俞澤辰

(內(nèi)蒙古鐵騎集團，呼和浩特 010010)

兩種由U(1)主叢構成的Kaluza－Klein理論

俞澤辰

(內(nèi)蒙古鐵騎集團，呼和浩特 010010)

比較了兩種由U(1)主叢構成的Kaluza－Klein統(tǒng)一理論，它們的區(qū)別主要在于對不同空間維間基底的泊松括號交換關系的不同處理，決定了電磁場與引力場的不同的統(tǒng)一的方式。從而認為深入探究高維空間中自然力的統(tǒng)一的核心在于:從它們關于不同空間維間基底的交換關系(作為量子條件的緣起)切入。

Kaluza－Klein理論;U(1)主叢;雙重纖維叢;基底交換關系

統(tǒng)一描述四種自然力——引力、電磁力、強力、弱力，始終是理論物理學追求的目標。20世紀20年代，Kaluza－Klein五維理論［1］為增加度規(guī)張量分量的數(shù)目引入了第五維空間，統(tǒng)一了引力與電磁場。在其后的幾十年里，人們用高維時空對統(tǒng)一自然力作了很多努力，諸如11維超引力和10維超弦等［2，3］。而對傳統(tǒng)的Kaluza－Klein理論本身也作了更深入的改進，其中特別是兩種以規(guī)范群U(1)為纖維的主叢理論，即第一種U(1)主叢K－K理論——第五維半徑與Planck長度密切相聯(lián)系的五維U(1)主叢K－K理論［4］和第二種U(1)主叢K－K理論——含標量場的雙重纖維叢K－K理論［5，6］。本文即對這兩種理論進行比較、分析，找出新切入點。

1 U(1)主叢K－K理論——第五維半徑與Planck長度密切相聯(lián)系的五維U(1)主叢K－K理論［4］

近代的主叢表達較早年的Kaluza－Klein理論有兩點進展:

1.1 在主叢表述中，按近代關于電磁場是與位相規(guī)范群相聯(lián)系的規(guī)范場觀點，第五維是與帶電粒子的位相相聯(lián)系的;

1.2 第五維是閉合的。因為電荷的規(guī)范變換是緊致的，因而是U(1)群，其流形是閉合的圓。在此基礎上，該理論假定五維空間度規(guī)為

其中第五維坐標θ在主叢表述中是電荷規(guī)范群U(1)的位相參數(shù)，γ0為第五維半徑。取五維空間主叢P (M4，U(1))在點(xμ，θ)處的非坐標基(活動標架)為

由此計算出這組基的交換關系(泊松括號)為

其中Fμv=?μAv－?vAμ是電磁場張量。在引入與(2)對偶的基的一次微分形式后，五維度規(guī)(1)變成

由標架度規(guī)γAB與活動標架下Christoffel聯(lián)絡和Riemann曲率張量的關系，求得五維空間中標量曲率為

其中R為時空的標量曲率。顯然與第五維坐標無關。

最后導至通常的含電磁場的Einstein－Maxwell方程的變分原理

由此可見，與引力統(tǒng)一的電磁場來自前三維基底間的式(4)中的不對易交換關系

因此與第五維坐標θ無關，所以看不到第五維。而且得到

2 U(1)主叢K－K理論——含標量場的雙重纖維叢K－K理論［5，6］

2.1 這種理論(1986)［5］從研究時空流形度規(guī)的空間分布與定域變化都受雙群U(1)2支配入手，首先闡明了U(1)?U(1)2與U(1)2的環(huán)繞數(shù)關系，以及群U(1)2的局部U(1)的群對度規(guī)規(guī)定的表現(xiàn)與局部U (1)子群元素間的對應關系。從而引出引力相互作用存在U(1)2下的內(nèi)對稱規(guī)范場，與電磁規(guī)范群U (1)關系下的電磁規(guī)范場有相似之處。從而認為，真正的統(tǒng)一理論應當是引力場與U(1)2的規(guī)范場的統(tǒng)一;進一步得到對Kaluza－Klein理論的實質認識，即可將Kaluza－Klein理論解釋成把U(1)規(guī)范理論當作U(1)2的規(guī)范理論的結果。而后者形式上包括前者。

2.2接著(1994)［6］具體提出利用雙重纖維叢P2(P1(M，U(1))，U(1))建立引力－電磁場－標量場的Kaluza－Klein理論，并給出標量場的一種新的解釋。

P2的非坐標基為{Di，D5，D6}，

α，β為耦合常數(shù)，θ為第五維位相坐標。

.假定Ai和φ都只是時空坐標Xi的函數(shù)。由此求得非坐標基的交換關系為

由P2上聯(lián)絡和曲率張量求得曲率標量為

其中RM為四維時空M的曲率標量。取為作用量，可得作用量

該作用量由四維時空曲率，電磁場和標量場的動能項構成，是含標量場的K－K理論的作用量。依耦合常數(shù)的不同，有下列三種交換關系的不同情況:

?=β=0，此時作用量僅由廣義相對論的Riemann曲率構成

這是通常用標量曲率表示的引力的作用量。?≠0，β=0，此時作用量退化為

這就是統(tǒng)一引力－電磁場的K－K理論的作用量，與引力統(tǒng)一的電磁場來自不對易交換關系［Di，Dj］=－?Fij?6≠0。

這則是標量場φ與廣義相對論耦合的作用量(1957，Bergmann，Leipnik)，由此將標量場幾何解釋為它是雙重纖維叢上的聯(lián)絡，更來自于不對易交換關系［Di，D5］=－β?iφ?6≠0。這正是含標量場的雙重纖維叢K－K理論。

3 討論

在以上兩種由U(1)主叢構成的Kaluza－Klein理論中，都用它們的不同維的基間的不對易交換關系得到相應的電磁場與引力的不同的統(tǒng)一形式:

利用前三維基間的不對易交換關系統(tǒng)一引力與電磁場。第一種U(1)主叢K－K理論和第二種U(1)主叢K－K理論中耦合常數(shù)?≠0時的情況都是如此。它們的前三維間基的不對易交換關系分別是

而利用第五維與前三維間基的不對易關系

得到的便是含標量場φ的雙重纖維叢K－K理論。

從Kaluza－Klein理論的五維觀點看，從增加維數(shù)為增加張量數(shù)目，已經(jīng)發(fā)展為用高維研究自然力的統(tǒng)一，將反映微觀量子屬性的不對易引入到主叢的相關基的交換關系中，尋求引力與電磁場，以至更多量子場的統(tǒng)一。因此，從主叢的基的交換關系作為量子條件的緣起切入，是統(tǒng)一自然力的重要途徑。這就是比較兩種主叢U(1)K－K理論帶給我們關于深入探究五維甚至更高維空間的本質與統(tǒng)一屬性的重要啟示。

［1］P.G.柏格曼.相對論引論［M］.北京:人民教育出版社，1979

［2］李新洲.現(xiàn)代卡盧扎——克萊因理論［J］.自然雜志1985，(8):771

［3］Paul Davies.11維時空的世界［J］.世界科學，1985，(5):26

［4］吳詠時.Planck長度和統(tǒng)一引力——電磁的五維從理論［J］.物理學報，1980，(3):395

［5］卲常貴，內(nèi)對稱引力規(guī)范理論［J］.1986，(2):72

［6］侯喜文，馮笙琴，邵常貴.含標量場的kaluza－klein理論［J］.黃淮學刊，1994，(2):48

O572.2

A

1009－5462(2011)03－0039－03

2011－07－16

俞澤辰，男，天津人，內(nèi)蒙古鐵騎集團高級工程師。

［責任編校:張彩紅］