陳創(chuàng)鑫, 陳宗煊

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

1 引言與結(jié)果

本文使用值分布理論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)[1-2].用記號(hào)σ(f)表示亞純函數(shù)f(z)的增長(zhǎng)級(jí),λ(f)表示f(z)的零點(diǎn)收斂指數(shù),并引進(jìn)下列定義.

為了研究周期系數(shù)線性方程解的性質(zhì),BANK和LANGLEY在文獻(xiàn)[4]中初步涉及了一個(gè)e-型級(jí)概念,CHIANG和GAO在文獻(xiàn)[5]中比較確切地提出了e-型級(jí)的概念,即

文獻(xiàn)[5]還證明了：假設(shè)A(z)=G(ez)=G(ζ),ζ=ez,G(ζ)在0<|ζ|<+∞內(nèi)解析,那么

若A(z)為周期整函數(shù),且A(z)=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)為ζ的有理函數(shù).明顯地必有下列形式B(ζ)=ζ-m(anζn+an-1ζn-1+…+a0).明顯地,若n>m,則ζ=∞必是B(ζ)的n-m階極點(diǎn).

已有多人對(duì)二階周期系數(shù)方程解進(jìn)行了研究[4-5,7-9],而對(duì)高階周期系數(shù)方程解的研究甚少．BANK和LANGLEY在文獻(xiàn)[4]中得到了下面的重要結(jié)果.

定理1 假設(shè)k≥2,A0是以2πi為周期的整函數(shù),假設(shè)A0是ez的有理函數(shù),A1,…,Ak-2為常數(shù).如果f(z)(?0)是微分方程

f(k)+Ak-2(z)f(k-2)+…+A0(z)f=0

(1)

的解且滿足

(2)

那么存在q(1≤q≤k)滿足f(z)和f(z+q2πi)線性相關(guān).

定理2 假設(shè)k≥2,A0是以2πi為周期的整函數(shù),假設(shè)A0是ez的有理函數(shù),A1,…,Ak-2為常數(shù).如果f(z)(?0)是微分方程(1)的解且滿足式(2),那么存在整數(shù)q(1≤q≤k),常數(shù)d,及在1<|ζ|<+∞內(nèi)解析的有理函數(shù)R(ζ)和S(ζ),使得

定理1指出存在q(1≤q≤k),滿足f(z)和f(z+q2πi)線性相關(guān).后來(lái),陳宗煊[6]證明了定理3,指出B(ζ)是多項(xiàng)式且其次數(shù)n不能被k整除時(shí),f(z)和f(z+2πi)是線性無(wú)關(guān)的.

定理3 假設(shè)k≥2,A0是以2πi為周期的整函數(shù),假設(shè)A0=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)是n次多項(xiàng)式,且n不能被k整除；A1,…,Ak-2為常數(shù).如果f(z)(?0)是微分方程(1)的解且滿足式(2),那么f(z)和f(z+2πi)線性無(wú)關(guān),且有σ2(f)=1和σe(f)=n/k.

命題1 假設(shè)f(z)為亞純函數(shù),那么

(i)如果σ2(f)<1,則σe(f)=0;

(ii)如果σ2(f)>1,則σe(f)=∞;

(iii)如果0<σe(f)<∞,則σ2(f)=1.

一個(gè)自然的問(wèn)題是,當(dāng)B(ζ)(ζ=ex)是有理函數(shù)時(shí),f(z)和f(z+2πi)的線性相關(guān)性將如何？本文在下面的定理4中回答了這個(gè)問(wèn)題.

定理4 假設(shè)k≥2,A0是以2πi為周期的整函數(shù),假設(shè)A0(z)=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)=ζ-m×(anζn+…+a0),不退化為常數(shù),其中an≠0,且ai(i=0,1,…,n)為常數(shù).A1,…,Ak-2為常數(shù).設(shè)u=min{i:ai≠0,i=0,1,…,n},并令s=max{n-m,m-u}.如果f(z)(?0)是微分方程(1)的解且滿足式(2),那么成立σ2(f)=1及σe(f)=s/k.

