劉 易，任學(xué)敏

（同濟(jì)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，上海200092）

2004年2月，國務(wù)院頒布了《國九條》，明確提出了股改的要求.股權(quán)分置改革是非流通股股東通過向流通股股東提供一定的對(duì)價(jià)作為補(bǔ)償，使非流通股獲得流通權(quán)，實(shí)現(xiàn)同股同價(jià).

通常，非流通股股東用送股和認(rèn)購或認(rèn)沽權(quán)證的方式來支付對(duì)價(jià)，但也有上市公司（如上海醫(yī)藥和農(nóng)產(chǎn)品）送創(chuàng)新型權(quán)證，該創(chuàng)新型權(quán)證不同于一般權(quán)證的是它將股票和權(quán)證相捆綁，承諾流通股股東在一定時(shí)間后有權(quán)按約定的價(jià)格將股票出售給非流通股股東，這相當(dāng)于在流通股股票里嵌入了認(rèn)沽權(quán)證，從而股價(jià)將不再呈現(xiàn)幾何布朗運(yùn)動(dòng).由于一般的權(quán)證定價(jià)都是假設(shè)股價(jià)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，因此不能簡單地從股票價(jià)格出發(fā)來計(jì)算該創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格.為了解決這個(gè)問題，借鑒信用風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)理論中的結(jié)構(gòu)化方法.結(jié)構(gòu)化方法由Merton［1-2］最先提出，是以公司資產(chǎn)為狀態(tài)變量，到期日資不抵債為破產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)，利用期權(quán)定價(jià)理論［3］，對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量的方法，Black和Cox［4］提出了首次通過模型，將模型推廣到可在到期日之間發(fā)生違約的情況.本文以公司資產(chǎn)作為基本變量，采用首次通過模型，運(yùn)用無套利原理建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)有擔(dān)保和無擔(dān)保的情況進(jìn)行分析，得出該創(chuàng)新型權(quán)證的定價(jià)公式.最后對(duì)不同市場(chǎng)變量對(duì)創(chuàng)新型權(quán)證價(jià)格的影響作了理論和數(shù)值分析.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 基本假設(shè)

（1）公司負(fù)債為F，公司資產(chǎn)為V，公司負(fù)債到期日為T1；其中，F(xiàn)，V是相對(duì)每份股票而言的，且由于在零時(shí)刻公司資產(chǎn)V0應(yīng)該不能小于負(fù)債F，有V0≥F＞0；公司非流通股m份，流通股n份.

（2）對(duì)于公司資產(chǎn)Vt，假設(shè)其服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)：

式中：μ，σ為常數(shù)，分別表示公司資產(chǎn)的期望回報(bào)率和波動(dòng)率；dWt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，即：

（3）創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)值為S（Vt，t），其到期日T≥T1，敲定價(jià)即流通股股東有權(quán)出售的股票價(jià)格為K.

（4）市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)，無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)r＞0；股票無股息；無交易費(fèi)和稅收.

1.2 建立方程

利用Δ-對(duì)沖原理［5］，在時(shí)間段（t，t+dt）上構(gòu)造投資組合Π，使其在（t，t+dt）時(shí)間段內(nèi)無風(fēng)險(xiǎn)，Π 是由1份創(chuàng)新型權(quán)證S和Δ份公司資產(chǎn)V組成,即:

由伊藤公式，組合在（t，t+dt）時(shí)間的收益是：

即：

由式（3），（5），可得：

1.3 有擔(dān)保和無擔(dān)保時(shí)的定解條件與求解

1.3.1 定解條件

當(dāng)該創(chuàng)新型權(quán)證有擔(dān)保且不考慮擔(dān)保公司違約的情況下，如果公司資產(chǎn)V減去負(fù)債在權(quán)證到期日T的貼現(xiàn)Fe-r（T1-T）大于或等于敲定價(jià)K，在到期日T，該創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格S就是V-Fe-r（T1-T）；否則，由于有擔(dān)保，在不考慮擔(dān)保方違約的情況下，在到期日，T該創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格S都等于敲定價(jià)K.因此定解問題為

