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(陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué) 湖北陽(yáng)新 435200)

巧用杠桿原理妙證“分點(diǎn)線三角形面積定理”

●鄒生書

(陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué) 湖北陽(yáng)新 435200)

分點(diǎn)線三角形面積定理設(shè)△ABC的面積為S，點(diǎn)D,E,F分別是邊AB,BC,CA上的分點(diǎn)，AE和CD,BF和AE,CD和BF分別相交于點(diǎn)P,Q,R.若AD∶DB=λ1,BE∶EC=λ2,CF∶FA=λ3，則分點(diǎn)線三角形△PQR的面積為

圖1

文獻(xiàn)[1]證明了這個(gè)定理，筆者另辟蹊徑運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)系重心的有關(guān)知識(shí)來證明這個(gè)定理.接下來先介紹物理學(xué)中重心的有關(guān)知識(shí).

一個(gè)物體的各部分都要受到重力的作用，從效果上看，我們可以認(rèn)為各部分受到的重力作用于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做物體的重心.關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系重心有如下結(jié)論：

若點(diǎn)G是質(zhì)量分別為m,n的2個(gè)質(zhì)點(diǎn)A,B的重心，則點(diǎn)G在線段AB上，并且滿足杠桿原理，即mAG=nGB.

若質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)Ai(xi)(i=1,2,…,n)，xi表示質(zhì)點(diǎn)Ai的質(zhì)量.把這n個(gè)質(zhì)點(diǎn)任意分成2組：一組m個(gè)質(zhì)點(diǎn)，不妨設(shè)為A1(x1),A2(x2),…,Am(xm)；另一組n-m個(gè)質(zhì)點(diǎn)，設(shè)為Am+1(xm+1),Am+2(xm+2),…,An(xn).若第一組m個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心為G1(x1+x2+…+xn),第二組n-m個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心為G2(xm+1+xm+2+…+xn)，這n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心為G，那么點(diǎn)G在線段G1G2上，且滿足杠桿原理，即(x1+x2+…+xm)G1G=(xm+1+xm+2+…+xn)GG2.

下面用上述質(zhì)點(diǎn)系重心的有關(guān)知識(shí)來證明該定理.

同理可得

在△ABC中，點(diǎn)D,E,F分別是邊AB,BC,CA上的分點(diǎn)，AE和CD,BF和AE,CD和BF分別相交于點(diǎn)P,Q,R.若AD∶DB=BE∶EC=CF∶FA=2，則△PQR與△ABC的面積之比為______(答案為1∶7).

[1] 張遠(yuǎn)榮.分點(diǎn)線三角形面積定理[J].數(shù)學(xué)通訊，2007(23)：29-30.

[2] 顏美玲.“分點(diǎn)線三角形面積定理”的另證[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2011(4)：13-14.