屈寅春，魏俊潮，李立斌

（1.無錫職業(yè)技術學院，江蘇無錫 214073；2.揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇揚州 225002）

冪等可換化子環(huán)

屈寅春1，2，魏俊潮2＊，李立斌2

（1.無錫職業(yè)技術學院，江蘇無錫 214073；2.揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇揚州 225002）

借助冪等元，介紹了環(huán)R的冪等可換化子環(huán)ZE（R）.利用ZE（R）的性質，討論了一個環(huán)成為Abelian環(huán)的條件.并證明了如下結果：設a∈ZE（R），若a在R中是von Neumann正則元，則a在ZE（R）中也是von Neumann正則元，從而得到VNL－環(huán)的冪等可換化子環(huán)ZE（R）也是VNL－環(huán).

冪等元；冪等可換化子環(huán)；von Neumann正則元；VNL－環(huán)

0 引 言

該文中，R表示有單位元的結合環(huán)，E（R）表示R的全體冪等元的集合.環(huán)R的一個元a稱為von Neumann（強）正則元［1］，若存在b∈R，使a＝aba（a∈a2R∩Ra2）.一個環(huán)R稱為von Neumann（強）正則環(huán)［1］，若R的每個元都是von Neumann（強）正則元；一個環(huán)R稱為n－正則環(huán)［2］，若R的每個冪零元都是von Neumann正則元.一個環(huán)R稱為VNL－環(huán)［3］，若對每個a∈R，a與1－a中至少有一個為von Neumann正則元.可見，von Neumann正則環(huán)為VNL－環(huán)和n－正則環(huán).一個環(huán)R稱為約化環(huán)［4］，若R沒有非零的冪零元素.一個環(huán)R稱為Abelian環(huán)［5］，若R的每個冪等元都是中心元，由文獻［2］可知，一個環(huán)R為約化環(huán)當且僅當R為n－正則環(huán)和Abelian環(huán).

根據(jù)文獻［6］，一個環(huán)R稱為exchange環(huán)，如果對每個x∈R，存在e∈E（R），使得e∈xR，1－e∈（1－x）R；一個環(huán)R稱為clean環(huán)，如果R的每個元素都是一個冪等元和一個可逆元的和.文獻［6］指出clean環(huán)是exchange環(huán)，但反過來是否成立還是一個未解決的公開問題.宇化平在文獻［7］中指出Abelian的exchange環(huán)是clean環(huán)，且在文獻［8］中，他又證明了左quasi－duo的exchange環(huán)是clean環(huán).一個環(huán)R稱為quasi－normal環(huán)［9－10］，若對于每個e∈E（R），總有eR（1－e）Re＝0.易見，Abelian環(huán)是quasi－normal環(huán).文獻［9］中證明：quasi－normal的exchange環(huán)為clean環(huán)，從而推廣了宇化平［7］的結果.

一個環(huán)R稱為Weakly－normal環(huán)［11］，若對每個a∈R，e∈E（R），若ae＝0，則對每個r∈R，Rera是指零左理想.［11，定理3.5］指出：Weakly－normal的exchange環(huán)為clean環(huán)，從而推廣了文獻［9］的結果.

設R為一個環(huán)，e∈R，稱e為反冪等元［12］，若e2＝－e.可見：e為反冪等元當且僅當－e為冪等元.環(huán)R的一個元e稱為potent元［13］，若存在正整數(shù)n≥2，使en＝e.稱最小的這樣的正整數(shù)為元素e的potent指數(shù)，記為p（e）.即p（e）≥2且是使ep（e）＝e的最小正整數(shù).易見：當e為R的potent元時，ep（e）－1是R的冪等元.文中用OE（R），PE（R）分別表示環(huán)R的全體反冪等元的集合及全體potent元的集合.則易見E（R）?PE（R）.

1 主要結果

定理1 設R為一個環(huán)，則ZE（R）為R的子環(huán).

