項(xiàng)林川

（華中科技大學(xué)物理學(xué)院，湖北 武漢 430074）

一個(gè)靜電問(wèn)題的能量解釋

項(xiàng)林川

（華中科技大學(xué)物理學(xué)院，湖北 武漢 430074）

本文從能量的角度討論了一個(gè)靜電問(wèn)題.

能量；電荷分布；曲率；靜電平衡

利用能量關(guān)系處理問(wèn)題，思路簡(jiǎn)明，適用面寬，是一種在大學(xué)物理教學(xué)中值得重視的方法.

在一些大學(xué)物理教材和參考書中［1］，常以下面這個(gè)問(wèn)題作為靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面的電荷分布與曲率的關(guān)系的一個(gè)例子.如圖1所示，用一根很長(zhǎng)的細(xì)導(dǎo)線將兩個(gè)半徑分別為R1和R2的球形導(dǎo)體連接起來(lái)，并使這個(gè)導(dǎo)體系統(tǒng)帶電，所帶總電量為Q（＞0），求兩導(dǎo)體球表面的電荷面密度σ1、σ2與曲率半徑R1、R2的關(guān)系.

圖1

這里要作一些適當(dāng)?shù)慕?因?qū)Ь€很長(zhǎng)，可認(rèn)為這兩個(gè)導(dǎo)體球相距很遠(yuǎn)，每個(gè)球面上的電荷分布在另一球處所激發(fā)的電場(chǎng)可以忽略不計(jì)，故可把每個(gè)球近似地看作為孤立導(dǎo)體，在兩導(dǎo)體球表面上的電荷分布各自都是均勻的；而細(xì)線上分布的少量電荷可以忽略不計(jì).兩導(dǎo)體球之間的細(xì)導(dǎo)線使得兩球的電勢(shì)相等，即［1］

這是通常的解法.

下面我們從另外一個(gè)角度，即用能量的觀點(diǎn)來(lái)重新考慮這個(gè)問(wèn)題.

這兩個(gè)導(dǎo)體球所組成的系統(tǒng)可看成是一個(gè)孤立系統(tǒng)，帶電后很快就會(huì)達(dá)到靜電平衡狀態(tài)，這是系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)，在該狀態(tài)系統(tǒng)的能量最低.

因?yàn)閮蓪?dǎo)體球相距很遠(yuǎn)，它們之間的相互作用可以忽略.因此，兩球表面上的電荷分布各自都是均勻的，并且系統(tǒng)總的電場(chǎng)能量W 就等于兩個(gè)導(dǎo)體球各自的電場(chǎng)能量的和，即

式中的W1和W2分別是第一和第二個(gè)導(dǎo)體球的電場(chǎng)能量.

對(duì)第一個(gè)球，由高斯定理［1］可知，球內(nèi)部電場(chǎng)為零，球體外部電場(chǎng)沿徑向朝外，大小為

所以［1，2］，

同理可得，

于是

總電量Q顯然滿足下式

從式（7）和式（8）消去σ2可以得到

系統(tǒng)能量取最低值要求

將式（9）代入式（10），可得到

式（11）代入式（8）得

由式（11）、（12）得到

此即式（2）.

可見(jiàn)，從能量的角度得到了和前面同樣的結(jié)論.雖然這個(gè)解法并不見(jiàn)得比第一種的解法來(lái)得簡(jiǎn)單，但卻是運(yùn)用能量關(guān)系求解問(wèn)題的一個(gè)很好的例子.

［1］ 程守洙，江之永.普通物理學(xué) 第六版（上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2006

［2］ 鄧順蓉.大學(xué)物理［M］.武漢：湖北科學(xué)技術(shù)出版社，1998

ENERGY EXPLANATION FOR AN ELECTROSTATIC PROBLEM

Xiang Linchuan
（School of Physics，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan，Hubei 430074）

In this paper，a discussion is given for an electrostatic problem from the point of view of energy.

energy；charge distribution；curvature；electrostatic equilibrium

2011－04－10）