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(春谷中學(xué) 安徽南陵 241300)

一道競賽試題的推廣與引申

●鄒守文

(春谷中學(xué) 安徽南陵 241300)

由《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》組織的第4屆中學(xué)生數(shù)學(xué)智能通訊賽八年級有這樣一道試題：

設(shè)0

這是一道筆者提供的題目，通過對該題的分析，獲得下面的推廣與引申.

命題1設(shè)正實數(shù)a,b,x,y滿足a

先證明下面的引理.

引理設(shè)P為△ABC內(nèi)一點，則

AB+AC>PB+PC.

證明如圖1，延長BP至點D，則

AB+AD>BD,PD+DC>PC,

相加得

AB+AC+PD+>BD+PC,

即

AB+AC>PB+PC.

圖1

圖2

下面對命題1進(jìn)行證明.

證明構(gòu)造如圖2所示的矩形ABCD,使AN=a，CM=b,PN=x,PM=y,則

在△APC中，AP+PC≥AC,因此

又由引理知,在△ANC中,有

AP+PC

從而

故

說明這里采用了構(gòu)造法，非常直觀.

在命題1中,令a=b=1,y=1-x,即得第4屆中學(xué)生數(shù)學(xué)智能通訊賽試題.

只需在命題1中取x=1,y=2,a+b=2,即得

累次運用命題1左邊的不等式，可以得到更一般性的形式：

命題2設(shè)a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn為正實數(shù)，則

運用命題2能夠非常簡單地解決一類代數(shù)最小值問題.

解當(dāng)x>12時，y沒有最大值和最小值;當(dāng)x<0時，y也沒有最大值和最小值.

當(dāng)0

因為

所以y的最小值為13.

累次運用命題1右邊得不等式,又可以得到：

命題3設(shè)a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn為正實數(shù)，且a1

特殊情況:當(dāng)a1=a2=…=an時,有

推論1設(shè)b1,b2,…,bn,m為正實數(shù)，則

例2已知a,b,c,d,e是正實數(shù)，且a+b+c+d+e=2，求證：

證明由推論1知

對命題2和命題3進(jìn)行引申,又能得到：

命題4設(shè)m為正實數(shù)，b1,b2,…,bn為非負(fù)實數(shù)，則

證明首先證明:設(shè)m為正實數(shù)，b1,b2為非負(fù)實數(shù)，則

?

?

?

(m2+b1)(m2+b2)≥m2(m2+b1+b2)

?

b1b2≥0,

且b1,b2為非負(fù)實數(shù)，所以最后一式顯然成立.累次運用上述不等式，得

考慮命題4的上界，有

命題5設(shè)m為正實數(shù)，b1,b2,…,bn為非負(fù)實數(shù)，則

證明由方差公式知

所以

故

于是

命題4和命題5在求一類非負(fù)數(shù)的取值范圍或不等式的證明時往往能起到一定的作用.

例3已知正實數(shù)a,b,c,d,e滿足a+b+c+d+e=1，求證：

證明由命題4,可得

[1] 王懷祥，白平.例說構(gòu)造矩形或正方形求最小值[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011(1)：26-27.

[2] 干超一.輪換對稱式最值求法[J].中等數(shù)學(xué)，2011(2)：15-18.