羅 生，孫衛(wèi)國(guó)，張 萍，楊永勝

（1上海交通大學(xué)航空航天學(xué)院，上海 200240；2中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南洛陽(yáng) 471009）

0 引言

20世紀(jì)50年代，由于制導(dǎo)系統(tǒng)攔截飛行器的引入、人造衛(wèi)星的發(fā)射和航天中有關(guān)機(jī)動(dòng)追擊問(wèn)題的需要，美國(guó)數(shù)學(xué)家Isaacs[1]組織開(kāi)展了對(duì)抗雙方都能自由決策行動(dòng)的理論追逃問(wèn)題研究，取得了突破性的成果。1965年，Isaacs整理出版了世界上第一部微分對(duì)策著作《微分對(duì)策》。1971年，美國(guó)科學(xué)家Friedman[2]采用了兩個(gè)近似離散對(duì)策序列精確定義了微分對(duì)策，建立了微分對(duì)策值與鞍點(diǎn)存在性理論，從而奠定了微分對(duì)策理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

微分對(duì)策因其理論上的最優(yōu)性，已應(yīng)用于戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[3－4]。Tahk[5]等人設(shè)計(jì)利用梯度法求得微分對(duì)策制導(dǎo)的數(shù)值解，但模型極為復(fù)雜。Basar[6]設(shè)計(jì)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)微分制導(dǎo)律，但不能實(shí)時(shí)計(jì)算。我國(guó)院士湯善同[7]采用微分對(duì)策強(qiáng)迫奇異攝動(dòng)方法設(shè)計(jì)了零階組合反饋制導(dǎo)律，這種制導(dǎo)易于彈上實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)，但其是針對(duì)有強(qiáng)大地面雷達(dá)指示的防空導(dǎo)彈設(shè)計(jì)的。

文中采用伴隨理論，解決終端控制的最優(yōu)制導(dǎo)問(wèn)題，避免了必須對(duì)矩陣方程式的直接求解，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的性能。

1 微分對(duì)策原理

1.1 最優(yōu)控制模型

微分對(duì)策屬于雙邊的最優(yōu)控制問(wèn)題，其狀態(tài)方程可以寫成：

式中：x為狀態(tài)變量；u為導(dǎo)彈控制策略；w為目標(biāo)機(jī)動(dòng)策略；A、B、D為狀態(tài)矩陣。

初始條件：x（0）＝x0

性能指標(biāo)函數(shù)：

式中：P（t）、R（t）、γ 為加權(quán)矩陣，t0為開(kāi)始時(shí)刻，tf為終端時(shí)刻。

1.2 微分對(duì)策定義

假設(shè)在導(dǎo)彈發(fā)射后，攔截目標(biāo)的某個(gè)時(shí)刻，目標(biāo)和導(dǎo)彈都知道對(duì)方在此時(shí)刻之前的所有信息。如果導(dǎo)彈首先采取機(jī)動(dòng)u1，然后目標(biāo)根據(jù)導(dǎo)彈采取最優(yōu)規(guī)避w1，指標(biāo)函數(shù)為minumaxwJ ＝J（u1，w1）。這種條件下，導(dǎo)彈攔截目標(biāo)將消耗最大能量，即有J（u1，w1）＝Jmax。如果目標(biāo)不按照最優(yōu)機(jī)動(dòng)w1機(jī)動(dòng)，即w≠w1，必有J（u1，w1）≥J（u1，w），即導(dǎo)彈消耗的能量J（u1，w）＜Jmax；相反，如果目標(biāo)首先采用機(jī)動(dòng)策略，則有J（u，w2）≥J（u2，w2），即J（u，w2）＞Jmin。

綜合可知minumaxwJ≥minwmaxuJ，即存在：J（u1，w1）≥J（u2，w2）。當(dāng)u1＝u2＝u＊、w1＝w2＝w＊時(shí)，有J（u1，w1）＝J（u2，w2）時(shí)，此時(shí)稱（u＊，w＊）為鞍點(diǎn)，鞍點(diǎn)（u＊，w＊）實(shí)際上就是雙方最優(yōu)控制界柵點(diǎn)，微分對(duì)策實(shí)際上就是鞍點(diǎn)的求解，微分對(duì)策制導(dǎo)實(shí)際上就是假設(shè)目標(biāo)根據(jù)導(dǎo)彈信息進(jìn)行最優(yōu)規(guī)避條件下來(lái)求解導(dǎo)彈的最優(yōu)機(jī)動(dòng)。

2 制導(dǎo)律的推導(dǎo)

2.1 制導(dǎo)模型

制導(dǎo)律模型如圖1所示。

圖1 制導(dǎo)律模型

其中：

狀態(tài)矩陣：

只考慮對(duì)末端脫靶量進(jìn)行要求，得：

則指標(biāo)函數(shù)簡(jiǎn)化為：

2.2 制導(dǎo)律求解

對(duì)于單邊最優(yōu)的制導(dǎo)問(wèn)題，可以應(yīng)用施瓦茨不等式求出解析解，而對(duì)于微分對(duì)策的雙邊最優(yōu)問(wèn)題用這種方法是無(wú)法解決的。這里應(yīng)用一種在脈沖仿真中常用的伴隨方法對(duì)微分對(duì)策進(jìn)行求解。

