牛朝陽，張劍云，鄭志東

（解放軍電子工程學(xué)院，合肥 230037）

0 引言

在實(shí)際工程應(yīng)用中，為了減少成本，降低系統(tǒng)復(fù)雜度，希望利用盡量少的天線陣元獲得需要的陣列孔徑。對(duì)于直線陣列，目前有兩種主要的陣列配置方法，一種是均勻線陣，一種是非均勻線陣。對(duì)于前者的研究比較深入，可以利用傳統(tǒng)的道爾夫－切比雪夫綜合法、泰勒綜合法、傅里葉逆變換法和數(shù)值優(yōu)化等方法實(shí)現(xiàn)陣列優(yōu)化；相比于均勻陣列，在相同約束條件下，非均勻陣列具有更多的自由度，可以得到更好的優(yōu)化效果，目前對(duì)于非均勻陣列的優(yōu)化方法主要有動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、模擬退火法等。對(duì)于25個(gè)陣元，50λ（λ為入射信號(hào)波長(zhǎng)）孔徑長(zhǎng)度的線陣，文獻(xiàn)[1]采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法得到的方向圖峰值旁瓣為－10.14dB，文獻(xiàn)[2]采用模擬退火算法，得到峰值旁瓣為－12.07dB的方向圖，現(xiàn)有文獻(xiàn)均沒有對(duì)波束形成權(quán)值進(jìn)行同時(shí)聯(lián)合優(yōu)化。文中運(yùn)用多種群并行進(jìn)化遺傳算法對(duì)天線陣元進(jìn)行布陣優(yōu)化，采用稀疏柵格編碼和實(shí)數(shù)編碼兩種方式，優(yōu)化后波束方向圖峰值旁瓣分別達(dá)到了－11.8dB和－14dB，優(yōu)于文獻(xiàn)[2]方法1.93dB；凸優(yōu)化方法結(jié)合遺傳算法對(duì)非均勻線陣進(jìn)行陣元位置和波束形成權(quán)值聯(lián)合優(yōu)化，可將波束方向圖峰值旁瓣下壓制到－16.58dB，優(yōu)于文獻(xiàn)[2]方法4.51dB。

1 陣列模型

圖1所示為孔徑長(zhǎng)度為D、陣元數(shù)為N的線陣模型。陣元間距矢量為d＝[d1＝0，d2，…，dN]·λ（λ為波長(zhǎng)），入射信號(hào)為均勻平面波。令波束形成權(quán)值矢量為 W ＝ （W1，W2，…，WN）T，則對(duì)于無方向性陣元形成的陣列波束方向圖為：

其中，u＝sin（θ），－π／2≤θ≤π／2，θ為掃描角，k＝2π／λ。由式（1）可知，波束方向圖形狀由陣元位置d和波束形成權(quán)值W所決定，因此可以通過調(diào)整這兩個(gè)參數(shù)向量來優(yōu)化方向圖。

2 基于遺傳算法的非均勻線陣布陣優(yōu)化

對(duì)于非均勻線陣條件下的布陣優(yōu)化，可等效為如下非線性優(yōu)化問題：

其中，Psm為最大旁瓣值，Pmm為最大主瓣值，D為陣列孔徑，N為陣元數(shù)。此非線性優(yōu)化問題可用遺傳算法來求解，為了防止算法早熟，采用多種群并行進(jìn)化方案，算法方框圖如圖2所示。

2.1 稀疏柵格編碼的遺傳算法優(yōu)化

圖2 布陣優(yōu)化算法框圖

編碼是進(jìn)行遺傳優(yōu)化的第一步，也是關(guān)鍵的一步，對(duì)于孔徑為D個(gè)波長(zhǎng)的陣列，以半波長(zhǎng)為間距可以形成2D個(gè)柵格，如圖3所示。具有（2D＋1）個(gè)位置點(diǎn)，N個(gè)陣元非均勻的分布在這些柵格點(diǎn)上，采用二進(jìn)制編碼形式，在某個(gè)柵格點(diǎn)上如有陣元記為“1”，如沒有陣元記為“0”，為了保持陣列孔徑不變，要求陣列兩個(gè)端點(diǎn)有陣元。因此染色體具有如下形式：

圖3 陣列柵格

對(duì)于孔徑D＝50λ，陣元數(shù)N＝25的非均勻陣列，采用上述編碼方案和最優(yōu)保留策略，種群規(guī)模POP＝25，種群數(shù)量為NsubPOP＝8，采用兩點(diǎn)交叉，交叉概率pc＝0.6，變異概率pm＝0.01。優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。以1號(hào)陣元為參考點(diǎn)，陣元在線陣上的分布為[0 3 8 8.5 16 16.5 21.5 22 23 25.5 27 28 28.5 29 30 30.5 32 32.5 33 34.5 39 40 42.5 43.5 50]，單位為波長(zhǎng)。從仿真結(jié)果來看，優(yōu)化得到的波束方向圖旁瓣水平雖略高于文獻(xiàn)[2]，但計(jì)算量上占有優(yōu)勢(shì)[3]。

