王江峰，裘良華

（1.杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036；2.杭州師范大學(xué)錢江學(xué)院，浙江杭州 310012）

刪失相依數(shù)據(jù)下的分位數(shù)核估計(jì)的Bahadur型表達(dá)

王江峰1，裘良華2

（1.杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036；2.杭州師范大學(xué)錢江學(xué)院，浙江杭州 310012）

該文考慮了在刪失相依數(shù)據(jù)下分位數(shù)函數(shù)的核估計(jì).在適當(dāng)條件下，建立了該估計(jì)的弱和強(qiáng)Bahadur型表達(dá)形式.作為它的應(yīng)用，導(dǎo)出了該估計(jì)的漸近正態(tài)性.通過模擬給出了該估計(jì)在有限樣本下的表現(xiàn).

漸近正態(tài)性；Bahadur型表達(dá)；刪失數(shù)據(jù)；α－混合序列；分位數(shù)函數(shù).

0 引 言

X1，X2，…和T1，T2，…是兩個(gè)相互獨(dú)立的非負(fù)隨機(jī)變量序列，分布函數(shù)分別為F和G，這里｛Xi，i≥1｝和｛Ti，i≥1｝都是相依的隨機(jī)變量序列.設(shè)Zi＝min（Xi，Ti）＝Xi∧Ti和δi＝I（Xi≤Ti），這里I（·）表示示性函數(shù).在刪失模型中，僅僅能觀察到數(shù)據(jù)（Z1，δ1），…，（Zn，δn）.顯然，Zi的分布函數(shù)

H（x）＝1－（1－F（x））（1－G（x））.令＝1－H和.在區(qū)間［0，∞）上定義兩個(gè)隨機(jī)過程如下：

這樣分布函數(shù)F的Kaplan－Meier（KM）估計(jì)為

這里dNn（s）＝Nn（s）－Nn（s－），Nn（s－）為Nn在s上的左極限.接下來，筆者給出分布函數(shù)F的p分位數(shù)的定義：Q（p）≡F－1（p）＝inf｛t：F（t）≥p｝，0≤p≤1.這樣根據(jù)分布函數(shù)F的KM估計(jì)得到F的p分位數(shù)估計(jì)為

當(dāng)（Xi）i≥1和（Ti）i≥1為獨(dú)立同分布且相互獨(dú)立時(shí)，Cs?rg?［1］和Cheng［2］在刪失模型下得到了（p）的一些漸近結(jié)果.Ould－sa?d和Sadki［3］在強(qiáng)混合條件下得到了（p）的Badadur型表達(dá)式.由于Q（p）為連續(xù)函數(shù)，因此用一個(gè)光滑估計(jì)比（p）更適用.Padgett［4］基于（p）上提出了Q（p）的一個(gè)核估計(jì)如下：

這里k（·）為核函數(shù)，hn為窗寬滿足hn→0（n→∞）.在刪失獨(dú)立樣本下，估計(jì)Qn（p）的性質(zhì)有一些作者進(jìn)行研究，可以參考Lio等人［5］和Lio和Padgett［6］.

據(jù)知，還沒有人在刪失相依數(shù)據(jù)下來研究Qn（p）的性質(zhì).該論文主要目的在刪失相依數(shù)據(jù)下建立Qn（p）弱和強(qiáng)Bahadur型表達(dá)式，作為應(yīng)用得到了Qn（p）的漸近正態(tài)性結(jié)果，并對(duì)估計(jì)進(jìn)行模擬研究.

定義1 ｛ξk，k≥1｝稱為α－混合序列，若當(dāng)n→∞，

1 主要結(jié)果

這樣，有E［ξ（Zi，δi，x）］＝0和Cov（ξ（Zi，δi，s），ξ（Zi，δi，t））＝g（s∧t）.設(shè)C為任意正數(shù)，在不同的地方可以表示不同的值.an＝O（bn）表示an≤Cbn.

為了得到結(jié)果，先給出一些條件：

（A1）（Xi）i≥1為平穩(wěn)的α－混合序列，具有連續(xù)的分布函數(shù)F和混合系數(shù)α1（n）.

（A2）（Ti）i≥1i為平穩(wěn)的α－混合序列，具有連續(xù)的分布函數(shù)G和混合系數(shù)α2（n）.

（A4）核函數(shù)k（·）為概率密度函數(shù)且在［－1，1］上緊支撐和∫tk（t）dt＝0.

（A5）F為L(zhǎng)ipschitz連續(xù)的且密度函數(shù)為f.

（A6）對(duì)0＜p＜1，f（x）在x＝Q（p）上連續(xù)，并且有f（Q（p））＞0和Q（p）＜τH.

（A7）對(duì)0＜p＜1，F(xiàn)（x）在x＝Q（p）上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù).

注1 （A1）－（A7）都是一般性的條件.（A1）－（A3）和（A5）－（A7）在文獻(xiàn)［3］中用到了.條件（A4）在文獻(xiàn)［8］中應(yīng)用到了.

