王曉明 成英燕 劉 立

(中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院,北京 100039)

基于階次組合的 GPS精密星歷插值研究＊

王曉明 成英燕 劉 立

(中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院,北京 100039)

采用Lagrange插值與線性逐次Neville插值兩種方法對(duì) GPS衛(wèi)星軌道進(jìn)行了插值,比較了兩種方法的特性及插值精度,結(jié)果表明兩種方法雖然簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn),但當(dāng)進(jìn)行高階插值時(shí),邊緣插值區(qū)間的精度較低。為解決該問題提出利用高次插值與低次插值相結(jié)合的方法進(jìn)行軌道插值,算例證明,該插值方法可以改善插值精度。

GPS;精密星歷;Lagrange插值;Neville插值;不同階次

1 引言

GPS定位以站星間的距離觀測(cè)量為基礎(chǔ),以衛(wèi)星位置為動(dòng)態(tài)已知點(diǎn)進(jìn)行空間后方交會(huì),因此要正確獲取衛(wèi)星的坐標(biāo)是 GPS定位中的一個(gè)重要問題。目前應(yīng)用的衛(wèi)星星歷主要有廣播星歷和精密星歷兩種。廣播星歷屬于實(shí)時(shí)星歷,精度較低,無(wú)法滿足高精度定位的需要。精密星歷精度較高,通常情況下可以達(dá)到 5 cm的精度。由于 IGS提供的精密星歷為 15分鐘間隔,但在實(shí)際應(yīng)用中需要的數(shù)據(jù)密度通常要比這大的多。因此在 GPS數(shù)據(jù)處理中,對(duì)精密星歷進(jìn)行高精度、高效率的內(nèi)插或者擬合已成為一項(xiàng)十分必要的工作。目前,較常用的插值方法有Lagrange插值及逐次 Neville插值[1-6]。這兩種方法較為簡(jiǎn)單,算法易實(shí)現(xiàn)。但由于兩種插值方法本身所具有的缺陷使得插值結(jié)果存在龍格現(xiàn)象,而目前解決該問題的方法是采用其他時(shí)段的數(shù)據(jù)對(duì)邊緣區(qū)間進(jìn)行重新插值以提高精度,這就不可避免地制約了這兩種方法的實(shí)用性。本文在分析兩種插值方法特點(diǎn)的基礎(chǔ)上,比較了不同階次的插值多項(xiàng)式的插值精度,以尋求用低階插值與高階插值的組合方法來(lái)獲取精度更高、更穩(wěn)定的插值結(jié)果。

2 插值的數(shù)學(xué)模型

1)Lagrange插值

假設(shè)有 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)刻,分別為 t0,t1,…,tn,對(duì)應(yīng)時(shí)刻的星歷依次為 y0,y1,…,yn,利用 Lagrange對(duì)星歷進(jìn)行 n階多項(xiàng)式插值[6]：

2)逐次 Neville插值

在進(jìn)行星歷插值研究過程中,若發(fā)現(xiàn)低階插值多項(xiàng)式的插值精度不能滿足要求時(shí),通常需要采用增加節(jié)點(diǎn)的方法進(jìn)行重新插值。若插值的數(shù)據(jù)量較大,勢(shì)必會(huì)使插值效率受到影響。而 Neville插值方法通過改善算法使該問題得到解決,其基本的插值算法思路為[4]：設(shè)有 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)刻 t0,t1,…,tn,其對(duì)應(yīng)的精密星歷為 y0,y1,…,yn。令

計(jì)算流程見表1。

表1 Neville算法流程Tab.1 Flow chart of Neville algorithm

從表 1可以看出,當(dāng)精度不滿足要求,需再增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),前面的計(jì)算完全有效。Neville算法的該特性也使得計(jì)算的效率更高。但兩種插值存在自身算法上的局限性,即當(dāng)采用高階的插值多項(xiàng)式時(shí),插值邊緣區(qū)域的插值精度會(huì)出現(xiàn)抖動(dòng)。本文將通過實(shí)例計(jì)算判斷產(chǎn)生抖動(dòng)的插值區(qū)間,并通過采用低階與高階相組合的插值方法來(lái)獲得整個(gè)區(qū)間的高精度的插值結(jié)果。

3 算例分析

本文首先隨機(jī)采用 PRN4衛(wèi)星 2002年 1月 1日的精密星歷數(shù)據(jù),采用 Lagrange及Neville兩種插值方法,插值弧段取為 12小時(shí),將 15分鐘間隔的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值得到 5分鐘間隔的數(shù)據(jù)結(jié)果,并將結(jié)果同給出的真值數(shù)據(jù)比對(duì),以得出相應(yīng)的結(jié)論;然后,在該結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行基于階次組合的插值研究,以期改善插值精度,提高插值結(jié)果的穩(wěn)定性。

