杜 輝

(1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

基于無(wú)源性的帶液體晃動(dòng)月球著陸器的姿態(tài)控制

杜 輝

1，2

(1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

針對(duì)帶液體晃動(dòng)的月球著陸器提出了一種基于無(wú)源性的姿態(tài)控制方法.分析了由拉格朗日力學(xué)建立數(shù)學(xué)模型的帶液體晃動(dòng)的月球著陸器系統(tǒng)的特性，并證明了該系統(tǒng)的無(wú)源性.無(wú)源性保證了系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性，提出的Lyapunov函數(shù)保證了系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性.根據(jù)系統(tǒng)的無(wú)源性和提出的Lyapunov函數(shù)推導(dǎo)出基于無(wú)源性的控制方法.仿真結(jié)果表明，該方法能很好地達(dá)到控制效果.

無(wú)源性；姿態(tài)控制；液體晃動(dòng)；月球著陸器

近年來(lái)液體燃料占航天器總重量的比值相應(yīng)加大，對(duì)航天器的姿態(tài)控制和穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響.目前，抑制晃動(dòng)干擾的控制方法主要有：自適應(yīng)極點(diǎn)配置控制［1］、退步控制［2］、滑?？刂疲?］以及其他控制方法［4-5］等.

上述姿態(tài)控制方法都是假設(shè)液體晃動(dòng)等效單擺的角度和角速度是可以測(cè)量得到的.但實(shí)際上液體晃動(dòng)等效單擺的角度和角速度很難測(cè)量得到，即使在貯箱內(nèi)增加敏感器，測(cè)量得到的結(jié)果誤差也較大，因此有必要發(fā)展其他的控制方法.

針對(duì)加速度條件下帶有液體晃動(dòng)的月球著陸器，本文應(yīng)用基于無(wú)源性的控制理論提出了一種基于無(wú)源性的姿態(tài)控制方法，在將月球著陸器控制到目標(biāo)狀態(tài)的同時(shí)抑制液體燃料的晃動(dòng)，仿真實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性.

1 帶液體晃動(dòng)的月球著陸器的數(shù)學(xué)模型

帶液體晃動(dòng)的月球著陸器的姿態(tài)控制對(duì)著陸器變軌對(duì)接以及姿態(tài)跟蹤目標(biāo)的達(dá)成非常重要.本文研究的是垂直下降階段有加速度的條件下，在某固定平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的帶液體晃動(dòng)的月球著陸器動(dòng)力學(xué)與姿態(tài)控制.

垂直下降段作為制動(dòng)段到著陸段之間的過(guò)渡，起著承上啟下的作用，既要能適應(yīng)制動(dòng)段終端條件，又要滿足著陸段初始時(shí)刻懸停的要求，其特點(diǎn)是接近垂直下降，歷時(shí)短，速度低，需要將月球著陸器的速度減至目標(biāo)速度，并將著陸器調(diào)整至垂直月面下降，為后續(xù)著陸作鋪墊.帶液體晃動(dòng)的月球著陸器示意圖如圖1所示.

圖1 帶液體晃動(dòng)的月球著陸器示意圖

圖1中，建立帶液體晃動(dòng)的月球著陸器軌道坐標(biāo)系o1xoyozo和本體坐標(biāo)系o1xbybzb.帶液體晃動(dòng)的月球著陸器可抽象成以下模型：月球著陸器質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I；晃動(dòng)液體的質(zhì)量為mf，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為If，晃動(dòng)等效單擺的擺長(zhǎng)為a，擺臂懸掛點(diǎn)與著陸器質(zhì)心之間的距離為 b；推力 T為沿本體坐標(biāo)系xb軸的合力(發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的推力與重力的合力)，由于發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的推力不是恒值推力，因此推力T為變值推力；液體不晃時(shí)，T的方向過(guò)月球著陸器質(zhì)心；力矩 M為姿態(tài)控制輸入；vx、vz分別為月球著陸器沿xb軸和zb軸的速度；θ為月球著陸器繞yo軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度；φ為液體晃動(dòng)等效單擺相對(duì)月球著陸器zb軸偏轉(zhuǎn)的角度；ε為晃動(dòng)的能量耗散系數(shù).用T和M分別表示推力矢量T和力矩矢量M的大小.

本文在姿態(tài)控制研究時(shí)，對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)不作考慮，認(rèn)為所計(jì)算出的理論值即為著陸器敏感器測(cè)量所得到的實(shí)際值，不考慮敏感器測(cè)量的誤差和測(cè)量過(guò)程中的噪聲.