注2 注意到以上條件不需要｛Ti｝是獨(dú)立的，獨(dú)立條件在文獻(xiàn)［9］和［10］中應(yīng)用到了.在他們的文獻(xiàn)中，｛Xi｝的混合系數(shù)為a1（n）＝O（n－ν）（ν＞3），比條件（A3）要弱.但通過文獻(xiàn)［11］的引理2知道，當(dāng)｛Xi｝和｛Ti｝都為α－混合序列時(shí)，得到｛Zi｝仍然是α－混合序列且混合系數(shù)為4α（n），這樣｛Zi｝滿足文獻(xiàn)［12］中定理3的條件.由于文獻(xiàn)［9］中的結(jié)果和［10］中定理1的結(jié)果是通過文獻(xiàn)［12］中的定理3證明過來的，因此他們的結(jié)果在以上條件下也是成立的.

下面先給出分位數(shù)Q（p）的核估計(jì)Qn（p）的弱Bahadur型表達(dá)式：

作為定理1的應(yīng)用，可以通過文獻(xiàn)［9］的定理5得到Qn（p）的漸近正態(tài)性：

推論1 在定理1的假設(shè)條件下，有

最后，給出Qn（p）的強(qiáng)Bahadur型表達(dá)式.

這里λ＞0.

2 模擬研究

在這一節(jié)，給出模擬來完成兩件事情，首先，通過偏移和均方誤差來比較估計(jì)Qn（p）和（p）；其次，給出估計(jì)Qn（p）在p＝0.5的漸近正態(tài)性的效果.

模擬X1～N（0，1/0.84），Xi＝0.4Xi－1＋ei，這里ei～N（0，0.82）.模擬T1～N（0，1/0.75），Ti＝0.5Ti－1＋ei.這樣，Xi和Ti為α－混合序列，且混合系數(shù)都是以指數(shù)衰退的速度趨向零，并且它們的分布分別為N（0，1/0.84）和N（0，1/0.75）.顯然這時(shí)刪失比例為50%.

表1 Qn（p）和（p）的偏移和均方誤差Tab.1 The bias and mean squared errors for Qn（p）and（p）

表1 Qn（p）和（p）的偏移和均方誤差Tab.1 The bias and mean squared errors for Qn（p）and（p）

pn偏移Qn（p） Q＾n（p）均方誤差Qn（p） Q＾n（p）0.25 300 0.038 7 0.064 9 1.023×10－3 3.376×10－3 800 0.014 3 0.044 1 8.566×10－4 1.409×10－3 0.5 300 0.029 8 0.031 9 1.139×10－3 1.687×10－3 800 0.009 3 0.021 3 5.077×10－4 9.987×10－4 0.75 300 0.046 5 0.051 0 3.309×10－3 5.998×10－3 800 0.025 5 0.031 4 1.678×10－3 1.987×10－3

從表1發(fā)現(xiàn)：（i）這兩個(gè)估計(jì)都是隨著樣本容量n增大，效果越好.（ii）核估計(jì)Qn（p）模擬的效果比估計(jì)（p）好.接下來，通過直方圖和正態(tài)概率圖來模擬估計(jì)Qn（p）在p＝0.5的漸近正態(tài)性.在樣本容量為n下獨(dú)立地模擬了M＝1000個(gè)數(shù)據(jù)，選擇窗寬hn＝n－1/3.在圖1和2中，分別選取n＝200和800.從圖1和圖2看出樣本容量n越大，模擬的效果越好.

3 定理的證明

為了證明以下結(jié)果，需要一些注記和引理.

引理1 如果（A1）－（A3）和（A5）－（A6）滿足，則

圖1 在n＝200下Qn（p）的直方圖和正態(tài)概率圖Fig.1 Histogram and Normal－probability－polt of Qn（p）with n＝200

圖2 在n＝800下Qn（p）的直方圖和正態(tài)概率圖Fig.2 Histogram and Normal－probability－plot of Qn（p）with n＝800

證明 設(shè)In＝［p－h(huán)n，p＋hn］and 0＜p0≤p1＜1.由文獻(xiàn)［3］中的定理2.1和文獻(xiàn)［10］中的定理1，得到

這里B（x，n）為文獻(xiàn)［10］中的定理1所示.類似地，也可以證明

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Abstract：asymptotic normality；Bahadur－type representation；censored data；α－mixing；quantile function.

Bahadur Type Representation for the Kernel Quantile Estimation of Quantile Funtion with Censored Dependent Data

WANG Jiang－feng1，QIU Liang－h(huán)ua2

（1.College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China；
2.Qianjiang College，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310012，China）

This paper considered the kerne estimation of the quantile function wtih censored dependent data.Under appropriate assumptions，the paper established the weak and strong Bahadur－type representations for the kernel estimation，derivd the asymptotic normality of the estimation and provided the representation of the estimation in firute samples via simulation

O211.4 MSC2010：60F15

A

1674－232X（2011）05－0385－08

10.3969/j.issn.1674－232X.2011.05.001

2011－04－23

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11001070）；浙江省教育廳科研基金項(xiàng)目（Y200906404）.

王江峰（1978—），男，江西南昌人，講師，博士，主要從事統(tǒng)計(jì)推斷方面研究.E－mail：wjf2929＠163.com