方玲鳳，蔡 靜

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

廣義全酉矩陣和廣義（反）全Hermite矩陣＊

方玲鳳，蔡 靜

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

運(yùn)用特殊矩陣?yán)碚?，推廣了全酉矩陣和（反）全Hermite矩陣概念，給出了廣義全酉矩陣和廣義（反）全Hermite矩陣的定義，研究了廣義全酉矩陣和廣義（反）全Hermite矩陣的基本性質(zhì)，得到了一些相關(guān)推論，并揭示了廣義全酉矩陣和廣義（反）全Hermite矩陣的內(nèi)在聯(lián)系．

廣義全酉矩陣；廣義全Hermite矩陣；廣義反全Hermite矩陣

MSC 2000：15A09

0 引言

特殊矩陣是線性代數(shù)的重要組成部分，作為一種基本的數(shù)學(xué)工具，在數(shù)學(xué)學(xué)科及應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域（如數(shù)值分析、優(yōu)化理論、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)、現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等）都有著廣泛的應(yīng)用［1～2］．特殊矩陣的類型有很多，如酉矩陣、Hermite矩陣、Hankel矩陣、Toeplitz矩陣、M-矩陣、H-矩陣等，這些特殊矩陣都有著各自良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)在經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、工程等許多應(yīng)用學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，因此對(duì)特殊矩陣的性質(zhì)進(jìn)行研究具有重要的意義．

目前，關(guān)于酉矩陣和Hermite矩陣的性質(zhì)研究已較為廣泛和深入［3～6］．在上述研究工作的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［7］對(duì)酉矩陣和Hermite矩陣概念進(jìn)行了推廣，給出了擬酉矩陣與擬Hermite矩陣的定義及基本性質(zhì)．文獻(xiàn)［8］給出了強(qiáng)酉矩陣的概念，并討論了它的相關(guān)性質(zhì)．文獻(xiàn)［9］～［11］探討了次酉矩陣、次Hermite和反次Hermite矩陣的特征值、次特征值，以及各類矩陣之間的關(guān)系．文獻(xiàn)［12］給出了廣義次酉矩陣的定義，研究了廣義次酉矩陣的性質(zhì)．文獻(xiàn)［13］、［14］研究了廣義酉矩陣和廣義（反）Hermite矩陣的性質(zhì)及其相互關(guān)系．文獻(xiàn)［15］～［17］對(duì)全轉(zhuǎn)置矩陣與全正交矩陣概念做了復(fù)數(shù)域上的推廣，定義了共軛全轉(zhuǎn)置矩陣、（反）全Hermite矩陣、左酉矩陣、右酉矩陣以及全酉矩陣，并討論了其性質(zhì)及相互關(guān)系．

鑒于現(xiàn)有的研究成果，尚未拓展到更廣泛的廣義全酉矩陣和廣義（反）全Hermite矩陣，而上述矩陣相對(duì)于全酉矩陣和（反）全Hermite矩陣，有著許多特殊的性質(zhì)，因此對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)、深入的研究，有助于進(jìn)一步豐富特殊矩陣的相關(guān)理論，深化、拓廣其應(yīng)用．

1 預(yù)備知識(shí)

文中，C和R分別表示復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集，Cm×n表示m×n復(fù)矩陣集合，det A表示復(fù)方陣A的行列式，表示det A的共軛，｜det A｜表示det A的模、AT、A0、A－0分別表示n階矩陣A的共軛矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣、全轉(zhuǎn)置矩陣、共軛全轉(zhuǎn)置矩陣，A＊表示A的余子陣，I、J分別表示單位矩陣和次單位矩陣．文中所提到的矩陣，若無(wú)特別聲明，均指復(fù)矩陣．

定義1［17］設(shè)n階矩陣

2 廣義全酉矩陣的定義與性質(zhì)

