●

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 江蘇南京 210046)

例析“5+4+2”解題算式及其教學(xué)

●胡玉霆

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 江蘇南京 210046)

如果說正確解題能夠使學(xué)生獲得成功的喜悅，那么通過解題獲得的認(rèn)識(shí)力對(duì)學(xué)生的幫助無疑是潛在而持久的.葛軍副教授基于多年對(duì)解題教學(xué)的研究，提出“5+4+2”解題算式，轉(zhuǎn)變了為解題而解題的認(rèn)識(shí)，打破了就題解題的單一活動(dòng)形式，形成一個(gè)以解題為載體，充分發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的可持續(xù)發(fā)展的動(dòng)態(tài)解題系統(tǒng)，以期發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識(shí)力，提高學(xué)生的思維水平.

1 “5+4+2”解題算式的涵義

1.1 對(duì)“5”的解析

解題的第一步是讀題.盡管不同解題者在理解題意的過程中所需要的時(shí)間不同，這取決于他們?cè)谧x題過程中反復(fù)捕捉題目信息的容量大小，但對(duì)于普通解題者而言，讀題過程需要5遍.

第1遍:“覽”.在讀題過程中，首要工作是對(duì)題目信息進(jìn)行快速地文字掃描、瀏覽題設(shè)概貌.通過這一遍讀題，解題者可以快速將題目所涉及的知識(shí)點(diǎn)鎖定到相關(guān)范圍，起到定位的作用.

第2遍:“展”.在這一遍讀題中，題設(shè)中的每一個(gè)條件都將作為信息源，需要解題者逐句展開與每一個(gè)信息源相關(guān)的輻射信息.是對(duì)學(xué)生原有知識(shí)儲(chǔ)備情況的考查，一般情況下，知識(shí)儲(chǔ)備量越大，越有利于數(shù)學(xué)問題的解決.因此，在本次讀題中，主要是完成搜索相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的任務(wù).

第3遍:“聯(lián)”.本次讀題完成的主要任務(wù)是“聯(lián)接”，即各知識(shí)點(diǎn)的小組合、小聯(lián)接.解題者通過第2遍對(duì)每個(gè)信息源的“鏈接”，羅列出與本次解題任務(wù)可能相關(guān)的知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還需要將各個(gè)松散的知識(shí)點(diǎn)實(shí)質(zhì)性的有機(jī)“聯(lián)接”在一起，構(gòu)成一個(gè)個(gè)小的知識(shí)模塊.

第4遍:“順”.完成題目信息的充分挖掘后，在這一遍讀題中要求解題者能夠運(yùn)用不同的解題策略，根據(jù)已知條件和所求結(jié)論，初步形成一條可以解決當(dāng)前任務(wù)的較細(xì)的解題思路.

第5遍:“善”.通過前4遍讀題，大多數(shù)解題者認(rèn)為已尋找到解題的思路，便匆匆提筆求解，這是危險(xiǎn)而令人遺憾的.如果解題者每次都如此，那么他將一再錯(cuò)失掉養(yǎng)成優(yōu)化解題思路和完善思維的良好習(xí)慣的機(jī)會(huì).甚至在很復(fù)雜的題目面前，因匆忙而混沌的思維狀態(tài)感到束手無策.因此，在這一遍讀題中，我們要求回顧完善，以形成清晰的可生長(zhǎng)的解題思路.

可以看出，上述讀題過程環(huán)環(huán)相扣、層層深入，充分體現(xiàn)了讀題即解題的觀點(diǎn)和慢讀題的策略.當(dāng)然，不同的解題者因感知題目信息的能力不同和思維運(yùn)算簡(jiǎn)縮性的差異，在讀題過程中，有些解題者用不著5遍即可完成讀題要求和解題任務(wù)，而有些解題者需要更多的讀題時(shí)間完成解題任務(wù).因此，我們這里所說的5遍只是一個(gè)約數(shù)，具體的讀題次數(shù)將因人而異.

1.2 對(duì)“4”的解析

“4”即將解答寫4遍.書寫4遍的過程并不是機(jī)械的重復(fù)勞動(dòng)，而是一個(gè)逐漸抽象、逐漸升華的過程.

第1遍:“粗”.解題者在對(duì)題目有了充分認(rèn)識(shí)和理解后，開始著手書寫表述.在第1遍書寫時(shí)，需要解題者將解答過程大致地粗寫下來，但應(yīng)該包括能夠求解的關(guān)鍵步驟，并不斷進(jìn)行規(guī)范和補(bǔ)充.