圖4 稀疏柵格編碼遺傳優(yōu)化方向圖

為了驗(yàn)證算法的魯棒性，采用上述陣元位置優(yōu)化結(jié)果，掃描波束指向即可得到不同指向時(shí)的波束方向圖，圖5給出了不同波束指向的方向圖峰值旁瓣曲線，可見，當(dāng)掃描波束指向時(shí)，方向圖峰值旁瓣基本保持不變，說明該算法的魯棒性與現(xiàn)有文獻(xiàn)方法相當(dāng)。

圖5 不同波束指向時(shí)的旁瓣峰值

2.2 采用實(shí)數(shù)編碼的遺傳算法優(yōu)化

上述采用半波長(zhǎng)整數(shù)倍的柵格編碼，優(yōu)化變量被限制在固定長(zhǎng)度的有限個(gè)柵格上，減少了自由度，為了進(jìn)一步壓制旁瓣，可采用實(shí)數(shù)編碼[4]，為了防止陣元間的互耦，陣元間距離必須大于dc，假設(shè)前（N－1）個(gè)陣元都向后占據(jù)長(zhǎng)度為dc線段，則共有長(zhǎng)為（N－1）dc的線段上不能分布陣元，剩下的區(qū)間總長(zhǎng)為：

在區(qū)間[0 S]上生成（N－2）個(gè)隨機(jī)ci，i＝1，2，…，N－2，把這（N－2）個(gè)數(shù)按照從小到大的順序排列為c1≤c2… ≤cN－2，記c0＝0，cN－1＝D，x0＝0，xN－1＝0，那么陣元位置的編碼為：

可以證明[5]：式（5）所采用的編碼方式滿足任意陣元間距大于dc的條件，因此在優(yōu)化過程中不需要再考慮此約束條件。此種編碼方式的染色體為：

圖6 實(shí)數(shù)編碼方向圖優(yōu)化

對(duì)于孔徑D＝50λ，陣元數(shù)N＝25的非均勻稀布陣列，采用上述編碼方案和最優(yōu)保留策略，種群規(guī)模POP＝20，種群數(shù)量為NsubPOP＝10，采用隨機(jī)遍歷選擇策略，單點(diǎn)交叉，交叉概率pc＝0.6，變異概率pm＝0.01。優(yōu)化所得方向圖如圖6所示，陣元分布為[00.62 2.02 3.33 4.30 5.10 6.10 6.8 8.56 11.18 11.8 12.53 13.33 14.10 14.94 16.69 17.40 18.22 19.04 20.78 21.90 22.60 25.5 26.38 50]，單位為波長(zhǎng)，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字。波束指向45°時(shí)的方向圖如圖7所示，此時(shí)出現(xiàn)較大旁瓣，因此可以得到結(jié)論：采用實(shí)數(shù)編碼在一定程度上壓低了方向圖旁瓣（－14dB），優(yōu)于文獻(xiàn)[2]方法1.93dB，但算法魯棒性有所變差。

圖7 實(shí)數(shù)編碼方向圖優(yōu)化（波束指向45°）

3 波束形成權(quán)值和陣元位置聯(lián)合優(yōu)化

3.1 凸優(yōu)化理論概述

凸優(yōu)化，又稱為凸規(guī)劃，提出于上世紀(jì)40年代，發(fā)展到上世紀(jì)90年代，人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到很多優(yōu)化問題都表現(xiàn)出凸性，因此優(yōu)化問題的分水嶺不是線性與非線性，而是凸性與非凸性。近年來，凸優(yōu)化在理論研究和工程應(yīng)用方面取得了顯著進(jìn)展，通過合理的系統(tǒng)建模和求解算法，很多工程問題可以借助凸優(yōu)化這一數(shù)學(xué)工具得到有效解決。通常認(rèn)為，只要是凸問題，總是可解的，因此，只要一個(gè)問題被表示為凸形式，則該問題實(shí)際上就已經(jīng)被解決了。凸優(yōu)化問題的基本數(shù)學(xué)模型為：

其中，f0，f1，…，fm為凸函數(shù)，等式約束為仿射函數(shù)。

3.2 非均勻線陣波束形成權(quán)值優(yōu)化

對(duì)于非均勻線陣的波束形成權(quán)值優(yōu)化，不能采用均勻線陣的窗函數(shù)方法，可以借助凸優(yōu)化方法解決此優(yōu)化問題。在圖1所示陣列模型中，陣列方向矢量可以表示為：

則式（1）可以寫為：

其中，（·）H表示共軛轉(zhuǎn)置。以最小化方向圖峰值旁瓣為目標(biāo)對(duì)權(quán)值進(jìn)行優(yōu)化，此問題可以描述為：

其中：As為方向圖旁瓣區(qū)域?yàn)榉较驁D指向。顯然式（10）是非線性優(yōu)化問題，很難給出解析形式的最優(yōu)解，但可以肯定的是：在陣元位置確知的情況下，式（10）滿足凸優(yōu)化條件[6]，因此可以利用凸優(yōu)化進(jìn)行求解。