基于上述假設(shè)條件，由文獻(xiàn)［2］可知利用拉格朗日力學(xué)建立的帶液體晃動(dòng)的月球著陸器動(dòng)力學(xué)方程為

月球著陸器的姿態(tài)控制目標(biāo)是：設(shè)計(jì)合理的T、F和M使得月球著陸器控制到目標(biāo)狀態(tài)的同時(shí)抑制液體燃料的晃動(dòng).

2 無(wú)源性的定義

耗散性系統(tǒng)理論在系統(tǒng)穩(wěn)定性研究中起著重要作用.其本質(zhì)含義是存在一個(gè)非負(fù)的能量函數(shù)(即存儲(chǔ)函數(shù))，使得系統(tǒng)的能量損耗總小于能量的供給率.而無(wú)源性則是耗散性的一個(gè)重要特例，它將輸入輸出的乘積作為能量的供給率，體現(xiàn)了系統(tǒng)在有界輸入條件下能量的衰減特性，即給系統(tǒng)輸入一定的能量，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生一定的輸出能量，表征了系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定［6］.

基于狀態(tài)空間的無(wú)源性的概念，對(duì)于非線性系統(tǒng)

其中，X是n維的狀態(tài)變量向量，U為p維的系統(tǒng)輸入向量，Y為 q維的系統(tǒng)輸出向量，f(X，U)，h(X，U)為關(guān)于(X，U)的函數(shù).

定義 1［6］.設(shè)函數(shù) ω(X，Y)：Rp×Rq→ R，稱非線性系統(tǒng)(5)關(guān)于ω(X，Y)是耗散的，如果存在非負(fù) C1存儲(chǔ)函數(shù) E(X)：Rn→ R+，滿足

對(duì)于任意的初始值X(0)=X0和時(shí)間t成立.此時(shí)稱函數(shù)ω(X，Y)為供給率，非負(fù)函數(shù)E(X)為存儲(chǔ)函數(shù)，式(6)稱為耗散不等式.稱狀態(tài)空間描述式(5)關(guān)于ω(U，Y)是耗散的.

當(dāng)p=q時(shí)，系統(tǒng)(5)為方形，選擇一個(gè)很重要的供給率ω(U，Y)=UTY，則有

即得無(wú)源性定義.

3 月球著陸器系統(tǒng)動(dòng)態(tài)與特性

分別定義Q、˙Q和¨Q如下：

根據(jù)文獻(xiàn)［7］的系統(tǒng)變換方法，將系統(tǒng)(1)～(4)改寫成下列形式：

上式中各符號(hào)的表達(dá)式分別為

對(duì)由式(8)描述的帶液體晃動(dòng)的月球著陸器可證得：矩陣D(Q)是正定對(duì)稱矩陣.進(jìn)一步，可證明該系統(tǒng)為無(wú)源系統(tǒng).

定理1.系統(tǒng)(8)為無(wú)源系統(tǒng).

證明.取該系統(tǒng)的總能量函數(shù)為

對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

可推導(dǎo)出

于是有

4 基于無(wú)源性的姿態(tài)控制器的設(shè)計(jì)

本文利用文獻(xiàn)［8］的方法，針對(duì)帶液體晃動(dòng)的月球著陸器設(shè)計(jì)了基于無(wú)源性的姿態(tài)控制器.

方程組(1)～(4)定義了非線性系統(tǒng)的控制輸入為(T，F(xiàn)，M)，狀態(tài)變量為.控制輸入(T，F(xiàn)，M)=(0，0，0)時(shí)，系統(tǒng)相應(yīng)的平衡點(diǎn)為不失為一般性，設(shè)=0，θeq=0，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為=［0，0，0，0，0，0］.

下面利用無(wú)源性進(jìn)行姿態(tài)控制器的設(shè)計(jì).

取無(wú)源性能量存儲(chǔ)函數(shù)為

對(duì)其求導(dǎo)可得：

取系統(tǒng)總的能量函數(shù)為

其中，k4＞0，則對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

令姿態(tài)控制律為

將式(18)代入到式(17)中，可求得

其中，k1＞0，k2＞0，k3＞0，k4＞0.

定理2.對(duì)于系統(tǒng)(1)～(4)，采用式(18)所示的控制器，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

證明.當(dāng)系統(tǒng)(1)～(4)的控制器采用式(18)所示的控制律時(shí)，按式(16)取系統(tǒng)的能量函數(shù)，當(dāng)k1＞0，k2＞0，k3＞0，k4＞0時(shí)，˙V(q，˙q)≤0，即˙V(q，˙q)為半負(fù)定，V(q，˙q)為非增函數(shù).

