王岷,張嶺,張莉輝

(河北大學(xué)建筑工程學(xué)院,河北保定 071002)

任意兩斜方向間角應(yīng)變的一個(gè)公式

王岷,張嶺,張莉輝

(河北大學(xué)建筑工程學(xué)院,河北保定 071002)

基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)隨體導(dǎo)數(shù)的概念,以隨體微分代之以隨體導(dǎo)數(shù),應(yīng)用于彈性體應(yīng)變分析中,得出了彈性體任意兩斜方向間角應(yīng)變的一個(gè)公式,并對(duì)該公式的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證.

彈性體;隨體導(dǎo)數(shù);隨體微分;斜方向;角應(yīng)變

彈性體的變形可歸結(jié)為用任意兩點(diǎn)間線段長(zhǎng)度的改變和任意兩線段間相對(duì)夾角的改變來(lái)表征,為了敘述方便,在小變形的前提下,將線段間夾角的改變也稱(chēng)作角應(yīng)變.

關(guān)于彈性體的應(yīng)變分析已有非常系統(tǒng)的理論和結(jié)果,但相對(duì)來(lái)講,還有待進(jìn)一步完善[1].關(guān)于任意兩斜方向上的角應(yīng)變分析,許多文獻(xiàn)都有類(lèi)似的討論,結(jié)果也大致相同,公式的形式應(yīng)用起來(lái)不是十分方便[2-5].

由于考察彈性體變形時(shí)不必考慮時(shí)間效應(yīng),本文借鑒文獻(xiàn)[6]的方法,以隨體微分代之以隨體導(dǎo)數(shù),應(yīng)用于彈性體應(yīng)變分析中,給出了彈性體任意兩斜方向間角應(yīng)變的一個(gè)公式,并對(duì)該公式的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證.此公式形式簡(jiǎn)單,應(yīng)用起來(lái)相對(duì)比較方便、容易.

1 彈性體的位移和變形

圖1 彈性體的位移和變形Fig.1 Displacement and deformation of an elastic body

稱(chēng)為線元δr隨體微分.

記δV=V-V0,易見(jiàn)

將M點(diǎn)的位移V在M0點(diǎn)Tay lor展開(kāi),略去高階項(xiàng),有

2 任意兩斜方向間的角應(yīng)變

由式(3)和式(4),得

在M0點(diǎn)沿任意兩單位斜方向 N1=(l1,m1,n1),N2=(l2,m2,n2),取兩物質(zhì)線元δr1和δr2,則有

其中I=δij為單位張量,θ12即任意兩斜方向N1和N2之間的角應(yīng)變,以減小為正,反之為負(fù),εN1,εN2分別為N1和N2方向的線應(yīng)變.

N1×N2≠0時(shí),式(10)可改寫(xiě)為

式(11)即任意兩斜方向N1=(l1,m1,n1),N2=(l2,m2,n2)間角應(yīng)變公式.

3 討論

為了說(shuō)明結(jié)果的正確性,從公式(9)出發(fā)做如下討論:

1)N1=N2=N時(shí),|N1×N2|=0,N1·N2=1,由式(9)得到εN=N·S·N,即得到任意 N=(lmn)方向線元的線應(yīng)變公式

于是,得到任意兩正交線元間的角應(yīng)變公式

若取[N1,N2]分別為[i,j],[j,k]和[k,i]時(shí),θ12即分別為γxy,γyz和γzx.可見(jiàn)公式(11)是正確的.

4 結(jié)論

以上討論表明公式(9)是正確的,同時(shí)也驗(yàn)證了任意兩斜方向間角應(yīng)變公式(11)的正確性.公式(11)的形式比較簡(jiǎn)單,應(yīng)用起來(lái)相對(duì)比較便利、容易,但對(duì)于有限變形此公式不適用.

[1]嚴(yán)宗達(dá).建議一個(gè)角應(yīng)變的新定義[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1984,5(1)：103-109.

[2]徐芝綸.彈性力學(xué)：上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社,2006.

[3]吳家龍.彈性力學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2004.

[4]TIMOSHENKO S P,GOOD IER J N.Theory of elasticity[M].Beijing：Tsinghua University Press,2004：15-33.

[5]UGURAL,A C,FENSTER S K.Advanced strength and app lied elasticity[M].Upper Saddle River,N J：Prentice Hall PTR,2003.

[6]吳望一.流體力學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社,2005.

Formula of Shear Strain Between Two Arbitrary Oblique Directions

WANGMin,ZHANGLing,ZHANGLi-hui
(College of Civil Engineering and A rchitecture,Hebei University,Baoding 071002,China)

Based on the concep t of material derivative for continuum mechanics,usingmaterial differential in p lace of material derivative and applying it to strain analysisof the elasticity solid,a formula of shear strain between two arbitrary oblique directions in the elastic body wasobtained,the accuracy of the formula was also verified.

elastic body;material derivative;material differential;oblique direction;shear strain

O 343.5

A

1000-1565(2011)04-0352-04

2010-09-20

河北省教育廳科研基金資助項(xiàng)目(2005128)

王岷(1965-),男,河北保定人,河北大學(xué)教授,主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)方面的研究.

E-mail：wangmin@hbu.edu.cn

王蘭英)