（2）因（A－0）－0U－1A－0＝A（A－0UA）－1A－0＝AA－1U－1（A－0）－1A－0＝U－1，所以A－0∈GU－1．

因（A－1）－0UA－1＝ （A－0）－1（A－0UA）A－1＝U，所以A－1∈GU．

因（A＊）－0UA＊＝ （（det A）A－1）－0U（det A）A－1＝｜det A｜2（A－1）－0UA－1＝U，所以A＊∈GU．

推論1［17］設(shè)A是n階全酉矩陣，那么

（1）A的行列式的模｜det A｜＝1；

（2）A－0、A－1、A＊都是全酉矩陣．

定理2 若n階矩陣A、B∈GU，且A、B是可交換的，則AB∈GU．

證明 （AB）－0UAB＝A－0B－0UAB＝A－0B－0UBA＝U，所以AB∈GU．

推論2［17］設(shè)n階矩陣A、B是全酉矩陣，A、B是可交換的，則AB是全酉矩陣．

定理3 設(shè)A、B均為n階可逆復(fù)矩陣，非奇異矩陣U∈Cn×n，存在Q∈GU，使A＝BQ，且B、Q是可交換的，則A－0UA＝B－0UB．

證明 因A＝BQ，Q－0UQ＝U，又B、Q是可交換的，所以

定義3 設(shè)A∈Cn×n，如果存在非奇異矩陣U∈Cn×n．使得A－0UA＝U，則稱A是由U確定的廣義全酉矩陣，記這種廣義全酉矩陣的集合為GU．

注2 當(dāng)U＝I時(shí)，由U確定的廣義全酉矩陣即為全酉矩陣．

定理1 設(shè)A∈GU，則

（1）A的行列式的模｜det A｜＝1；

（2）A－0∈GU－1，A－1∈GU，A＊∈GU．

證明 因?yàn)锳∈GU，所以A－0UA＝U，從而

3 廣義（反）全Hermite矩陣的定義與性質(zhì)

定義4 設(shè)A∈Cn×n，如果存在非奇異矩陣U∈Cn×n，使得A－0U＝UA（或A－0U＝－UA），則稱A是由U確定的廣義全Hermite矩陣（或廣義反全Hermite矩陣）．

記這種廣義全Hermite矩陣的集合為U＋，廣義反全Hermite矩陣的集合為U－．

顯然，當(dāng)U＝I時(shí)，由U確定的廣義全Hermite矩陣是全Hermite矩陣；由U確定的廣義反全Hermite矩陣是反全Hermite矩陣．

定理8 設(shè)A、B∈U＋，k∈R，則

（1）kA，A±B∈U＋；

（2）AB±BA∈U＋；

（3）AB∈U＋．

證明 （1）因A、B∈U＋，故（A＋B）－0U＝A－0U＋B－0U＝UA＋UB＝U（A＋B），即A＋B∈U＋．同理可證A－B，kA∈U＋．

（2）因A、B∈U＋，故（AB＋BA）－0U＝A－0B－0U＋B－0A－0U＝UAB＋UBA＝U（AB＋BA），所以AB＋BA∈U＋．同理可證AB－BA∈U＋．

（3）因A、B∈U＋，故（AB）－0U＝A－0B－0U＝A－0UB＝UAB，所以AB∈U＋．

定理9 設(shè)A∈U＋，則Ak∈U＋．

證明 因A∈U＋，（Ak）－0U＝A－0A－0…A－0U＝UAk，所以Ak∈U＋．

推論5［17］設(shè)A是全Hermite矩陣，那么Ak也是全Hermite矩陣．

定理10 （1）若n階復(fù)矩陣A∈U＋，則det A為實(shí)數(shù)．

（2）若n階復(fù)矩陣A∈U－，則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，det A為0或純虛數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，det A為實(shí)數(shù)．