定理5 假設(shè)k≥2,A0是以2πi為周期的整函數(shù),假設(shè)A0=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)=ζ-m(anζn+…+a0),不退化為常數(shù).其中an≠0,且ai(i=0,…,n)為常數(shù).A1,…,Ak-2為常數(shù).設(shè)u=min{i:ai≠0,i=0,1,…,n},令s=max{n-m,m-u}.如果f(z)(?0)是微分方程(1)的解并滿足式(2),且條件(i)或(ii)成立:

(i)當(dāng)n>m時(shí),n-m不能被k整除；

(ii)當(dāng)n≤m時(shí),m-u不能被k整除.

那么f(z)和f(z+2πi)線性無(wú)關(guān),并且成立σ2(f)=1及σe(f)=s/k.

2 證明所需引理

引理1[10]假設(shè)F(z)除了在∞點(diǎn)有孤立本性奇點(diǎn)外,在R0<|z|<∞內(nèi)解析,那么F(z)可以表示成F(z)=zmΦ(1/z)P(z)eh(z),其中m為整數(shù),P(z)是由F(z)的零點(diǎn)形成的多項(xiàng)式或Weierstrassion乘積,h(z)為整函數(shù),Φ(1/z)在R0<|z|≤∞內(nèi)(含∞點(diǎn))解析且Φ(1/z)|z=∞=1,確切地Φ(1/z)=eΦ1(1/z),Φ1(1/z)在R0<|z|≤∞內(nèi)(含∞點(diǎn))解析且Φ1(1/z)|z=∞=0.

引理3[6]假設(shè)g(ξ)除了在∞點(diǎn)有孤立本性奇點(diǎn)外,在R0<|z|<∞內(nèi)解析,那么

(i)g(ξ)可以表示成g(ξ)=ξmψ(ξ)F(ξ),其中m為整數(shù),F(ξ)為整函數(shù),ψ(ξ)在R0<|z|≤∞內(nèi)(含∞點(diǎn))解析,且ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1,當(dāng)ξ→∞時(shí)

(3)

(4)

其中ν(ρ)為整函數(shù)F(ξ)的中心指標(biāo);

(iii)g(ξ)可以表示成

g(ξ)=ξmW(ξ)eh(ξ),

(5)

如果g(ξ)僅有有限多個(gè)零點(diǎn),那么當(dāng)ξ→∞時(shí)

注1 關(guān)于區(qū)域0<|ξ|<∞內(nèi)的Nevanlinna特征函數(shù).假設(shè)G(ξ)在0<|ξ|<∞內(nèi)亞純,考慮當(dāng)ξ→∞時(shí),G(ξ)的增長(zhǎng)性,可以由|ξ|≥1內(nèi)的Nevanlinna理論[12]來(lái)考慮,定義

(6)

和N1(ρ,G)為|ξ|≥1內(nèi)的極點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù),以及

T1(ρ,G)=m1(ρ,G)+N1(ρ,G).

(7)

由文獻(xiàn)[7]可知：對(duì)于m1(ρ,G)，與Tumura-Clunie引理相應(yīng)的結(jié)果仍然成立,以及G(ξ)在ξ=∞有極點(diǎn)的充分必要條件為T1(ρ,G)=O(logρ).

考慮當(dāng)|ξ|=ρ→ 0時(shí),G(ξ)的增長(zhǎng)性,可以定義G*(ξ)=G(1/ξ),由考慮當(dāng)ρ→∞時(shí),T1(ρ,G*)的增長(zhǎng)性來(lái)決定ρ→ 0時(shí),G(ξ)的增長(zhǎng)性.