證明 由于0，1∈ZE（R），故ZE（R）≠φ.對任意a，b∈ZE（R），有ae＝ea，be＝eb，?e∈E（R）.故（ab）e＝ae－be＝ea－eb＝e（a－b），（ab）e＝a（be）＝a（eb）＝（ae）b＝（ea）b＝e（ab），故a－b，ab∈ZE（R），所以ZE（R）為R的子環(huán).

證明 顯然.

眾所周知，一個環(huán)R是Abelian環(huán)當且僅當對每個e∈E（R），總有ae＝eae，其中a是R的任意元素.利用子環(huán)ZE（R），可以給出Abelian環(huán)的新刻畫.

定理4 下列各命題等價：1）R為Abelian環(huán)；2）ZE（R）＝R；3）ZE（R）是R的理想；4）E（R）?ZE（R）.

證明 1）?2）?3）顯然.3）?4）對每個e∈E（R），由于ZE（R）是R的理想且1∈ZE（R），故e＝e1∈ZE（R）.從而E（R）?ZE（R）.

4）?1）對每個e∈E（R），由4）知，e∈ZE（R）.對任意a∈R，記g＝e＋ae－eae，則g∈E（R），且ge＝g，eg＝e.由于e∈ZE（R），則eg＝ge，從而g＝e.所以對任意a∈R，ae＝eae，所以R為Abelian環(huán).

一個環(huán)R是Abelian環(huán)當且僅當對每個e∈E（R），總有l(wèi)（e）＝l（Re）［14］，利用反冪等元與Potent元，也可給出Abelian環(huán)的如下刻畫，其證明是顯然的.

定理5 下列各命題等價：1）R為Abelian環(huán)；2）對每個e∈OE（R），l（e）＝l（Re）；3）對每個e∈PE（R），l（e）＝l（Re）.

設R為一個環(huán)，記N2（R）＝｛r∈R｜r2＝0｝，利用N2（R）和ZE（R）的關系，可得如下結論.

定理6 設R為一個環(huán)，且N2（R）?ZE（R），則1）R為直接有限環(huán).2）如果R為exchange環(huán)，則R為clean環(huán).

證明 （1）設a，b∈R且ab＝1.記e＝ba，則e∈E（R），ae＝a，eb＝b.記h＝a－ea，則h＝he，eh＝0，h2＝hh＝heh＝0，所以h∈N2（R）?ZE（R）.因此h＝he＝eh＝0，于是a＝ea，從而1＝ab＝eab＝e＝ba，所以R為直接有限環(huán).

（2）設x∈R，存在e∈E（R），使得e∈xR，1－e∈（1－x）R.記e＝xy，1－e＝（1－x）z，可設y＝y(tǒng)e，z＝z（1－e）.經過計算可知（x－（1－e））（y－z）＝1－（1－e）y－ez.由于（1－e）y＝（1－e）ye∈N2（R）?ZE（R），所以（1－e）y＝（1－e）ye＝（（1－e）y）e＝e（（1－e）y）＝e（1－e）y＝0.同理可證，ez＝0.因此（x－（1－e））（y－z）＝1.由（1）知（y－z）（x－（1－e））＝1，所以x－（1－e）是可逆元，從而R是clean環(huán).

由定理4和定理6，可得推論8，它是文獻［7］的重要結果.

推論2 設R是Abelian環(huán)，則1）R為直接有限環(huán).2）如果R為exchange環(huán)，則R為clean環(huán).

推論3 設R為一個環(huán)，N2（R）?ZE（R），x∈R且n∈Z＋.若xn是clean元，則x為clean元.

證明 由于xn是clean元，則有可逆元u，冪等元f，使xn＝u＋f.記e＝u－1（1－f）u，則u（xn－e）＝u（u＋f）－（1－f）u＝（xn－1）xn∈Rx，故e＝xn＋u－1（xn－x2n）∈Rx且1－e＝1－xn－u－1xn（1－xn）＝（1－u－1xn）（1－xn）∈R（1－x），因此x是exchange元.定理6的證明知，x為clean元.