3.3 聯(lián)合優(yōu)化

將凸優(yōu)化算法和遺傳算法結(jié)合起來，對(duì)陣元位置和波束形成權(quán)值進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化，有望進(jìn)一步壓低方向圖峰值旁瓣。有兩種聯(lián)合優(yōu)化方法，一是先利用遺傳算法對(duì)陣元位置進(jìn)行優(yōu)化，然后根據(jù)已知的陣元配置進(jìn)行權(quán)值優(yōu)化，此種方法可稱之為串行聯(lián)合優(yōu)化；二是在利用遺傳算法進(jìn)行位置優(yōu)化的過程中，在每代染色體適應(yīng)度值計(jì)算過程中引入凸優(yōu)化來尋找最佳波束形成權(quán)值，此種方法可稱之為并行聯(lián)合優(yōu)化。

圖8 稀疏柵格編碼聯(lián)合優(yōu)化方向圖

圖9 實(shí)數(shù)編碼聯(lián)合優(yōu)化方向圖

計(jì)算機(jī)仿真表明，兩種聯(lián)合優(yōu)化方法得到的波束方向圖旁瓣水平相當(dāng)，因此下面僅給出針對(duì)前面陣列優(yōu)化結(jié)果，利用凸優(yōu)化方法進(jìn)行波束形成權(quán)值優(yōu)化所得的波束方向圖和優(yōu)化權(quán)值。圖8給出了針對(duì)稀疏柵格編碼遺傳優(yōu)化所得陣列進(jìn)行權(quán)值凸優(yōu)化后的方向圖，可見，方向圖峰值旁瓣下降到－13.3dB，其優(yōu)化權(quán)值為：[0.0271 0.0202 0.0356 0.0202 0.0303 0.0321 0.0363 0.0422 0.0414 0.0552 0.0560 0.0545 0.0500 0.0604 0.0699 0.0473 0.0554 0.0486 0.0615 0.0514 0.0199 0.0205 0.0341 0.0164 0.0134]；圖9給出了針對(duì)實(shí)數(shù)編碼遺傳優(yōu)化所得陣列進(jìn)行權(quán)值凸優(yōu)化后的方向圖，峰值旁瓣下降到－16.58dB，其優(yōu)化權(quán)值為：[0.0103 0.0086 0.0329 0.0237 0.0361 0.0355 0.0366 0.0444 0.0435 0.0639 0.0562 0.0426 0.0715 0.0631 0.0687 0.0509 0.0553 0.0611 0.0459 0.0365 0.0339 0.0394 0.0162 0.0214 0.0018]。這里優(yōu)化權(quán)值為實(shí)數(shù)是合理的，因?yàn)閮?yōu)化時(shí)波束指向?yàn)?°，因此實(shí)際上只需要進(jìn)行幅度加權(quán)即可。

4 結(jié)論

對(duì)于非均勻線陣，在給定陣元數(shù)和陣列孔徑的約束條件下，文中討論了以降低波束方向圖峰值旁瓣為目標(biāo)的陣元位置和波束形成權(quán)值優(yōu)化方法。對(duì)于陣元位置優(yōu)化，采用基于柵格編碼和實(shí)數(shù)編碼多種群并行進(jìn)化遺傳算法，前者魯棒性優(yōu)于后者，但后者優(yōu)化效果好于前者和文獻(xiàn)[1－2]；對(duì)于陣元位置和波束形成權(quán)值的聯(lián)合優(yōu)化問題，采用凸優(yōu)化與遺傳算法相結(jié)合的聯(lián)合優(yōu)化方法，可將方向圖峰值旁瓣壓制到－16.58dB。文中方法在陣列優(yōu)化、波束形成等工程應(yīng)用中具有實(shí)用意義。

[1]Arora R K，Krishnamacharyulu N C.Synthesis of unequally spaced array using dynamic programming[J].IEEE Trans.on Antennas Propagation，1968，AP－16（7）：593－595.

[2]Murino V，Trucco A，Regazzoni C S.Synthesis of unequally paced arrays by simulated annealing[J].IEEE Trans Antennas Signal Processing，1996，44（1）：119－123.

[3]張子敬，趙永波，焦李成.陣列天線的遺傳優(yōu)化[J].電子科學(xué)學(xué)刊，2000，22（1）：174－176.

[4]陳客松，何子述，韓春林.非均勻線天線陣優(yōu)化布陣研究[J].電子學(xué)報(bào)，2006，36（12）：2263－2267.

[5]張昭陽，趙永波，黃敬芳.任意位置稀布陣天線的遺傳優(yōu)化[J].火控雷達(dá)技術(shù)，2009，38（3）：68－70.

[6]楊潔.基于凸優(yōu)化的寬帶陣列方向圖綜合算法[J].微計(jì)算機(jī)信息，2009，25（5－1）：288－290.