我們還可定義G(ξ)在點(diǎn)ξ=∞的增長(zhǎng)級(jí)[7]為

(8)

而G(ξ)在點(diǎn)ξ=0的增長(zhǎng)級(jí)定義為

σ0(G)=σ∞(G*).

(9)

另一方面,如果G(ξ)在0<|ξ|<∞內(nèi)解析,則N1(ρ,G)=0.由引理1和引理3可知G(ξ)可表為

G(ξ)=ξnψ(ξ)F(ξ),

(10)

其中n為整數(shù),ψ(ξ)在1<|ξ|≤∞內(nèi)解析,ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1,F(ξ)為復(fù)平面內(nèi)的整函數(shù).由式(6)、(7)和(10)可知當(dāng)|ξ|=ρ充分大時(shí)

m1(ρ,G)=m(ρ,F)+O(logρ),
T1(ρ,G)=T(ρ,F)+O(logρ),

結(jié)合式(8),得到

(11)

考慮當(dāng)|ξ|→∞時(shí),G(ξ)的增長(zhǎng)性,我們還可記

M1(ρ,G)={|G(ξ)|:|ξ|=ρ(>1)}.

(12)

由于ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1,由式(10)、(12)，可知當(dāng)ρ充分大時(shí)

(13)

由于ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1,由式(11)、(13),可知

(14)

引理4[6]假設(shè)整函數(shù)f(z)滿足f(z)=ξdG(ξ),其中d為常數(shù),ξ=ez/q,q為正整數(shù),G(ξ)在0<|ξ|≤∞內(nèi)解析,那么

(15)

(16)

3 定理4的證明

M[T(r,f)]k+1,

(17)

其中M(>0)為常數(shù).

下面根據(jù)n與m的大小關(guān)系來(lái)證明σ2(f)=1及σe(f)=s/k.

首先,若u

|A0(z)|=M(r,A0)=|an|e(n-m)r(1+o(1)),

其中an≠0,au≠0為常數(shù).將其代入式(17),并注意到s≥1,n-m≥1,可得σ2(f)≥1.另一方面,由Wiman-Valiron理論[13],從方程(1)可得σ2(f)≤1,故σ2(f)=1.

首先考慮σ∞(G).由引理3的(i),G(ξ)=ξd×ψ(ξ)F(ξ),其中m為整數(shù),F(ξ)為整函數(shù).ψ(ξ)在1<|ξ|≤∞(含∞點(diǎn))內(nèi)解析且ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1.

將f(z)=ξdG(ξ)代入方程(1),得到

(18)

(19)

其中ν(ρ)為整函數(shù)F(ξ)的中心指標(biāo).由于F(ξ)為超越整函數(shù),由式(18)、(19)得到

(1+o(1))+qkanξq(n-m)(1+o(1))=0,

(20)

再由式(14)可知

(21)

下面考慮σ0(G).由式(9),σ0(G)=σ∞(G*),其中G*(t)=G(1/t),ξ=1/t.由歸納法,可得

G(s)(ξ)=(-1)s(G*)(s)(t)ts+s+

(22)

其中dj為常數(shù).由條件可假設(shè)B(ξq)=(ξ-mq)×(anξnq+…+a0),其中an(≠0),…,a0為常數(shù),且n>m,再結(jié)合u的定義,可知

(23)

將式(22)、(23)代入式(18),得到

(24)

G*(t)=tm*ψ*(t)F*(t),

(1+o(1))+(-1)kqk[ant(m-n)q+…+

aut(m-u)q]=0,

(25)

其中ν*(ρ)為整函數(shù)F*(t)的中心指標(biāo).

下面再根據(jù)u與m的大小關(guān)系進(jìn)行討論.