當(dāng)該創(chuàng)新型權(quán)證無擔(dān)保且V-Fe-r（T1-T）≥K時(shí)，在到期日T該創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格S即為V-Fe-r（T1-T）；否則，由于無擔(dān)保，則需做進(jìn)一步的討論：如果將公司資產(chǎn)V減去負(fù)債在權(quán)證到期日T的貼現(xiàn)Fe-r（T1-T），即V-Fe-r（T1-T）這一部分全部給流通股股東，則對(duì)于流通股股東而言即可以獲得，如果V-Fe-r（T1-T）≥K，則在到期日T該創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格S等于敲定價(jià)K；如果0≤V-Fe-r（T1-T）≤K（即公司資產(chǎn)大于負(fù)債，公司未破產(chǎn)），則在到期日T該創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格S就等于；如果其值小于0（即公司資產(chǎn)小于負(fù)債，公司破產(chǎn)），則在到期日T該創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格S等于0.因此定解問題為

1.3.2 求解方程

作自變量代換，

方程（6）可化為常系數(shù)拋物型方程

則定解問題（7）轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型方程的初值問題

其中，

同樣的，定解問題（8）也可轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型方程的 初值問題

作函數(shù)變換，

初值問題（11）變?yōu)?/p>

初值問題（13）變?yōu)?/p>

根據(jù)Poisson公式［6］

其中，φ（ξ）為初值.

則初值問題（15）的解為

由此可得

定理1 在有擔(dān)保情況下，創(chuàng)新型權(quán)證的定價(jià)

公式：

其中，

對(duì)無擔(dān)保的情況：

從而有：

定理2 在無擔(dān)保情況下，創(chuàng)新性權(quán)證的定價(jià)公式：

其中：

2 創(chuàng)新型權(quán)證S 與各變量之間的關(guān)系

2.1 波功率σ 與S 的關(guān)系

圖1為σ與S的關(guān)系圖，圖中，取V=10，F(xiàn)=2，K=5，T1=1.1，T=1，r=0.1，m=5，n=5.

圖1 創(chuàng)新性權(quán)證價(jià)格與波動(dòng)率的關(guān)系Fig.1 Relationship between innovative warrant price and volatility

由圖1可知，創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格在不同情況下有所差異，由高到低分別為有擔(dān)保情況和無擔(dān)保情況.這是因?yàn)闊o擔(dān)保情況相對(duì)于有擔(dān)保情況在公司破產(chǎn)時(shí)可能的獲利要小.同時(shí)，在有擔(dān)保和無擔(dān)保的情況下，創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格均隨波動(dòng)率的增大而增大.這是因?yàn)椴▌?dòng)率的增加對(duì)其價(jià)格有兩方面影響：其一是增加了在到期日公司破產(chǎn)的可能性；其二是增加了到期日獲利的可能性，但由于有非流通股東提供的保底因素，后者的影響起主導(dǎo)作用，因此創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格隨波動(dòng)率的增大而增大.

圖2 極端情況下權(quán)證價(jià)格與波動(dòng)率的關(guān)系Fig.2 Relationship between innovative warrant price and volatility in extreme case

由圖2可知，這里考慮在極端情況下，即公司的資產(chǎn)大多來自于負(fù)債，這會(huì)造成破產(chǎn)可能性增大，價(jià)格的變化與圖1相似，但是由于破產(chǎn)的可能性增大而降低了權(quán)證的價(jià)格.

2.2 公司負(fù)債F 與S 的關(guān)系

取V=10，σ=1，K=5，T1=1.1，T=1，t=0，r=0.1，m=5，n=5（圖3）.

創(chuàng)新性權(quán)證的價(jià)格在不同情況下有所差異，由高到低分別是有擔(dān)保情況和無擔(dān)保情況.這是因?yàn)?，無擔(dān)保情況相對(duì)于有擔(dān)保情況在公司破產(chǎn)的情況下可能的獲利要小.