推論4 設R為一個環(huán)，N2（R）?ZE（R），x∈R.若x2是clean元，則x和－x為clean元.

設e∈E（R），記ZEe（R）＝｛r∈R｜rg＝gr，e≠g∈E（R）｝，顯然子環(huán)ZE（R）具有如下性質：

定理7 設R為一個環(huán)，則對每個e∈E（R），當0≠e≠1時，ZE（R）＝ZEe（R）.

定理8 設R為一個環(huán)，a∈ZE（R）.若a為R中的von Neumann正則元，則a為ZE（R）中的von Neumann正則元.

證明 設a＝aba，b∈R，由于ab，ba∈E（R），a∈ZE（R），故a＝（ab）a＝a（ab）＝a2b，a＝a（ba）＝（ba）a＝ba2.所以a2b＝ba2，從而a2b3＝b3a2.由于對每個e∈E（R），ba2e＝ae＝ea＝ea2b＝a2eb，故b3a2e＝a2eb3＝ea2b3＝eb3a2，從而b3a2∈ZE（R），且a（b3a2）a＝ab2（ba2）a＝ab2＝ab2aa＝ab2a2＝ab（ba2）＝aba＝a.故a為ZE（R）中的von Neumann正則元.

推論5 設R為VNL－環(huán)，則ZE（R）也為VNL－環(huán).

證明 ?a∈ZE（R），則a與1－a至少有一個為R中的von Neumann正則元.由于1－a∈ZE（R），由定理8，則a與1－a中至少有一個為ZE（R）中的正則元.從而ZE（R）也為VNL－環(huán).

眾所周知，一個環(huán)R是強正則環(huán)當且僅當R是von Neumann正則環(huán)和Abelian環(huán)［15］.由于ZE（R）是R的Abelian子環(huán)，從而由定理8，有下面的推論.

推論6 設R為von Neumann正則環(huán)，則ZE（R）為強正則環(huán).

文獻［2］證明：一個環(huán)R為約化環(huán)當且僅當R為n－正則環(huán)和Abelian環(huán).從而由定理8，因此有推論：

推論7 設R為n－正則環(huán)，則ZE（R）為約化環(huán).一個環(huán)R稱為π－正則環(huán)，若對每個a∈R，存在n≥1，使得an是von Neumann正則元.一個環(huán)稱為強π－正則環(huán)，若對每個a∈R，存在n≥1，使得an是強正則元.根據(jù)文獻［16］，強π－正則環(huán)是π－正則環(huán)，但反之未必.由定理8，可得推論：

推論8 設R為π－正則環(huán)，則ZE（R）為強π－正則環(huán).

根據(jù)［6］，一個環(huán)R稱為exchange環(huán)，如果對每個x∈R，存在e∈E（R），使得e∈xR，1－e∈（1－x）R.由文獻［3］可知，VNL－環(huán)是exchange環(huán).眾所周知，只含有兩個冪等元的exchange環(huán)是局部環(huán).

定理9 設R為VNL－環(huán)，則R不能寫成理想的直和當且僅當ZE（R）為局部環(huán).

證明 必要性 設R為VNL－環(huán)，由推論5，ZE（R）也為VNL－環(huán)，從而ZE（R）為exchange環(huán).若ZE（R）不是局部環(huán)，則有0≠e≠1，e2＝e∈ZE（R）.對任意a∈R，記g＝e＋ae－eae，則g2＝g.故eg＝ge，所以e＝g，從而ae＝eae.同理可證，ea＝eae.因此ae＝ea，所以e為中心元.從而1－e也為中心元，所以R＝eRe⊕（1－e）R（1－e）為理想的直和，與假設矛盾.故ZE（R）為局部環(huán).

