司軍輝

(周口師范學院 數(shù)學系, 河南 周口 466001)

1 標準的(3+1)維KP方程

(3+1)維KP方程的一般形式為

(1)

其中,α,β,γ,δ為非零常數(shù)且β>0,x,y,z為空間自變量,t為時間.

目前,已有多種方法求解非線性偏微分方程，Hirota雙線性方法是其中一種非常有效的方法[1-4],文獻[5]利用Hirota雙線性方法研究了方程(1)在α=-6,β=1,γ=-3,δ=0的情形,并得到了孤立波解及Wronskian解.文獻[6]給出了方程(1)α=-6,β=1,γ=δ=3的Lump解,并考慮了該解的演化,得到一些有意義的結論.文獻[7]用Hirota雙線性方法研究了方程(1)α=6,β=1,γ=-1,δ=0 的情形,并得到了孤立波解.本研究考慮一般情況下方程(1),給出了方程的標準形式,在此基礎上,得到了(3+1)維KP方程存在行列式形式的Wronskian解.

對方程(1)作變量代換:

并略去變量上的撇號，可將方程(1)化為標準的KP方程為

(2)

其中,ε1=sign(δ)，ε2=sign(γ)，sign(x)為符號函數(shù).

若ε1,ε2>0, 稱(2)式為KP-I方程；若ε1,ε2<0, 稱(2)式為KP-II方程.

2 (3+1)維KP方程的雙線性導數(shù)形式

引入變換u=wx=-2(lnf)xx,可將(2)式化為

ffxt-fxft-ffxxxx+4fxfxxx-3fxx2+3ε1ffyy-3ε1fy2+3ε2ffzz-3ε2fz2=0,

(3)

(4)

3 (3+1)維KP方程的Wronskian解

首先定義函數(shù)：設函數(shù)φj=φj(t,x,y,z)(j=1,2,…,n)在t≥0，-∞

以φj與其前n-1階導數(shù)為元，構造如下Wronskian行列式

(5)

引理1[5]設M為n×(n-2)階矩陣,a,b,c,d是n維列向量,則有

|M,a,b||M,c,d|-|M,a,c||M,b,d|+|M,a,d||M,b,c|=0.

引理2[5]設αj(j=1,2,…,n)是n-維列向量,γj(j=1,2,…,n)是n個不為0的實數(shù),則有

其中，γαj=(γ1α1,j,γ2α2j,…,γnαnj)T.

現(xiàn)在我們考察Wronskian行列式f對x的各階導數(shù),得到:

(6)

行列式f對y,z,t的導數(shù)可以轉化為對的導數(shù),因此有:

(7)

將(6)式和(7)式代入(3)式并由引理1、引理2、引理3,經(jīng)過復雜運算可得：

由此可見，Wronskian行列式f滿足(3)式,取

所以，我們可得到方程(1)的Wronskian解為

u=-2(lnf)xx.

4 結束語

本文主要是對給出的(3+1)維KP方程的一般形式,經(jīng)過變換,得到一個標準的(3+1)維KP方程，進而得出其雙線性形式，最終得到了(3+1)維KP方程Wronskian解，其方法也適用于其他孤子方程.

參考文獻：

[1] Hirota R.The Direct Methods in Soliton Theory[M].Cambridge:Cambridge University press,2004.

[2] Hase Y，Hirota R，Ohta Y J.satsuma,Soliton solutions of the Mel’nikov equation[J].Phs Soc Jpn,1989(58):2713-2720.

[3] Senthil C K,Radha R,Lakshmanan M.Exponentially localized solutions of Mel’nikov equation[J].Chao Soli Frac,2004(22):705-712.

[4] Geng X G,Ma Y L.N-soliton solution and its Wronskian form of a (3+1)-dimensional nonlinear evolution equation[J].Phys Lett A,2007(369):285-289.

[5] 陳登遠.孤子引論[M].北京:科學出版社,2002.

[6] 張磊,郭鵬, 呂克璞.(3+1)維KP方程的精確孤子解[J].西北師范大學學報,2004,40(2):35-36.

[7] 石玉仁,楊紅娟,呂克璞,等.(3+1)維KP方程的B?cklund變換及其精確解[J].西北師范大學學報,2006,42(4):34-35.