第2遍:“全”.在第1遍書寫的基礎(chǔ)上，這一遍表述需要解題者將解答過程清楚而簡(jiǎn)潔地完成作答，要求思路清晰、書寫規(guī)范.對(duì)于不同層次的學(xué)生而言，“全”是相對(duì)的:優(yōu)等生可以只寫出求解過程的重要表述、主要步驟及必要結(jié)論；中等生需再現(xiàn)與解題相關(guān)的定理、公式和法則，解題步驟及主要的演算過程；差等生除了書寫出中等生要寫出的內(nèi)容外，可能還需詳細(xì)呈現(xiàn)運(yùn)算過程.

第3遍:“精”.除了簡(jiǎn)單題目外，大多數(shù)題目都有多個(gè)關(guān)鍵步驟.在這一遍書寫中，解題者需要將題目解答過程中的關(guān)鍵步驟寫下來，這些關(guān)鍵步驟將反映出題目的走勢(shì)和推演是如何展開的.

第4遍:“點(diǎn)”.用一句話簡(jiǎn)括出題目考查的核心思想和關(guān)鍵要點(diǎn)，點(diǎn)石成金.

同樣，在書寫的過程中，4遍也只是一個(gè)約數(shù).對(duì)于數(shù)學(xué)解題能力較好的學(xué)生而言，他們可能在第1遍就能夠達(dá)到完整簡(jiǎn)潔的書寫解題過程的要求,而對(duì)于數(shù)學(xué)解題能力較弱的學(xué)生，可能需要更多的時(shí)間.因此，書寫4遍的要求也將因人而異.

1.3 對(duì)“2”的解析

如果一個(gè)題目只有一條解題思路即可實(shí)施，那么這樣的題目并不是一道好題;如果一道題目能夠使具有不同解題偏好的學(xué)生通過自己擅長(zhǎng)或熟悉的策略完成解題任務(wù)，那么這樣的題目才是值得我們研究和學(xué)習(xí)的.因此，在解法上應(yīng)該追求一題多解.這里的“2”是解法數(shù)量的下限，即每道題目至少要有2種解法，當(dāng)我們?cè)谕瓿梢粋€(gè)解題任務(wù)時(shí)，切忌不能滿足現(xiàn)狀，要多思考其他方法，以求殊途同歸的效果.

2 “5+4+2”解題算式的應(yīng)用

2.1 題讀“5”遍

2.1.1 析“覽”

瀏覽題目，進(jìn)行初步的文字掃描.從題設(shè)可以看出，本題所涉及的是與橢圓、直線相關(guān)的問題，并由橢圓和直線的位置關(guān)系生成若干線段，所證明結(jié)論是3條線段成等比數(shù)列的數(shù)量關(guān)系.

2.1.2 析“展”

逐句斷讀，輻射題設(shè)信息.

(1)“在平面直角坐標(biāo)系xOy中”，本句話交代了以O(shè)為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，體現(xiàn)了公眾題目的規(guī)范性.

(3)“過點(diǎn)A作直線l交橢圓于另一點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)R，直線OP平行于直線l，點(diǎn)P在橢圓上”，這說明直線l是如何形成的，同時(shí)點(diǎn)Q，R，P的關(guān)系是知道其中一個(gè)便可確定其余2個(gè)的位置.因而也交代了線段AQ，AR，OP的形成及它們之間的關(guān)系.因此可以看作由于過點(diǎn)A的直線l的斜率變化引起點(diǎn)Q，R所在位置的變化；亦可以看作由于y軸上一點(diǎn)R的變化引起直線l的變化和點(diǎn)Q的變化.但不管把哪個(gè)點(diǎn)看作主動(dòng)因素，它們之間的制約關(guān)系決定了它們之間的數(shù)量關(guān)系不會(huì)因位置的不同而改變.

(4)“直線OP平行于直線l”，即kOP=kl，過原點(diǎn)O，平行于l的直線與橢圓有2個(gè)交點(diǎn)，這就有2種情況，但由于2個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，即2個(gè)交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，故可任選其中一點(diǎn)為點(diǎn)P，對(duì)結(jié)果沒有任何影響.

2.1.3 析“聯(lián)”

在第2遍中,輻射的信息多而雜，但并不是每條信息對(duì)求解問題都有幫助，因此要根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論進(jìn)行有目標(biāo)的聯(lián)接.

直線斜率為主動(dòng)因素，k的變化導(dǎo)致點(diǎn)R，Q的變化，從而導(dǎo)致AR，AQ的變化，同時(shí)也引起了OP的變化，但其最終滿足等比中項(xiàng)的數(shù)量關(guān)系沒變；并且點(diǎn)Q，P既滿足橢圓方程，又滿足各自所在的直線方程.這2條直線又因?yàn)樾甭氏嗤a(chǎn)生了緊密聯(lián)系，故可以設(shè)出斜率k，分別將AQ，OP和AR表示出來.