應(yīng)用伴隨理論，寫出原系統(tǒng)狀態(tài)方程的伴隨方程：

其中伴隨矩陣AT為：

考慮末端只對(duì)脫靶量進(jìn)行要求，則末端伴隨狀態(tài)為：

λ1（tf）＝bx1（tf），b為常數(shù)

λ2（tf）＝λ3（tf）＝0

因?yàn)棣?為常數(shù)，令λ1＝bx1（tf），則可得到：

把方程（5）代入到狀態(tài)方程（1）中，并對(duì)其進(jìn)行積分運(yùn)算，設(shè)可以得到微分對(duì)策制導(dǎo)律表達(dá)式為：

3 仿真驗(yàn)證

3.1 仿真條件

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)微分制導(dǎo)律的性能，用Matlab搭建二維線性攔截模型，對(duì)理想比例制導(dǎo)（IPN）、單邊最優(yōu)制導(dǎo)（OPN）、微分對(duì)策制導(dǎo)（DOPN）進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

為了模擬強(qiáng)電磁空戰(zhàn)中，導(dǎo)彈發(fā)射后可能無(wú)法準(zhǔn)確獲得目標(biāo)信息的情況，這里假設(shè)制導(dǎo)律中沒(méi)有目標(biāo)加速度補(bǔ)償。設(shè)彈目相對(duì)速度Vc＝700m／s、導(dǎo)彈過(guò)載限幅umax＝50g、一階導(dǎo)彈時(shí)間常數(shù)T＝0.3s。

3.2 制導(dǎo)律模型

a）理想比例導(dǎo)引（IPN）：

b）單邊最優(yōu)（OPN）：

c）微分對(duì)策（DOPN）：

其中取：γ＝2.75；b＝1000。

3.2 目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型

為了充分驗(yàn)證制導(dǎo)律對(duì)目標(biāo)的截獲能力，選取階躍機(jī)動(dòng)、正弦機(jī)動(dòng)和B＿B機(jī)動(dòng)作為評(píng)估基準(zhǔn)，具體模型如下：

a）階躍機(jī)動(dòng)

w＝Ant

b）正弦機(jī)動(dòng)

w ＝Antsin（ωt），取ω＝5rad／s

c）B＿B機(jī)動(dòng)

仿真中目標(biāo)機(jī)動(dòng)幅值?。篈nt＝9g。

3.3 仿真結(jié)果

在終端時(shí)間tf為1s和3s兩種末制導(dǎo)情況下分別仿真。表1為三種制導(dǎo)律對(duì)于不同機(jī)動(dòng)目標(biāo)的脫靶量情況。

表1 三種制導(dǎo)律脫靶量

圖2為目標(biāo)階躍機(jī)動(dòng)情況下導(dǎo)彈過(guò)載響應(yīng)和能量消耗曲線。

圖2 目標(biāo)階躍機(jī)動(dòng)下導(dǎo)彈過(guò)載響應(yīng)、能量消耗

圖3為目標(biāo)在正弦機(jī)動(dòng)情況下，導(dǎo)彈的過(guò)載響應(yīng)曲線和能量消耗曲線。

圖3 目標(biāo)正弦機(jī)動(dòng)下導(dǎo)彈過(guò)載響應(yīng)、能量消耗

3.4 仿真結(jié)果

從脫靶量上看，對(duì)于復(fù)雜目標(biāo)機(jī)動(dòng)，IPN和OPN表現(xiàn)出明顯的不適應(yīng)性，而DOPN則具有很強(qiáng)魯棒性。從能量消耗的角度來(lái)衡量，IPN能量消耗大，而DOPN和OPN消耗能量小于IPN，并且DOPN還要小于OPN。

4 結(jié)論

文中應(yīng)用伴隨理論成功推導(dǎo)了基于雙方最優(yōu)策略下的微分對(duì)策制導(dǎo)律，并通過(guò)對(duì)目標(biāo)三種不同典型機(jī)動(dòng)的仿真，以及將仿真結(jié)果與比例導(dǎo)引、最優(yōu)導(dǎo)引的對(duì)比，得出微分對(duì)策制導(dǎo)對(duì)多種形式的目標(biāo)機(jī)動(dòng)都具有很高的制導(dǎo)精度和小的能量消耗，是一種更高級(jí)的制導(dǎo)律，具有很大的應(yīng)用前景。

但微分對(duì)策制導(dǎo)律也有其自身缺點(diǎn)，比如形式復(fù)雜，需要較多的精確信息，這些是影響微分對(duì)策能否成功應(yīng)用的關(guān)鍵。

[1]Isaacs R.Differential games[M].New York：John Wiley＆Sons，1965.

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[6]Basar T，Olsder G J.Dynamic noncooperative game theory[M].Philadelphia：SIAM，1999.

[7]湯善同.微分對(duì)策制導(dǎo)規(guī)律與改進(jìn)的比例導(dǎo)引制導(dǎo)規(guī)律性能比較[J].宇航學(xué)報(bào)，2002，23（6）：38－42.

[8]張嗣瀛.微分對(duì)策[M].北京：科學(xué)出版社，1987.