曹 珂

(甘肅聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，中國 蘭州 730010)

三階微分方程起源于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)的各種不同領(lǐng)域中, 例如, 帶有固定或變化橫截面的屈曲梁的撓度, 三層梁, 電磁波, 地球引力吹積的漲潮等[1]. 最近, 三階三點(diǎn)邊值問題正解的存在性受到了人們的高度重視[2-7], 但現(xiàn)有文獻(xiàn)大多是以各種不動(dòng)點(diǎn)定理為工具的. 譬如, 文獻(xiàn)[6]考慮了如下三階三點(diǎn)邊值問題

(1)

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文將運(yùn)用單調(diào)迭代法來研究下述邊值問題

(2)

全文假設(shè)下述條件成立：

(H1)f∈C([0,+∞)×[0,+∞),[0,+∞))；

(H2)a∈C([0,1],[0,+∞))且不恒為零.

1 預(yù)備引理

引理1[6]設(shè)αη≠1，則對(duì)于任意給定的h∈C[0,1]，邊值問題

引理2[6]對(duì)于任意的(t,s)∈[0,1]×[0,1]，0≤G(t,s)≤tg(s)，0≤Gt(t,s)≤g(s)．

定義算子T:

對(duì)于任意的u∈K, 由引理2及(H1)，(H2)可知，

這表明T:K→K. 顯然，T的不動(dòng)點(diǎn)即為邊值問題(2)的單調(diào)非負(fù)解.

為方便起見, 記

則由(H2)可知Λ>0.

引理3T:K→K是全連續(xù)的.

M2=sup{f(x,y):(x,y)∈[0,M1]×[0,M1]}.

則對(duì)于任意的自然數(shù)k由引理2可知

Λ-1M2,t∈[0,1].

其次，我們證明T為連續(xù)算子. 假設(shè)um,u∈K且‖um-u‖→0(m→∞). 則存在M3>0，使得對(duì)于任意的自然數(shù)m，‖um‖≤M3. 令

M4=sup{f(x,y):(x,y)∈[0,M3]×[0,M3]},

則對(duì)于任意的自然數(shù)m，t∈[0,1]，由引理2，有

由勒貝格控制收斂定理可知，

(Tu)(t),t∈[0,1]，

(Tu)′(t),t∈[0,1].

因此,T是連續(xù)算子. 綜上所述，T:K→K是全連續(xù)算子．

2 主要結(jié)果

定理2假設(shè)f(0,0)>0且存在常數(shù)R>0使得

f(u1,v1)≤f(u2,v2)≤ΛR,0≤u1≤u2≤R,0≤v1≤v2≤R.

(3)

若構(gòu)造迭代序列

vn+1=Tvn,wn+1=Twn,n=0,1,2,3,…,

0

0

證令KR={u∈K:‖u‖≤R}, 則有T:KR→KR. 事實(shí)上，對(duì)于任意的u∈KR, 有

由引理2及(3)可知

這意味著T:KR→KR.

0

(4)

(5)

由(4),(5)可知v1-v0∈K, 這表明v0≤v1. 假設(shè)vk-1≤vk，由引理2及(3)可知

(6)

(7)

由(6),(7)可知vk+1-vk∈K, 即vk≤vk+1, 這樣就證明了vn≤vn+1,n=0,1,2….

因此存在v∈KR, 使得‖vn-v‖→0(n→∞). 由T的連續(xù)性及vn+1=Tvn,n=1,2,3,…， 易知v=Tv. 又由于f(0,0)>0, 可知零函數(shù)不是邊值問題(2)的解，故有‖v‖>0. 從而

0

0

3 應(yīng)用實(shí)例

例考慮邊值問題

(8)

0

0

此外，兩個(gè)迭代序列為：

迭代序列的第一，第二和第三項(xiàng)分別如下：

v0(t)=0,

w0(t)=2t,

參考文獻(xiàn)：

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