圖3 創(chuàng)新性權(quán)證價(jià)格與公司負(fù)債的關(guān)系Fig.3 Relationship between innovative warrant price and company’s debt

同時(shí)可以看出，在有擔(dān)保和無擔(dān)保的情況下，創(chuàng)新性權(quán)證的價(jià)格均隨公司負(fù)債的增大而增大.這是因?yàn)樨?fù)債的增大增加了公司破產(chǎn)的可能性，從而減少了可能的獲利.

2.3 m／n與S 的關(guān)系

取V=10，σ=1，F(xiàn)=2，K=5，T1=1.1，T=1，t=0，r=0.1，m=5，n=5（圖4）.

圖4 創(chuàng)新性權(quán)證價(jià)格和非流通股與流通股股東股份的比值的關(guān)系Fig.4 Relationship between innovative warrant price and ratio of non-tradable and tradable share

由圖4可知，在無擔(dān)保的情況下，創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格隨公司非流通股股東和流通股股東所占股份的比值的增大而增大.這是因?yàn)楸戎档脑龃笤黾恿朔橇魍ü晒蓶|在破產(chǎn)時(shí)給流通股股東的補(bǔ)償.

2.4 敲定價(jià)K 與S 的關(guān)系

取V=10，σ=1，F(xiàn)=2，T1=1.1，T=1，t=0，r=0.1，m=5，n=5（圖5）.

由圖5可知，無擔(dān)保情況相對(duì)于有擔(dān)保情況在公司破產(chǎn)的情況下可能的獲利要小.同時(shí)在有擔(dān)保和無擔(dān)保的情況下，創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格均隨其敲定價(jià)的增大而增大.這是因?yàn)榍枚▋r(jià)的增大增加了可能的獲利.

圖5 創(chuàng)新性權(quán)證價(jià)格與敲定價(jià)的關(guān)系Fig.5 Relationship between innovative warrant price and strike price

2.5 無風(fēng)險(xiǎn)利率r與S 的關(guān)系

圖6 創(chuàng)新性權(quán)證價(jià)格與利率的關(guān)系Fig.6 Relationship between innovative warrant and interest rate

由圖6可知，在有擔(dān)保的情況下，創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格隨利率的增大先減后增；在無擔(dān)保的情況下，創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格隨利率的增大而增大.這是因?yàn)槔蕦?duì)其價(jià)格有兩方面影響：其一是利率的增加降低了在到期日的負(fù)債，增加了可能的獲利；其二是利率的增加減少了敲定價(jià)在初始時(shí)刻的現(xiàn)值.在有擔(dān)保的情況下，先受后者的影響更大，表現(xiàn)為其價(jià)格隨利率的增大而減??；隨著利率的進(jìn)一步增大，前者的影響超過后者，表現(xiàn)為其價(jià)格隨利率的增大而增大.在無擔(dān)保的情況下，由于更多考慮破產(chǎn)的影響，前者對(duì)利率的影響始終占據(jù)主導(dǎo)地位，表現(xiàn)為其價(jià)格始終隨利率的增大而增大.

2.6 公司負(fù)債到期日T 與S 的關(guān)系

取V=10，σ=1，F(xiàn)=8，K=5，T1=1.1，t=0，r=0.1，m=5，n=5（圖7）.

由圖7可知，在有擔(dān)保和無擔(dān)保的情況下，創(chuàng)新型權(quán)證的價(jià)格均隨其到期日的增大而增大.這是因?yàn)榈狡谌諏?duì)其價(jià)格有兩方面影響：其一是到期日的增大增加了可能的獲利；其二是到期日的增大而增大了破產(chǎn)的可能性.同樣由于非流通股股東提供的保底，前者的影響起主導(dǎo)作用，表現(xiàn)為其價(jià)格隨到期日的增大而增大.

圖7 創(chuàng)新性權(quán)證價(jià)格與權(quán)證到期日的關(guān)系Fig.7 Relationship between innovative warrant and maturity date

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