另外，也可以換個(gè)視角將點(diǎn)R的坐標(biāo)視為主動(dòng)因素；或?qū)Ⅻc(diǎn)Q的坐標(biāo)變化視為主動(dòng)因素，將點(diǎn)P的坐標(biāo)變化視為主動(dòng)因素.依循上述思想，寫出AR，AQ，OP的不同表達(dá)式，從而得到3個(gè)思想平行而結(jié)論相同的結(jié)果.

2.1.4 析“順”

理順前面思索的線路.設(shè)直線l的斜率為k;用點(diǎn)斜式寫出直線l的方程;令x=0，確定直線l與y軸的交點(diǎn)R的坐標(biāo);表示出線段AR;將直線l與橢圓方程聯(lián)立，用弦長(zhǎng)公式得到線段AQ;已知斜率相同和原點(diǎn)O,得出直線OP的直線方程y=kx;將直線OP和橢圓方程聯(lián)立得點(diǎn)P，從而確定線段OP;分別求得3條線段后，化簡(jiǎn)得AR·AQ=2OP2.

2.1.5 析“善”

在第4遍的基礎(chǔ)上，完善解題思路的形成，并形成一條清晰的解題思路.同時(shí)可以比較第3遍中不同視角下，AQ，AR和OP表達(dá)形式的繁簡(jiǎn)情況，擇出一條書寫簡(jiǎn)單、計(jì)算簡(jiǎn)便的解題思路.在例1中,如果選用設(shè)點(diǎn)R，Q，P的坐標(biāo)，再通過坐標(biāo)表示出直線斜率的方法將出現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式，這為后續(xù)計(jì)算增添了困難，沒有直接設(shè)斜率為k求解來得簡(jiǎn)便，因此優(yōu)選設(shè)法仍確定為斜率k.

2.2 書寫“4”遍

2.2.1 析“全”

本例省略第1遍“粗寫”，從第2遍“全”開始，即完整書寫出解答過程.

證明當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不合題意.

方法1設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為

y=k(x+a).

令x=0，得y=ka，因此點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0，ka).又因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a，0)，所以

又由題設(shè)得OP∥AQ，于是直線OP的方程為y=kx，從而點(diǎn)P滿足

即

(b2+a2k2)x2-a2b2=0，

可得

由y2=k2x2，可得

因而

(2)

由題設(shè)得點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足

即

(b2+k2a2)x2+2a3k2x+a4k2-a2b2=0，

于是

(3)

由式(1)，式(2)，式(3)得

AR2·AQ2=4OP4，

故

AR·AQ=2OP2，

2.2.2 析“精”

本題的關(guān)鍵步驟有：

(1)用點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程，即

y=k(x+a)；

(2)將直線l的方程與y軸聯(lián)立得到線段AR，即AR2=(1+k2)a2；

(3)由題意設(shè)出線段OP所在的直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立得到線段OP，即

2.2.3 析“點(diǎn)”

“點(diǎn)”出題目的題眼、所涉及的知識(shí)點(diǎn)及解題策略.通過這一遍的簡(jiǎn)括，提煉出題目的實(shí)質(zhì)和精髓，切勿讓題目中的非本質(zhì)信息干擾自己.

(1)直線與直線相交，AQ與y軸相交得點(diǎn)R.

(2)直線與二次曲線相交，OP與橢圓相交，是一條過原點(diǎn)的直線，得到正比例函數(shù)；AQ與橢圓相交，是一般直線方程，得到一次函數(shù).

(3)兩點(diǎn)間的距離公式——直線上兩點(diǎn)的距離公式(弦長(zhǎng)公式)，因此

2.3 題解“2”遍

2種及其以上解法，并比較各解法的優(yōu)劣.本例將分析用韋達(dá)定理和因式分解求根的優(yōu)劣，以及整體化求根的思想.

2.3.1 韋達(dá)定理與因式分解

本例是一道計(jì)算型證明，需要分別算出AQ，AR，OP這3條線段的模，其中AQ的模最復(fù)雜.題目條件是已知點(diǎn)A的坐標(biāo)(-a，0)以及直線方程和曲線方程，只需再求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，進(jìn)而算出線段AQ，聯(lián)立方程后，得到點(diǎn)A,Q的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo))是以x(y)為未知數(shù)方程的2個(gè)根.當(dāng)其中一點(diǎn)的坐標(biāo)已知時(shí)，一定可將方程化成2個(gè)根式，即(x-x1)(x-x2)=0或(y-y1)(y-y2)=0，從而求出另一根.

當(dāng)然，也可以用韋達(dá)定理求解，將兩根之和或兩根之積表示出來，再求另一根.在具體題目中，2種方法的選擇沒有固定要求，因題而異.在本例中，采用因式分解的方法更適宜.

