李敬財，李 琳，李 清，王太勇

(1. 天津大學機械工程學院，天津 300072；2. 天津石油職業(yè)技術學院機械工程系，天津 301607)

螺旋錐齒輪作為一種具有復雜曲面的零部件，由于其設計和加工過程很復雜[1-2]，往往需要對其切削過程進行仿真，以初步驗證所使用的加工調整參數的合理性(如加工的齒頂是否變尖等)；此外可利用切削仿真得到的模型對其進行有限元分析或用于具有螺旋錐齒輪零件機械產品的裝配模型中．

目前螺旋錐齒輪切削過程幾何仿真主要通過以下兩種方法實現．

(1) 依附于現有的商業(yè)軟件實現切削過程幾何仿真．基于現有的三維造型軟件，通過二次開發(fā)進行加工切削過程的三維仿真，這種方法的速度較慢，很難或不能實現真正的實時仿真[3-4]；同時仿真過程不能脫離其二次開發(fā)的對應的三維造型軟件，而這些軟件通常都比較昂貴，往往會增加使用成本．

(2) 基于加工原理和嚙合理論建立螺旋錐齒輪數學模型，在此基礎上建立求解其齒面上的數據點，利用這些數據點得到螺旋錐齒輪的切削模型[5]．該方法有以下缺點：①需要建立復雜的螺旋錐齒輪的數學模型；②基于數學模型計算齒面數據點需要求解非線性方程組，求解過程極不穩(wěn)定，尤其是碰到根切的情況不能計算出根切部分的齒坯加工情況；③計算過渡曲面和齒根曲面也不容易實現．

基于目前螺旋錐齒輪切削仿真存在的問題，筆者提出采用“層片切割” 切削仿真算法：通過將被加工零件進行適當的層片切割，在加工的每個時刻，利用刀具與被加工零件每個層片進行求交計算，并對相鄰兩時刻計算結果進行取舍，得到最終加工結果．本文以采用層片切割算法使用成形法加工小輪為例，說明該算法實現過程．

1 成形法小輪切齒坐標系的建立

圖1所示為小輪切齒坐標系．xm2Om2zm2是與切齒機床固連的坐標系，x2O2z2是與齒坯固定的坐標系，xtOtzt是與刀具固連的坐標系．決定刀具安裝位置的是水平輪位H2和垂直輪位V2，決定齒輪安裝位置的是軸向輪位修正值ΔX2和安裝角δM2，V2為正值時加工的是右旋齒輪，為負值時加工的是左旋齒輪．δM2、ΔX2、V2、H2均為加工小輪的機床調整參數．

圖1 切齒坐標系Fig.1 Coordinates of gear cutting

2 切削刀具模型的建立

銑齒加工過程采用具有直線刃的銑刀盤來進行，(見圖2)，每把刀具是由內刀和外刀組成，內刀和外刀繞刀具軸線旋轉，分別形成了內錐面和外錐面，對應加工出螺旋錐齒輪的凸面和凹面，因此銑齒刀具內刀和外刀也可以分別看作為內錐面和外錐面．

在切削加工過程中刀具直線部分加工出齒輪嚙合面部分，刀具的頂端切削刃加工出齒輪的根錐面．圖3 為刀具頂端切削刃坐標系．圖4 為刀具側刃坐標系．

刀具頂刃徑矢量rt1為

式中：Rw為刀具頂刃中點半徑；u1為刀具頂刃上點距離中點距離值，正號表示該點在中點的右面，負號表示該點在中點左面；θ2為該點繞xt軸轉角．

刀具側刃徑矢量rt2為

式中：負號表示內刀直線刃數學模型，正號表示外刀直線刃數學模型；α為壓力角；Rt為刀尖半徑；u2為內刀面或外刀面圓錐母線上的某一點距該母線上xt坐標為零的點的距離；θ2表示該點繞zt軸轉角．刀具頂刃和側刃在x2O2y2坐標系下，徑矢量采用矩陣變換方式可表示為