證明 （1）因A－0U＝UA，所以

4 廣義全酉矩陣與廣義（反）全Hermite矩陣的關(guān)系

定理11 設(shè)A∈Cn×n，若以下3個(gè)條件中的任意兩個(gè)成立，則第3個(gè)必成立．

（1）A∈GU；

（2）A∈U＋；

（3）A2＝I．

證明 若（1）、（2）成立，則A－0UA＝U，A－0U＝UA，從而有UA2＝U，而U非奇異，所以A2＝I．即（3）成立．

若（1）、（3）成立，則A－0UA＝U，A2＝I，從而有A－0U＝UA－1＝UA，故A∈U＋．即（2）成立．

若（2）、（3）成立，則A－0U＝UA，A2＝I，從而有A－0UA＝UA2＝U，故A∈GU．即（1）成立．

定理12 設(shè)A∈Cn×n，若以下3個(gè)條件中的任意兩個(gè)成立，則第3個(gè)必成立．

（1）A∈GU；

（2）A∈U－；

（3）A2＝－I．

證明 若（1）、（2）成立，則A－0UA＝U，A－0U＝－UA，從而有UA2＝－U，而U非奇異，所以A2＝－I．即（3）成立．

若（1）、（3）成立，則A－0UA＝U，A2＝－I，從而有A－0U＝UA－1＝－UA，故A∈U－．即（2）成立．

若（2）、（3）成立，則A－0U＝－UA，A2＝－I，從而有A－0UA＝－UA2＝U，故A∈GU．即（1）成立．

定理13 設(shè)A∈Cn×n是廣義全酉矩陣，且A2＝I，則

（1）A－1BA為廣義全Hermite矩陣的充分必要條件是B為廣義全Hermite矩陣；

（2）A－1BA為廣義反全Hermite矩陣的充分必要條件是B為廣義反全Hermite矩陣．

證明 （1）因A是廣義全酉矩陣，故A－0UA＝U，所以A－0＝UA－1U－1．由A－1BA為廣義全Hermite矩陣得：

UA－1BA＝ （A－1BA）－0U＝ （A－0）－1B－0A－0U＝ （UA－1U－1）－1B－0A－0U＝UAU－1B－0UA－1．

又因A2＝I，結(jié)合上式得B＝U－1B－0U．所以B－0U＝UB，即B為廣義全Hermite矩陣．反之亦然．

（2）由A－1BA為廣義反全Hermite矩陣得：

又因A2＝I，結(jié)合上式得－B＝U－1B－0U．所以B－0U＝－UB，即B為廣義反全Hermite矩陣．反之亦然．

5 小結(jié)

本文推廣了全酉矩陣和（反）全Hermite矩陣概念，給出了廣義全酉矩陣和廣義（反）全Hermite矩陣的定義，并研究了廣義全酉矩陣和廣義（反）全Hermite矩陣的基本性質(zhì)，揭示了這幾類矩陣之間的關(guān)系．通過本文的研究，可以更深入地了解這幾類矩陣的特殊性質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系，完善其理論，使其能更好地發(fā)揮應(yīng)用價(jià)值．

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MSC 2000：15A09

Generalized Full-unitary Matrix and Generalized（skew）Full-Hermite Matrix Center

FANG Ling-feng，CAI Jing
（Faculty of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou 313000，China）

By using special matrix theory，we generalize the conceptions of full-unitary matrix and（skew）full-Hermite matrix，give the definitions of generalized full-unitary matrix and generalized（skew）full-Hermite matrix，present the basic properties of generalized full-unitary matrix full-unitary matrix and generalized（skew）full-Hermite matrix，derive some related corollaries and reveal the internal relations of generalized full-unitary matrix and generalized（skew）full-Hermite matrix．

generalized full-unitary matrix；generalized full-Hermite matrix；generalized skew full-Hermite matrix

O151．21

A

1009-1734（2011）02-0036-05

2011-03-04

浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（Y6110043）；湖州市自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2010YZ05）．

方玲鳳，湖州師范學(xué)院理學(xué)院2007級(jí)本科生，從事特殊矩陣?yán)碚撗芯浚?/p>