(1)因式分解法.由

消去y得

即

提出公因式(x+a)，可得

解得

(2)韋達(dá)定理法.由

消去y得

整理得

因此

故

從上述2個(gè)解題過程看來，當(dāng)已知2個(gè)根中的一根時(shí)，可以用因式分解求解另一個(gè)根，計(jì)算過程較之韋達(dá)定理更為簡(jiǎn)捷.

2.3.2 整體化思想

消去y得

即

提出公因式(x+a)，可得

從而

故

2.3.3 其他方法

方法2設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0，r)，則

且直線AR的方程可表示為

聯(lián)立方程

消去y得

即

提出因式(x+a),得

由于點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程組，且x≠-a，因此

得

于是

(5)

即

即

故

(6)

由式(4)、(5)、(6)可得

AR·AQ=2OP2，

方法3設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(acosθ，bsinθ)，θ∈[0，π)∪(π，2π)，則

令x=0，則點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0，btanθ)，于是

點(diǎn)Q滿足

消去y得

整理得

(x+a)[x-a+tan2θ(x+a)]=0，

從而

所以

又

3 “5+4+2”解題算式的教學(xué)建議

3.1 樹立信心,堅(jiān)持不懈

據(jù)上述闡釋和分析可見，認(rèn)真完成并達(dá)到解題算式的要求并非易事，在學(xué)習(xí)初期更是如此.因此，實(shí)施解題算式教學(xué)的首要問題是幫助學(xué)生樹立自信，要有隨時(shí)受阻的預(yù)見性和克服困難的決心.同時(shí)，無論是讀題、書寫，還是從多角度看問題，教師都應(yīng)該堅(jiān)持讓學(xué)生盡可能地發(fā)揮，直至在學(xué)生已有水平上思考完全.這個(gè)過程是漫長(zhǎng)而困難的，教師和學(xué)生切勿操之過急.只有抓住每次鍛煉思維的機(jī)會(huì)，才能將隱形的成效顯著地作用于更加靈活且深刻的題目中.

3.2 分級(jí)提示,逐步啟發(fā)

解題算式強(qiáng)調(diào)讀題即解題的觀點(diǎn)，通過反復(fù)品題訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性和開放性.但不是每個(gè)學(xué)生都能自己從不同角度讀出題設(shè)信息，因而教師對(duì)學(xué)生要有充分的預(yù)設(shè)和恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).通過由遠(yuǎn)及近的分級(jí)提示，激活學(xué)生已有的知識(shí)和方法，豐富學(xué)生看問題的角度.

3.3 留足時(shí)間,琢磨通透

學(xué)生對(duì)解題的認(rèn)識(shí)往往停留在求出答案或作出證明上，草草做完一遍后又投入到新的解題任務(wù)中去，并不斷抱怨題量大、任務(wù)重、難度高，甚至在做了大量練習(xí)后，不會(huì)的題目還是不會(huì)，會(huì)做的題目因時(shí)隔久遠(yuǎn)也變得模棱兩可.

解題算式要求學(xué)生對(duì)一個(gè)問題、甚至一類問題打通吃透，教師要從觀念上改變題海戰(zhàn)術(shù)，盯住一個(gè)題目的各個(gè)方面反復(fù)研究，并將相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)和方法技巧同步研究.這需要教師留出足夠的時(shí)間讓學(xué)生思考，通過解一個(gè)題目，達(dá)到會(huì)一類題目的效果.

3.4 交流解法,博采眾長(zhǎng)

“5+4+2”解題算式強(qiáng)調(diào)從不同視角出發(fā)，選擇不同的解題策略，因此每個(gè)題目在不同層面上都會(huì)有不同的處理方法.不管學(xué)生是解題方法的不同，還是具體演算方法的不同，甚至是典型的錯(cuò)誤，教師都應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生相互交流.這不僅可以提高學(xué)生解題的自信心，預(yù)防可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，而且有利于拓展學(xué)生的視野,豐富學(xué)生的思維,激發(fā)學(xué)生深入探究的欲望和情緒,營(yíng)造一個(gè)良好的學(xué)習(xí)氛圍.

4 結(jié)束語(yǔ)

不可否認(rèn)，“5+4+2”解題算式是一個(gè)包含了不同角度看問題的視角、慢讀細(xì)品的琢磨、不同策略的選擇、以及自編題目再創(chuàng)造多方面的過程.這對(duì)教師的教學(xué)提出了更多的挑戰(zhàn)，也對(duì)學(xué)生的解題提出了全新的要求.因而在教學(xué)相長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)該不斷加強(qiáng)自身的教學(xué)水平和解題能力，用包容和學(xué)習(xí)的心態(tài)接受學(xué)生的“奇思異想”，充分尊重和鼓勵(lì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)，并適時(shí)給予修正和改進(jìn).