王 霞，李建平

(河南工程學院 數(shù)理科學系，河南 鄭州 451191)

近幾十年來，大范圍直線運動梁由于其在機械工程、建筑、航空航天以及汽車等領域都有著廣泛的應用，引起了國內(nèi)外學者的關(guān)注.目前，關(guān)于大范圍直線運動梁已經(jīng)有了大量的文獻和研究成果，比如Nayfeh和Mook[1]采用多尺度法一次近似展開，分析了文獻[1]中懸臂梁的參激共振穩(wěn)定性問題.Hyun等[2]采用多尺度法二次近似展開，對文獻[1]中的梁系統(tǒng)作了更細致的穩(wěn)定性研究.Kane等[3]較早地建立了非慣性場中懸臂梁的動力學方程，而Chin和Nayfeh[4-5]研究了3∶1內(nèi)共振梁由參激共振引起的非線性動力學行為問題，對梁的第一、二階模態(tài)主參激共振及一、二階模態(tài)間組合參激共振作用下的非線性梁系統(tǒng)分別做了研究.最近，馮志華和胡海巖[6-8]基于Kane方程，建立了具有三次幾何及慣性非線性項的大范圍直線運動梁模型，對含內(nèi)共振現(xiàn)象的大范圍直線運動兩端鉸支梁的參激振動平凡解的穩(wěn)定性進行了詳細的分析與研究.然而，這些文獻大多都是利用數(shù)值的方法討論了大范圍直線運動梁的穩(wěn)定性，而利用解析的方法討論大范圍直線運動梁穩(wěn)定性的文獻相對較少.本文主要利用穩(wěn)定性分析和特征值分析等解析方法研究了3∶1內(nèi)共振條件下大范圍直線運動梁的分岔解及其穩(wěn)定性情況，并給出了其相應的臨界分岔曲線.

1 建立模型

圖1 非慣性系中兩端鉸支梁Fig.1 Configuration of a simply supported beam under a large linear motion of basement

根據(jù)文獻[6-8]，基于Kane方程，利用Rayleigh-Ritz法，可以得到鉸支梁的無量綱控制方程如下：

(1)

引入如下頻率調(diào)諧因子σ1和σ2，使得ω=2ω2+εσ1，ω2=3ω1+εσ2.利用多尺度法，可得到第二階模態(tài)主參激共振時系統(tǒng)的調(diào)制方程組為:

(2)

在(2)中利用變換

x1=r1sin(θ1),x2=r1cos(θ1),x3=r2sin(θ2),x4=r2cos(θ2),

(3)

可得

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

2 分岔分析

2.1 初始平衡解

由方程組(2)可知，系統(tǒng)存在初始平衡解(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0).初始平衡解的穩(wěn)定性由系統(tǒng)(2)在初始平衡解處的Jacobi矩陣所決定，其相關(guān)的特征方程為

(5)

則初始平衡解的穩(wěn)定條件為:

(6)

(7)

2.2 單模態(tài)解——Hopf分岔解

本節(jié)主要討論由初始平衡解分岔出的單模態(tài)解(7)的存在條件和穩(wěn)定性.重新標注單模態(tài)解(7)為如下形式:

(8a)

(8b)

(1)當c22>0時，

(2)當c22<0時，

下面討論單模態(tài)解(8)的穩(wěn)定性.系統(tǒng)(2)在單模態(tài)解(8)處的Jacobi矩陣的特征方程為

(9)

根據(jù)Routh-Hurwitz準則，單模態(tài)解(8a)將分岔為1模態(tài)分岔解，此時分岔點為

(10)

而單模態(tài)解(8b)將分岔為另一個1模態(tài)分岔解，此時分岔點為

(11)

在分岔點(10)和(11)處r2的值分別為

(12)

(13)

(1)當3c12ω2-ω1c22>0時，

(2)當3c12ω2-ω1c22<0時，

由Routh-Hurwitz準則，根據(jù)文獻[9]可知，單模態(tài)解的穩(wěn)定條件為

由此不等式可得穩(wěn)定邊界，即臨界分岔曲線為

此時，沿著臨界分岔曲線L2發(fā)生廣義靜態(tài)分岔，單模態(tài)解將分岔為擬周期解——2維胎面.

2.3 雙模態(tài)解——擬周期解

由方程(4)可知，擬周期解(r2≠0，r1≠0)滿足如下方程:

(14a)

(14b)

考慮系統(tǒng)(2)在擬周期解處的Jacobi矩陣為:

(15)

其中,bij(i=1，2，3，4),見附錄.其相關(guān)特征方程為

P(λ)=λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4.

(16)

由Routh-Hurwitz判據(jù)，擬周期解的穩(wěn)定條件為：

(17)

由不等式(17)可得2條臨界分岔曲線，其中一條臨界分岔曲線為

在此臨界線上發(fā)生靜態(tài)分岔；另一條臨界分岔曲線為

沿此臨界線出現(xiàn)Hopf分岔，并有可能產(chǎn)生一個3維胎面.

3 結(jié)論

本文利用解析方法研究了一類3∶1內(nèi)共振條件下大范圍直線運動梁的穩(wěn)定性與分岔行為.對第二階模態(tài)主參激共振條件下的梁系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔行為進行了分析.在第二階模態(tài)主參激共振時，利用穩(wěn)定性分析和特征值分析等解析方法，對平均方程進行了研究，給出了梁系統(tǒng)的靜態(tài)分岔、Hopf分岔、2維胎面以及3維胎面等分岔解及其存在的條件和穩(wěn)定性情況，并給出了相應的臨界分岔曲線.本文的結(jié)果為這類模型的分析與設計提供了依據(jù).

參考文獻：

[1] Nayfeh A H, Mook D T. Nonlinear Oscillations[M]. New York: Wiley, 1979.

[2] Hyun S H, Yoo H H. Dynamic modeling and stability analysis of axially oscillating cantilever beams[J]. Journal of Sound and Vibration, 1999, 228(3): 543-558.

[3] Kane T R, Ryan R R, Banerjee A K. Dynamics of a cantilever beam attached to a moving base[J]. Journal of Guidance Control and Dynamics, 1987, 10(2): 139-151.

[4] Chin C M, Nayfeh A H. Three-to-one internal resonances in hinged-clamped beams[J]. Nonlinear Dynamics, 1997, 12(2): 129-154.

[5] Chin C M, Nayfeh A H. Three-to-one internal resonances in parametrically excited hinged-clamped beams[J]. Nonlinear Dynamics, 1999, 20(2): 131-158.

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