若u

(1+o(1))+(-1)kqkaut(m-u)q(1+o(1))=0,

(26)

再由式(14)可知

若u≥m,則由式(25)得

(1+o(1))+O(1)=0,

(27)

下面考慮情形(ii):當(dāng)nm時(shí)的證明,由于

A0(z)=anζn-m+an-1ζn-1-m+…+a0ζ-m=

anζn-m+an-1ζn-1-m+…+auζu-m,

而u-m

首先考慮σ∞(G).由式(18)、(19)知

(1+o(1))+O(1)=0,

(28)

其中ν(ρ),Cj,ρ如式(18)～(20)所述.如果F(ξ)為超越整函數(shù),那么ν(ρ)→∞,則式(28)矛盾.從而F*(ξ)最多為多項(xiàng)式,因此σ(F)=0.由式(14)可知

σ∞(G)=σ(F)=0.

(29)

下面考慮σ0(G).由式(24)可得

o(1))+(-1)kqk[ant(m-n)q+…+aut(m-u)q]=0,

(30)

由于m-u>m-n>0,故由式(30)可得

(1+o(1))+(-1)kqkaut(m-u)q(1+o(1))=0,

(31)

A0(z)=B(ζ)=am+am-1ζ-1+…+a0ζ-m=

am+am-1ζ-1+…+auζu-m,

(32)

而B(ζ)不為常數(shù),故u

首先考慮σ∞(G).因?yàn)锳0(z)=am+am-1ζ-1+…+auζu-m,類似于情形(ii)可得σ∞(G)=0.

再考慮σ0(G).由式(17)、(22)可知

(1+o(1))+(-1)kqk[am+am-1tq+…+

aut(m-u)q]=0,

(33)

從而可得

(1+o(1))+(-1)kqkaut(m-u)q(1+o(1))=0,

(34)

4 定理5的證明

先證明在條件(i)下定理成立.

假設(shè)f(z)(?0)是微分方程(1)的解且滿足式(2).如果f(z)與f(z+2πi)線性相關(guān),由f(z)滿足式(2),那么由定理1及定理2,可知f(z)在1<|ζ|<∞內(nèi)可表為

f(z)=R(ez)exp(dz+Q(ez))=

edzR(ez)exp(Q(ez))=ζdR(ζ)exp(Q(ζ)),

(35)

其中d為整數(shù),ζ=ez,R(ζ)和Q(ζ)皆為ζ的有理式,且在1<|ζ|≤∞內(nèi)解析.將式(35)代入方程(1)得到

(36)

(37)

由于Q(ζ)為有理式,故當(dāng)|ζ|→∞時(shí),有

(38)

由式(37)、(38)可知

|Fj(ζ)|=O(1) (j=0,…,k-1).

(39)

倘若ζ=∞為Q(ζ)的解析點(diǎn),則當(dāng)|ζ|→∞時(shí),|ζQ′(ζ)|=O(1),而n>m,故ζ=∞為B(ζ)的n-m階極點(diǎn),因而式(36)不可能成立.從而ζ=∞不可能是Q(ζ)的解析點(diǎn).因此不妨設(shè)ζ=∞為Q(ζ)的α階極點(diǎn)，由式(36)、(39)及ζ=∞為B(ζ)的n-m階極點(diǎn),得到kα=n-m,這與假設(shè)條件:n-m不能被k整除相矛盾,從而f(z)和f(z+2πi)線性無(wú)關(guān).

結(jié)合定理4,可以得到

再證明在條件(ii)下定理也成立.

令B*(t)=B(1/t)=B(ζ),由于n≤m,故

B*(t)=antm-n+an-1tm+1-n+…+autm-u(au≠0).

假設(shè)f(z)(?0)是微分方程(1)的解且滿足式(2).如果f(z)與f(z+2πi)線性相關(guān),由于f(z)滿足式(2),那么由定理1及定理2,可知f(z)在1<|t|≤∞內(nèi)可表為

f(z)=td1R*(t)exp(Q*(t)),

(40)

其中d1為整數(shù),t=e-z,R*(t)和Q*(t)在1<|t|≤∞內(nèi)解析.將式(40)代入方程(1)得

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