付火星, 朱偉義

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江金華 321004)

十進(jìn)制中數(shù)字之和數(shù)列的性質(zhì)是文獻(xiàn)[1]中提出的初等數(shù)論和集合論中 105個(gè)未解決的問題之一.許多學(xué)者對(duì) n進(jìn)制中數(shù)字之和函數(shù)的均值性質(zhì)進(jìn)行了研究,并得到了很多有意義的結(jié)論.本文將對(duì)二進(jìn)制中數(shù)字之和函數(shù)的均值性質(zhì)作進(jìn)一步的討論.

設(shè)自然數(shù)N在二進(jìn)制表示下為as…a2a1a0,其中 ai=0或 1.定義函數(shù) a(N)為N在二進(jìn)制表示下的1,2,3,4,5,6,7,8)的精確計(jì)算公式.但是,要想得到更高次的均值精確計(jì)算公式,難度會(huì)越來越大.本文就這類問題進(jìn)行了討論,得到 Bm(Rn)的一個(gè)漸近性質(zhì),然后利用這個(gè)性質(zhì),給出了二進(jìn)制中數(shù)字之和函數(shù)的 m次均值 Bm(N)的一個(gè)估計(jì).

00是無意義的,為討論方便,規(guī)定 00=1.根據(jù)以上定義,容易驗(yàn)證 Bm(Rn)有如下幾個(gè)基本性質(zhì):1)B0(Rn)=Rn=2n;2)Bm(R0)=0(m≥1);3)Bm(R1)=1(m≥1).

為證明主要結(jié)果,先給出引理 1.

將式 (2)中的每個(gè)式子分別乘以 20,21,22,…,2n-2,并將其相加,得

考慮到 T1=1及 Bm(Rn)的基本性質(zhì) 3),由式 (3)立即得到

根據(jù)引理 1以及 Bm(Rn)的基本性質(zhì) 1)可以很容易地得到如下結(jié)論:

值得一提的是,這些結(jié)論與文獻(xiàn)[2-6]的結(jié)果是一致的.當(dāng)然,還可以利用引理 1以及 Bm(Rn)的基本性質(zhì) 1)繼續(xù)演算下去,從而得到 B6(Rn),B7(Rn),…等一系列計(jì)算公式.但是,當(dāng)面對(duì)越來越大的 m值時(shí),逐次往后遞推的運(yùn)算過程會(huì)越來越復(fù)雜,均值的精確計(jì)算公式也會(huì)非常冗長(zhǎng)復(fù)雜.然而,從B0(Rn),B1(Rn),B2(Rn),B3(Rn),B4(Rn),B5(Rn)的計(jì)算公式中不難發(fā)現(xiàn),當(dāng) t=0,1,2,3,4,5時(shí)Bt(Rn)與 nt2n-t是等價(jià)無窮大的,于是很自然地就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)疑問:是否對(duì)于任意自然數(shù) m,總成立Bm(Rn)～nm2n-m?定理 1給出了肯定的回答.

定理 1 對(duì)于任意給定的非負(fù)整數(shù) m,有 Bm(Rn)～nm2n-m(n→∞).

證明 用歸納法證明.當(dāng) m=0時(shí),由 Bm(Rn)的基本性質(zhì) 1)知 B0(Rn)=Rn=2n,此時(shí)命題顯然成立.現(xiàn)假設(shè)對(duì)任意小于 m(m≥1)的 t∈Z+,命題都成立,即 Bt(Rn-1)～(n-1)t2n-1-t.下面證明當(dāng) t=m時(shí)命題也成立.

由極限的定義知,對(duì)任意給定的ε>0,存在自然數(shù) N,使得當(dāng) n>N時(shí),

即

記式 (5)右端兩項(xiàng)分別為 I1(n),I2(n).注意到 m≥1,故顯然有 I1(n)→0.下面考慮 I2(n).由式 (4)不難得到

利用二項(xiàng)式定理,由式 (6)可得

即

這說明 Bt(Rn)～nt2n-t在 t=m時(shí)也成立.根據(jù)歸納法原理,定理 1得證.

定理 1給出了 Bm(Rn)的漸近性質(zhì),利用這個(gè)性質(zhì)可以對(duì)二進(jìn)制中數(shù)字之和函數(shù)的 m次均值Bm(N)給出一個(gè)估計(jì),得定理 2.

定理 2 對(duì)于任意給定的非負(fù)整數(shù) m,有 Bm(N)=O((log2N)mN)(N→+∞).

證明 設(shè) N=2n1+2n2+…+2ns,其中 n1>n2>…>ns≥0,則 2n1≤N<2n1+1.下面考慮

令 N→+∞,并根據(jù)定理 1可得

由式 (7)和式 (8)得 Bm(N)=O((log2N)mN).定理 2證畢.

最后提出一個(gè)問題,既然在二進(jìn)制下已經(jīng)對(duì)其數(shù)字之和函數(shù)的 m次均值給出了一個(gè)估計(jì),那么是否在任意 p進(jìn)制下,也可以類似地對(duì)其數(shù)字之和函數(shù)作一定的均值估計(jì)?這是一個(gè)理論上值得探討的問題.

[1]Smarandache F.Only Problems,Not Solutions[M].Chicago:Xiquan Publishing House,1993.

[2]李海龍,楊倩麗.關(guān)于 n進(jìn)制及其有關(guān)計(jì)數(shù)函數(shù)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2002,18(1):13-15.

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