圖2 螺旋錐齒輪加工刀具Fig.2 Spiral bevel gears cutters

圖3 刀具頂端切削刃Fig.3 Cutter tip edge

圖4 刀具側刃坐標系Fig.4 Coordinates of cutter side blade

式中V2前的正號表示加工右旋齒輪，負號表示加工左旋齒輪．

3 螺旋錐齒輪的層片分割

層片分割的目的是為了將被加工零件的坯料分割成有限相似的幾何特征，該幾何特征可與加工刀具進行求交運算．螺旋錐齒輪層片分割有如下2 個步驟：

(1)為求得刀具直線刃部分加工出的嚙合面部分，先將螺旋錐齒輪齒坯分解為一系列的錐面(見圖5)，然后在每個錐面上引出等間距的射線(見圖6)，射線方程為

式中：αj為射線所在錐面的壓力角；Rc為射線所在圓錐面的底面半徑；u3為射線某一點距該射線上z2坐標為zi的點的距離；θj為射線與xt軸的夾角．

圖5 錐面層片分割Fig.5 Slice cone

圖6 錐面上射線Fig.6 Rays on cone surface

將刀具與引出的射線進行求交運算，所求交點為嚙合齒面上的點(見圖7)．

圖7 刀具與射線交點Fig.7 Cross point between cutter and rays

(2)為求得刀具底刃加工出的齒底部分，可在根錐面上垂直引出一系列直線(見圖8)，直線方程為

式中：R′c為根錐面的底面半徑；u4為射線的長度；γm為跟錐角；θj′為射線與y2軸的夾角．

刀具底面與這些直線的交點為齒根面上的點，如圖9 所示．

圖8 垂直于錐面的射線Fig.8 Rays perpendicular to cone surface

圖9 刀頂面與直線交點Fig.9 Cross point of cutter tip and line

4 切削過程求交計算及切削過程模型生成

切削過程求交目的是求得每一時刻刀具與毛坯相交的特征．求交的具體方法是通過求得刀具與層片分割后的毛坯對應的幾何元素在每一時刻相交的特征(如點、線、面)，一般情況下為特征點，這些相交的特征便是刀具與毛坯相交特征的離散值．

在螺旋錐齒輪加工過程中，為求得每一時刻刀具與毛坯相交時的嚙合面特征，需要計算出齒坯的所有分割錐面上的直線族與刀具側刃的交點(圖7)，求交公式為由式(4)和式(8)聯立的方程組；為求得每一時刻刀具與齒坯相交的齒根面特征，需要計算出刀具底部切削刃與所有引出直線的交點(圖9)，求交公式為由式(3)和式(9)聯立的方程組．

通過以上計算可得到螺旋錐齒輪的齒面離散點，如圖10 所示，得到的螺旋錐齒輪切齒仿真模型如圖11 和圖12 所示．

圖10 構成齒面的點Fig.10 Points of tooth surface

圖11 齒面模型Fig.11 Model of tooth surface

圖12 齒輪模型Fig.12 Gear model

5 結果驗證

本文中給出了采用層片分割算法計算出刀傾法加工小輪切齒仿真模型的實際算例．表1 為準雙曲面齒輪小輪齒坯數據；表2 為小輪機床調整參數；表3 為求交所得數據與理論值的比較．對比結果表明，層片分割算法計算結果準確、方法可行．

表1 小輪齒坯數據Tab.1 Blank data of pinion

表2 小輪機床調整參數Tab.2 Machine settings of pinion

表3 小輪計算結果Tab.3 Calculating results of pinion

6 結 語

將層片分割算法應用在螺旋錐齒輪的切削仿真中，成功解決了以往螺旋錐齒輪切削仿真存在仿真速度慢、不能脫離現有商業(yè)軟件的問題；此外，由于采用層片分割算法計算出的齒面精度很高，因此該模型可用于對螺旋錐齒輪的后續(xù)分析，例如對螺旋錐齒輪的有限元分析、齒面接觸分析(tooth contact analysis，TCA)及有載接觸分析(load tooth contact analysis，LTCA)．值得一提的是該算法也可以應用到其他零件的切削仿真中．

［1］董學朱. 齒輪嚙合理論基礎[M]. 北京：機械工業(yè)出版社，1989.Dong Xuezhu.Gear Meshing Theory[M]. Beijing：China Machine Press，1989(in Chinese).

［2］曾 韜. 螺旋錐齒輪設計與加工[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，1989.Zeng Tao.Design and Manufacture of Spiral Bevel Gear[M]. Harbin：Harbin Polytechnical University，1989(in Chinese).

［3］Litivin F L.Gear Geometry and Applied Theory[M].New Jersey：PrenticeHall，1994.

［4］熊越東，王太勇，張 威. 螺旋錐齒輪數控加工三維仿真研究[J]. 制造業(yè)自動化，2005，27(6)：21-23.Xiong Yuedong，Wang Taiyong，Zhang Wei. Research on NC machining 3D simulation of spiral bevel and hypoid gears[J].Manufacturing Automation， 2005 ，27(6)：21-23(in Chinese).

［5］熊越東，王太勇，劉富凱. 準雙曲面齒輪數控加工仿真系統設計[J]. 組合機床與自動化加工技術，2005(7)：43-45.Xiong Yuedong，Wang Taiyong，Liu Fukai. Design on NC machining simulation system of hypoid gears[J].Modular Machine Tool and Automatic Manufacturing Technique，2005(7)：43-45(in Chinese).