可看出在控制律中沒(méi)有不能測(cè)量得到的液體晃動(dòng)的角度和角速度，并證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

5 仿真實(shí)例

在仿真中，參數(shù)取值如下：

m=600kg，I=720kg·m2，mf=100kg，

a=0.32m，b=0.25m，T=500N，

If=10kg·m2，ε=0.39kg·m2·s-1.

初始值為

θ0=2°，=0.57(°)/s，vx0=25m/s，

vz0=1.02m/s，φ0=10°，=0(°)/s

仿真曲線如圖(2)～(5)所示.

圖2 vx，vz狀態(tài)量的變化曲線

圖3 θ，狀態(tài)量的變化曲線

圖4 φ狀態(tài)量的變化曲線

圖5 T，F(xiàn)，M控制量的變化曲線

從圖(2)～(6)的仿真結(jié)果曲線可以看出，采用本文提出的控制器，系統(tǒng)能夠到達(dá)平衡點(diǎn)，同時(shí)控制器輸出很平滑，沒(méi)有抖動(dòng).從圖(5)中可以看出，液體晃動(dòng)在十幾秒后，晃動(dòng)幅度已經(jīng)很小，月球著陸器的姿態(tài)角和角速度以及zb軸方向的速度都能很快控制到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，達(dá)到了將月球著陸器姿態(tài)控制到平衡點(diǎn)同時(shí)抑制液體晃動(dòng)的目的.仿真結(jié)果表明了該方法的有效性.

6 結(jié) 論

針對(duì)帶液體晃動(dòng)的月球著陸器，本文建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.針對(duì)液體晃動(dòng)與月球著陸器姿態(tài)耦合及無(wú)源性等特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種基于無(wú)源性的姿態(tài)控制器，按照這種方法設(shè)計(jì)的姿態(tài)控制器可以保證系統(tǒng)最終達(dá)到目標(biāo)平衡點(diǎn).文中給出的仿真實(shí)例說(shuō)明了該方法的可行性與有效性.

［1］Shageer H，Tao G.Modeling and adaptive control of spacecraft with fuel slosh：overview and case studies［C］.AIAA Guidance， Navigation， and Control Conference， Hiton Head， South Carolina， August 20-23，2007

［2］Reyhanoglu M， Cho S， McClam roch N H.Feedback control of a space vehicle with unactuated fuel slosh dynamics［C］.AIAA Guidance， Navigation， and Control Conference and Exhibit， Denver， CO， August 14-17，2000

［3］Kurode S，Bandyopadhyay B，Gandhi P S.Slidingmode control for slosh-free motion of a container using partial feedback linearization［C］.IEEE the 10thInternational Workshop on Variable Structure Systems， Antalya， Turkey， June 8-10， 2008

［4］Yano K，Terashima K.Robust liquid container transfer control for complete sloshing suppression ［J］.IEEETransaction on Control Systems Technology， 2002， 10(4)：465-472

［5］Yano K，Terashima K.Sloshing suppression control of liquid transfer systems considering a 3-D transfer path［J］.IEEE/ASME Transactions on Mechanics， 2005，10(1)：8-16

［6］Byrnes C I，Isidori A，Willems JC.Passivity， feedback equivalence，and the global stabilization of minimum phase nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control， 1991， 36(11)： 1228-1240

［7］Reyhanoglu M，Schaft A，McClamroch N H，et al.Dynam ics and control of a class of underactuated mechanical systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control， 1999， 44(9)： 1663-1671

［8］劉殿通，易建強(qiáng)，趙冬斌，等.一類欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)基于無(wú)源的控制［C］.中科院自動(dòng)化研究所自動(dòng)化與信息技術(shù)發(fā)展戰(zhàn)略研討會(huì)暨2003年學(xué)術(shù)年會(huì)，北京，2003

Passivity Based Attitude Control for Lunar Lander w ith Fuel Sloshing

DU Hui1，2
(1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China； 2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory， Beijing 100190，China)

A passivity based attitude control method is proposed for lunar lander with fuel sloshing.The properties of lunar lander with fuel sloshing system modeled by Lagrangemechanics are analyzed，and its passivity is proved.The passivity guarantees the input-output stability and the proposed Lyapunov function guarantees the inner system stability.The controlmethod is derived based on the passivity and the Lyapunov function.Simulation results are given to illustrate the validity.

passivity； attitude control； fuel sloshing；lunar lander

V448

A

1674-1579(2011)01-0050-05

10.3969/j.issn.1674-1579.2011.01.011

2010-09-15

杜 輝(1982—)，女，山東人，助理工程師，研究方向?yàn)楹教炱髯藨B(tài)控制 (e-mail：qing-ying8268@163.com).