充分性 若R＝I1⊕I2⊕…⊕In是理想的直和.故Ii＝Rei，i＝1，2，…，n，其中＝ei為中心元，故ei∈ZE（R），i＝1，2，…，n.所以ZE（R）不是局部環(huán)，矛盾.

由于局部環(huán)的交換子環(huán)是局部環(huán)且對每個環(huán)R，R的中心Z（R）是ZE（R）的子環(huán)，從而由定理9的證明可以看出：

推論9 設R為VNL－環(huán)，則R不能寫成理想的直和當且僅當Z（R）為局部環(huán).

定理10J（R）∩ZE（R）＝J（ZE（R））.

證明 顯然J（R）∩ZE（R）是ZE（R）的理想.現(xiàn)對任意x∈J（R）∩ZE（R），1－x是R中的可逆元，所以存在a∈R，使（1－x）a＝a（1－x）＝1，故1－x＝（1－x）a（1－x）.因為a3（1－x）2∈ZE（R），且（1－x）a3（1－x）2（1－x）＝1－x，所以（1－x）a3（1－x）2＝a3（1－x）2（1－x）＝1，故1－x在ZE（R）中可逆，從而J（R）∩ZE（R）?J（ZE（R））.因此J（R）∩ZE（R）＝J（ZE（R））.

設R為一個環(huán)，記NV（R）＝｛a∈N（R）｜a是von Neumann正則元｝.利用NV（R），可得如下結論.

定理11 一個環(huán)R為約化環(huán)當且僅當R為n－正則環(huán)且NV（R）?ZE（R）.

證明 當R為約化環(huán)時，R為n－正則環(huán)和Abelian環(huán)，由定理4，NV（R）?R＝ZE（R），所以必要性成立.

反過來假設R為n－正則環(huán)且NV（R）?ZE（R）.如果R不是約化環(huán)，則有0≠a∈R，使得a2＝0.由于R為n－正則環(huán)，則a∈NV（R）且存在b∈R，使得a＝aba.由于NV（R）?ZE（R）且ba∈E（R），所以a＝aba＝baa＝0.矛盾！因此R為約化環(huán).

利用定理11，可得下面的推論.

推論10 一個環(huán)R為強正則環(huán)當且僅當R為正則環(huán)且NV（R）?ZE（R）.

一個環(huán)R稱為有穩(wěn)定域1，如果對任意a，b∈R，當aR＋bR＝R，必有y∈R，使得a＋by是R的可逆元.眾所周知，一個exchange環(huán)R有穩(wěn)定域1當且僅當R的每個von Neumann正則元是可逆正則元.由于強正則元總是可逆正則元，所以推論10暗示下面的推論.

推論11 設R為exchange環(huán)且NV（R）?ZE（R），則R有穩(wěn)定域1.

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Idempotent Commutative Subrings

QU Yin－chun1，2，WEI Jun－chao2，LI Li－bin2

（1.Wuxi Institute of Technology，Wuxi 214073，China；
2.School of Mathematics Science，Yangzhou University，Yangzhou 225002，China）

This article introduced the idempotent commutative subringZE（R）of the ringR，discussed the conditions of a ring being Abelian ring by using the properties ofZE（R）.The following result was also proved.Leta∈ZE（R），ifabe the von Neumann regular element ofR，then it must be the von Neumann regular element ofZE（R）.Thus ifRis a VNL－ring，then so isZE（R）.

idempotent elements；idempotent commutative subring；von Neumann regular elements；VNL－ring

O153.3；O154 MSC2010：13M05

A

1674－232X（2011）05－0399－04

10.3969/j.issn.1674－232X.2011.05.003

2011－03－16

國家自然科學基金項目（10771182）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新項目（CX09B＿309Z）.

屈寅春（1977—），男，江蘇揚州人，講師，主要從事群論和環(huán)論研究.

＊通信作者：魏俊潮（1968—），男，江蘇興化人，副教授，主要從事代數(shù)環(huán)論研究.E－mail：jcweiyz＠yahoo.com.cn