:清華大學(xué)出版社,1982:125～130.

[2]王平根.大型綜合醫(yī)院病床分配方法初探 [J].中國(guó)醫(yī)院統(tǒng)計(jì),2006,3(3):4～6.

[3]陽(yáng)明盛,羅長(zhǎng)童.最優(yōu)化原理、方法及求解軟件 [M].北京:科學(xué)出版社,2006:156～170.

[4]張杰,周碩.運(yùn)籌學(xué)與試驗(yàn) [M].北京:中國(guó)電力出版社,2007:68～79.

[5]胡運(yùn)權(quán),郭耀煌.運(yùn)籌學(xué)教程 [M].北京:清華大學(xué)出版社,2007:58～69.

[6]姜啟源.數(shù)學(xué)模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003:166～178.

[7]高及仁.應(yīng)用排隊(duì)理論合理安排醫(yī)院急診工作 [J].中國(guó)醫(yī)院管理,1996,6(6):1～3.

[8]張磊,郭蓮英.MA TLAB實(shí)用教程 [M].北京:人民郵電出版社,2008:156～188.

[9]羅萬(wàn)成.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模案例精選 [M].成都:西南交通大學(xué)出版社,2007:225～236.

[10]黃淇敏.醫(yī)療服務(wù)中顧客滿(mǎn)意度指標(biāo)體系的建立及應(yīng)用 [J].上海第二醫(yī)科大學(xué)學(xué)報(bào),2005,10(15):12～19.

[11]劉桂瑛.病人滿(mǎn)意度測(cè)評(píng)指標(biāo)體系研究 [J].醫(yī)療質(zhì)量管理,2006,8(10):2～3.

MSC 2000:90B22

Simulation and Analysis of the Reasonable Arrangement of Hospital Beds

ZHENG Ying-deng,YAO Yu-bo,LU Hai-w en,CHEN Xue-dong
(Faculty of Science,Huzhou Teachers College,Huzhou 313000,China)

U sing the p rincip le of operational queuing theory,the paper has a research on the queuing system of the hospital outpatients,p roposing the op timum of hospital beds,and comparing to the arrangement in hospital at p resent,p roviding suggestions for imp rovement and scientific theo ry basis fo r the management mode of hospitals.The judgment of postoperative recovery time is estimated p reliminarily w ith the app lication of the kernel density estimation,and the number of discharged patients is p rescribed during the time periods.Themethod can be app lied to the arrangement of all kindsof disease in hospital and time estimation,w hich is scientific and effective.

O226

A

1009-1734(2010)02-0048-06

2010-09-20;

2010-11-11

鄭應(yīng)燈,湖州師范學(xué)院理學(xué)院2007級(jí)本科生,從事應(yīng)用統(tǒng)計(jì)研究.