劉明超 丁曉燕

（1山東大學(xué)土建與水利學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100）

（2北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 102400）

許用載荷求解方法的優(yōu)化

劉明超1丁曉燕2

（1山東大學(xué)土建與水利學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100）

（2北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 102400）

計(jì)算方法的優(yōu)化是人們對問題通過多途徑分析，找到能使計(jì)算步驟簡單，易于使結(jié)果準(zhǔn)確的方法，在理論分析和工程實(shí)踐中具有十分重要的意義.本文試圖通過對一個(gè)實(shí)例的分析，提出一種優(yōu)化材料許用載荷求解的方法，通過此方法可以減少工程中許用載荷計(jì)算的工作量，有助于提高計(jì)算效率.

許用載荷；工程；優(yōu)化方法

1 引例

例1如圖1所示，長為L，重為W 的桿AB支撐住位于光滑豎直倒槽內(nèi)的物塊E，物塊E重G；A、B接觸面的靜摩擦系數(shù)均為μ.求桿AB能保持平衡的最大角度φ.

圖1

文獻(xiàn)［2］中給出的解法為窮舉法，如下所列的解法（1）.

解法（1）

（1）設(shè)B點(diǎn)先達(dá)到臨界狀態(tài)，A點(diǎn)未達(dá)到，則有

取物塊E進(jìn)行受力分析，有

取桿AB進(jìn)行受力分析，有

由方程（1）～（4），得

（2）設(shè)A點(diǎn)先達(dá)到臨界狀態(tài)，B點(diǎn)未達(dá)到，則有

取桿AB進(jìn)行受力分析，有

由方程（2）、（3）、（5）、（6），得

比較φ1和φ2可知，使桿AB保持平衡的最大夾角此時(shí)桿A處于臨界狀態(tài).

下面，我們對此解法進(jìn)行優(yōu)化.

解法（2）

先分析A、B兩桿的受力情況，由解法（1）知：

對E：NA＝G，對AB：NB＝G＋W，即A處的支持力恒小于B處.由于A、B接觸面靜摩擦系數(shù)相同，故由Ff＝μFN知，A處一定先達(dá)到臨界狀態(tài)，即有FA＝μN(yùn)A.

再對AB桿進(jìn)行受力分析：

不難看出，解法（2）通過先分析受力情況而排除了“B點(diǎn)先達(dá)到臨界狀態(tài)，A點(diǎn)未達(dá)到”的情況，簡化了求解過程，達(dá)到了優(yōu)化計(jì)算方法的效果.

2 許用載荷計(jì)算方法的優(yōu)化

下面，我們將此優(yōu)化方法的思路推廣到材料許用載荷計(jì)算的一類問題中.

例2如圖4所示，兩桿三角支架中桿AB和桿BC的材料相同，均為直徑為D的圓截面，材料的許用應(yīng)力為［σ］，試確定結(jié)構(gòu)的許用載荷［F］.

通常采用類似于例1中的窮舉法，如下所列的解法（1）.

解法（1）

（1）求各桿中軸力的表達(dá)式

對A節(jié)點(diǎn)（圖5）列寫平衡方程，求得

（2）根據(jù)強(qiáng)度條件確定許用載荷

對AB桿，有

故保證桿AB安全的許用載荷為

對AC桿，有

故保證桿AC安全的許用載荷為

綜上，保證兩桿均安全的許用載荷應(yīng)取

很明顯，上述解法不是最簡的，按照例1的思路，我們可以對其作如下優(yōu)化.

解法（2）

保證兩桿均安全則只需保證桿AB安全，由

得許用載荷為

結(jié)論與解法（1）相同.

3 總結(jié)

由上述例2可以看出，通過分析不同桿的受力情況，對求解方法進(jìn)行優(yōu)化，可以簡化求解過程，減少計(jì)算量.

此例給出的只是兩桿的情況，對于多桿求拉壓許用載荷的情況，只要桿的材料和橫截面相同，均可只計(jì)算軸力最大桿的許用載荷，這樣就可以減少大量的運(yùn)算.例如，在計(jì)算圖6所示的房屋立柱（材料和尺寸均相同）的許用壓應(yīng)力時(shí)，若頂面力系均勻分布（圖6（a）），則只需計(jì)算其中一根立柱的許用壓應(yīng)力；若頂面力系非均勻分布（圖6（b）），則只需找出受力最大的一根立柱，計(jì)算其許用壓應(yīng)力.這樣的實(shí)例在工程實(shí)踐中還有很多.同樣，對于相同材料尺寸非均勻的圓軸（圖7），計(jì)算許用載荷時(shí)只需找出其中的危險(xiǎn)截面，按危險(xiǎn)截面處應(yīng)力狀態(tài)求許用載荷.對于相同材料等截面梁的彎曲問題（圖8），計(jì)算許用載荷同樣只需考查危險(xiǎn)截面處即可.

圖6

本文只討論計(jì)算許用載荷方法的優(yōu)化，其實(shí)，這種思路還可以應(yīng)用到強(qiáng)度校核中，同樣可以達(dá)到很好的優(yōu)化效果.

［1］ 韓斌，劉海燕等.材料力學(xué)［M］.北京：兵器工業(yè)出版社，2009.101～208

［2］ 高云峰，蔣持平等.力學(xué)小問題及全國大學(xué)生力學(xué)競賽試題［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.25～26

［3］ 劉鴻文.材料力學(xué)Ⅰ［M］.北京：高等教育出版社，2004.12～49

2011－04－26）

劉明超（1990年出生），男，四川廣元人，山東大學(xué)土建與水利學(xué)院工程力學(xué)專業(yè)2009級本科生（2010至2011學(xué)年在北京理工大學(xué)交流學(xué)習(xí)）；丁曉燕（1989年出生），女，山東煙臺(tái)人，北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院工程力學(xué)專業(yè)2009級本科生.