張倍欣，馮茂春

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

兩類(lèi)分塊矩陣的群逆＊

張倍欣，馮茂春

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

當(dāng)P為退化的冪等矩陣時(shí)，我們利用矩陣的秩的性質(zhì)、分塊矩陣的初等變換，以及群逆存在的充分必要條件，討論了形如其中P為方陣）的兩類(lèi)分塊矩陣群逆的存在性．接著，利用初等變換和矩陣1逆的求法，根據(jù)矩陣群逆與矩陣3次冪的1逆的關(guān)系，最終給出上述兩類(lèi)分塊矩陣群逆的一般表示式，并以例子加以說(shuō)明．

分塊矩陣；矩陣的群逆；酉矩陣

MSC 2000：15A24

0 引言

近40多年來(lái)，廣義逆的理論、應(yīng)用和計(jì)算方法都得到了迅速的發(fā)展，這不僅是因?yàn)樗泻芨叩睦碚搩r(jià)值，更重要的是它在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)理論、有限馬爾可夫過(guò)程、差分方程組、人口增長(zhǎng)模型和最優(yōu)化控制等方面都有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景．研究分塊矩陣的廣義逆及分塊算法對(duì)許多領(lǐng)域都非常必要，因此分塊矩陣的Drazin逆和群逆問(wèn)題已成為矩陣論研究中的活躍領(lǐng)域，相關(guān)文章不斷涌現(xiàn)［1～9］．

1979年，S．L．Campbell和Meyer提出了一個(gè)開(kāi)放問(wèn)題：分塊矩陣的

Drazin逆和群逆的表達(dá)．這一問(wèn)題至今尚未完全解決．分塊矩陣）的群逆或Drazin逆問(wèn)題已有討論［2～4］．S．L．Campbell在文獻(xiàn)［1］中提出形為的分塊矩陣的Drazin逆表示問(wèn)題，但人們對(duì)此問(wèn)題的解答至今仍局限在某些特殊條件下［5，6］．本文在整理了一些特殊分塊矩陣的群逆表示方法的基礎(chǔ)上，利用群逆存在的充分必要條件，討論形如的兩類(lèi)分塊矩陣的群逆的存在性，并給出以上兩類(lèi)分塊矩陣的群逆的一般表示．

1 相關(guān)概念與引理

定義1 設(shè)A∈Cn×n，稱(chēng)滿(mǎn)足rank Ak＋1＝rank Ak的最小非負(fù)整數(shù)k為A的指標(biāo)，記作Ind（A）＝k．

定義2 設(shè)A∈Cn×n，Ind（A）＝k，若X∈Cn×n滿(mǎn)足：①AkXA＝Ak；②XAX＝X；③AX＝XA，則稱(chēng)X為A的Drazin逆，記作X＝AD．

定義3 設(shè)A∈Cn×n，若X∈Cn×n滿(mǎn)足：①AXA＝A；②XAX＝X；③AX＝XA，則稱(chēng)X為A的群逆，記作X＝A＃，即當(dāng)k＝1時(shí)的Drazin逆為群逆．

定義4 設(shè)A∈Cm×n，則滿(mǎn)足AXA＝A的矩陣X∈Cm×n稱(chēng)為A的｛1｝逆，記作X＝A（1）或X∈｛1｝．

引理1［7］設(shè)A∈Cn×n，則A的Drazin逆存在且唯一．

引理2［7］設(shè)A∈Cn×n，A為奇異矩陣，則A＃存在的充分必要條件為：Ind（A）＝1，且A＃唯一．

引理3［7］設(shè)A∈Cn×n，Ind（A）＝1，則A＃＝A（A3）（1）A．

引理4［8］設(shè)A∈Cn×n，A有特征值λ1，λ2，…，λn，它們按規(guī)定的次序排列，則存在酉矩陣U，使得U＊AU為上三角矩陣，其中主對(duì)角線(xiàn)上的元素有序．

引理5［9］設(shè)P2＝P，P∈Cn×n，且rank（P）＝r≠0，則存在酉矩陣U，使得

其中N＝Ir＋FF＊可逆，（PP＊）＃，（PP＊P）＃存在．

2 結(jié)論

［1］CAMPBELL S L．The Drazin inverse and systems of second order linear differential educations［J］．Linear and Multilinear Algebra，1983，14（2）：195～198．

［2］MEYER C D，ROSE N J．The index and D razin inverse of block triangularmatrices［J］．SIAM J Appl Math，1977（33）：1～7．

［3］曹重光．體上分塊矩陣群逆的某些結(jié)果 ［J］．黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2001，18（3）：5～7．

［4］劉玉，曹重光．體上某些分塊矩陣的Drazin逆 ［J］．黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，21（4）：112～114．

［5］卜長(zhǎng)江．關(guān)于體上分塊矩陣的群逆 ［J］．?dāng)?shù)學(xué)雜志，2002，35（4）：49～52．

［6］CASTRO-GONZALEZ N，DOPAZO E．Representation of the Drazin inverse for a class of block matries［J］．Linear Algebra Appl，2005，400：253～269．

［7］王國(guó)榮．矩陣與算子廣義逆 ［M］．北京：科學(xué)出版社，1994：48～66．

［8］繆建銘．關(guān)于分塊矩陣的Drzain逆的一些結(jié)果 ［J］．上海師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1989，18：25～31．

［9］馬元倩，曹重光．分塊矩陣的群逆 ［J］．哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，21（4）：7～8．

MSC 2000：15A24

The Group Inverse of Two Classes of Block Matrix

ZHANG Bei-xin，F(xiàn)ENG Mao-chun
（School of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou 313000，China）

When P is singular idempotent matrix，using the properties of matrixes rank，elementary transformation of block matrix，and necessary and sufficient condition for the existence of group inverse，we discuss the existence of group inverse of block matrix shaped like M．Next，using elementary transformation and calculation method for 1 inverse of matrix，according to the relation of matrices＇group inverses and 1 inverse of 3 power of matrix．Finally we give the general expression of the two kind of block matrixes＇group inverse，and illustrate it with examples．

block matrix；group inverse of matrix；stepped matrix

O151．21

A

1009-1734（2011）02-0041-05

2011-03-25

湖州師范學(xué)院教改重點(diǎn)項(xiàng)目（2008JY006）．

張倍欣，湖州師范學(xué)院理學(xué)院2007級(jí)本科生，從事矩陣代數(shù)研究．