劉 健

（華東交通大學 初等數(shù)學研究所，江西 南昌 330013）

一類幾何不等式的一個結(jié)果

劉 健

（華東交通大學 初等數(shù)學研究所，江西 南昌 330013）

建立了三角形內(nèi)部任一點到三邊距離的一個不等式，提出并應(yīng)用計算機驗證了兩個未解決的猜想。

三角形；內(nèi)部點；銳角；不等式

1 主要結(jié)果

設(shè)P為ΔABC內(nèi)部任意一點，P到邊BC, CA, AB的距離分別為 r1, r2, r3。又設(shè)ΔABC的三邊BC, CA, AB的長分別為a, b, c。1971年，Ju. I. Gerasimov首先發(fā)現(xiàn)了不等式[1]：

等號當且僅當P為ΔABC的外心時成立。1975年，L.Carlitz與M.S.Klamkin又提出了類似的不等式[2]：

其中

等號當且僅當P為ΔABC的內(nèi)心時成立。

不等式(1)，(2)的證明都不困難，是有關(guān) r1, r2, r3的兩個基本不等式。本文作者對這兩個不等式曾作過研究，在文獻[3]中給出了不等式Gerasimov (1)的一個加強，在文獻[4]中作者應(yīng)用 Carlitz-Klamkin不等式(2)與其它結(jié)果導出了一個有許多應(yīng)用的三元二次型幾何不等式。

本文建立一個新的類似于(1)，(2)兩式的不等式：

定理 設(shè)ΔABC三邊BC, CA, AB上的旁切圓半徑分別為 ra, rb, rc，則對內(nèi)部任一點P有

等號當且僅當ΔABC為正三角形且P為其中心時成立。

2 定理的證明

引理1[5]設(shè)正數(shù) p1, p2,p3與實數(shù) q1, q2, q3滿足

及

則對任意實數(shù)x, y, z有

引理 2 設(shè)ΔABC三邊BC, CA, AB上的三條高線分別為 ha, hb, hc，外接圓與內(nèi)切圓半徑分別為R, r，則

證明 由恒等式：

可知不等式(6)等價于

令

則知上式等價于

展開整理即

注意到x, y, z均大于零，可見當

時，上式顯然成立。當

時，要證(8)式只要證：

等價于

上式顯然成立。

綜上，不等式(8)對任意正數(shù)x, y, z成立，從而不等式(7)與不等式(6)獲證。

引理3 以∑表示循環(huán)和，其余符號同上，則在ΔABC中有

證明 易知有恒等式：

將已知恒等式：

代入(10)式中，化簡后就得(9)式。

證明 首先證明三元二次型不等式：

上式即

即

為證上式，根據(jù)引理1先來證：

于是只要證

注意到等式因此可知這個不等式等價于引理2的不等式(6)，所以不等式(16)得證。

其次，根據(jù)引理1與不等式(16)及與它相應(yīng)成立的另兩式可知，要證(15)式只需證：

由于有恒等式：

上式中∏表示表示循環(huán)和（下同此）。以這兩式代入(17)式中，約簡知(17)式的證明可化為

記ΔABC面積為Δ，則知上式即

兩邊乘以 (a bc)2/(4 Δ2)，又知上式等價于

即

上式兩邊除以4，以引理3的恒等式(9)及已知的恒等式：

代入(21)式，簡化后知其等價于

所以只要證：

等價變形為

根據(jù)Gerretsen不等式[6]

與Euler不等式

以及已知不等式

可知上式成立，從而(17)，(14)兩式得證。

最后，在不等式(14)中令

然后利用顯然的恒等式：

與

得

亦即

兩邊除以2rarbrc，再利用

等，即可得定理的不等式(3)，且易知等號成立條如定理所述。

3 兩個猜想

設(shè)ΔABC的三條中線 ma, mb, mc，則在非鈍角ΔABC中成立半對稱的線性不等式[7]

在這個不等式與定理的不等式(3)的啟發(fā)下，經(jīng)計算機驗證，可有下述猜想：

猜想1 對銳角ΔABC內(nèi)部任一點P有

另外，亦存在一個類似于不等式(3)的下述猜想：

猜想2 對ΔABC內(nèi)部任一點P有

[1] GERASIMOV JU I. Problem 848[J]. Mat v skole, 1971, (4)： 86.

[2] CARLITZ L, KLAMKIN M S. Problem 910[J]. Math. Mag., 1975： 242-243.

[3] 劉健.一類幾何不等式的兩個定理及其應(yīng)用[J].華東交通大學學報,1998,15(3)：75-79.

[4] 劉健.一個三元二次型幾何不等式的應(yīng)用與推廣[A].不等式研究.拉薩：西藏人民出版社,2000.

[5] 劉健.一類幾何不等式的兩個結(jié)果與若干猜想[J].華東交通大學學報,2002,19(3)：89-94.

[5] O. Bottema,等.單土尊,譯.幾何不等式[M],北京：北京大學出版社,1991.

[6] Mitrinovi? D S, Pe?ari? J E and Volenec V, Recent Advances in Geometric Inequalities[M]. Kluwer Academic Publishers, 1989.

[7] 劉健.關(guān)于三角形長度元素的幾個不等式[J].懷化師專學報,1998,17(2)：93-99.

（責任編輯、校對：趙光峰）

A Result of a Kind of Geometric Inequality

LIU Jian

(Institute of Primary Mathematics, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China)

In this paper, we establelish a new inequalities involving the distances from an arbitrary interior point to the three sides of a triangle. Finally, two unsolved conjectures checked by the computer are put forward.

triangle; interior point; acute-angle; inequality

2010-12-22

劉健（1963-），男，江西興國人，華東交通大學助理研究員，研究方向為幾何不等式。

O.178

A

1009-9115(2011)05-0017-03