3.1 基于無(wú)階次組合下兩種插值結(jié)果的精度比較

基于無(wú)階次組合的情況下,采用兩種插值方法,進(jìn)行 14～23階的插值實(shí)驗(yàn),插值結(jié)果如表 2所示。

由表 2可以看出,利用Lagrange插值法與 Neville插值法進(jìn)行 12小時(shí)弧段的插值時(shí),兩種插值方法的插值精度基本相同,且插值階數(shù)取 18～20階時(shí)都能得到較好的插值精度,x、y、z3個(gè)方向的插值標(biāo)準(zhǔn)差均小于 1 cm。但同時(shí)由于兩種插值方法本身的局限性,使得高階插值的邊緣精度較低,且表格中的插值殘差最大的點(diǎn)均出現(xiàn)在邊緣區(qū)間,因而本文提出在邊緣處采用低階插值的方法以改善該種情況。為得出需要進(jìn)行重新低次插值的時(shí)間段,我們給出利用兩種插值方法,采用插值階數(shù)為 20時(shí)的插值殘差,結(jié)果如圖 1所示。

圖1 20階插值殘差Fig.1 Interpolation residuals of 20th order

由圖 1可以看出,利用 Lagrange或 Neville插值法采用較高階插值方法時(shí),會(huì)出現(xiàn)所謂的龍格現(xiàn)象。為提高邊緣部分的插值精度,通?？梢圆捎闷唇忧耙惶斓臄?shù)據(jù)進(jìn)行插值。但在只有一天數(shù)據(jù)的情況下,我們則嘗試采用低階插值與高階插值相組合的方法改善邊緣部分的插值精度。

3.2 基于階次組合下的兩種插值方法的精度比較

從計(jì)算結(jié)果可以看出,3～10小時(shí)區(qū)間的插值誤差均小于 1 mm,因而選取 0～2與 10～12小時(shí)作為重新計(jì)算的插值區(qū)間。具體計(jì)算過程是采用低階Lagrange或Neville插值方法對(duì) 0～2小時(shí)和 10～12小時(shí)的弧段進(jìn)行插值,中間弧段仍采用高階插值結(jié)果。具體算法為：采用 0～3小時(shí)的數(shù)據(jù),分別采用8、9、10階插值多項(xiàng)式對(duì) 0～2小時(shí)弧段進(jìn)行重新插值計(jì)算,采用 9～12小時(shí)數(shù)據(jù),同樣方法對(duì) 10～12小時(shí)的數(shù)據(jù)進(jìn)行重新插值計(jì)算。利用插值結(jié)果取代原有結(jié)果,并依據(jù)新數(shù)據(jù)重新計(jì)算 0～12小時(shí)區(qū)間的插值殘差。同時(shí)增加 PRN21衛(wèi)星進(jìn)行計(jì)算,以驗(yàn)證結(jié)論是否具有普遍性。結(jié)果如表 3所示。

由表 3可以看出,在采用 10階與 20階組合的Lagrange與 Neville插值方法時(shí),插值精度有了明顯提高,最大插值殘差也小于 0.02 mm,可以滿足高精度的定位需要。因此在實(shí)際工程中若需要高精度的插值結(jié)果,且只有一天的星歷數(shù)據(jù)的情況下,則可以采用高階與低階插值多項(xiàng)式相組合的方法進(jìn)行星歷插值。圖 2是利用 Lagrange插值方法,采用兩種階次結(jié)合的插值方法,分別對(duì) PRN4衛(wèi)星及 PRN21衛(wèi)星星歷插值得出的殘差結(jié)果。

由圖 2可以看出,采用不同階次組合插值可以很好地改善由于高階插值多項(xiàng)式不穩(wěn)定性所帶來(lái)的龍格現(xiàn)象。

4 結(jié)論

表2 不同階次的多項(xiàng)式內(nèi)插結(jié)果(單位:mm)Tab.2 I nterpolation results of different order(un it:mm)

表3 不同階次的多項(xiàng)式內(nèi)插結(jié)果(單位:mm)Tab.3 Interpolation results of different orders(un it:mm)

1)Lagrange與 Neville插值方法的本質(zhì)是一致的,兩者的插值精度具有高度的一致性。對(duì)于 12小時(shí)弧段的數(shù)據(jù),兩種方法采用 18～20階插值多項(xiàng)式時(shí)取得的插值精度最高。

圖2 插值殘差Fig.2 Interpolation residualswith new method

2)Neville較 Lagrange來(lái)說(shuō),其插值效率更高,更加適合在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行自動(dòng)計(jì)算。

3)在采用高階插值時(shí),兩種方法都存在龍格現(xiàn)象,即插值的邊緣部分的精度較低,且存在一定的震蕩性,這是兩種方法在采用高階多項(xiàng)式進(jìn)行插值時(shí)的固有弊端。

4)對(duì)于插值弧段的邊緣部分采用低階插值多項(xiàng)式,中間仍采用高階插值多項(xiàng)式可以很好地改善插值精度,例如 12小時(shí)插值弧段,在 0～2小時(shí)及10～12弧段采用 10階插值多項(xiàng)式,2～10弧段采用20階插值多項(xiàng)式時(shí),插值精度相當(dāng)高,所有插值殘差均小于 0.02 mm,足以滿足高精度的定位需要。且該種方法改善了采用單一的高階多項(xiàng)式插值所產(chǎn)生的不穩(wěn)定性,Lagrange與 Neville兩種方法的插值精度仍是一致的。

1 李明峰,江國(guó)焰,張凱.IGS精密星歷內(nèi)插與擬合法精度的比較[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2008,(2)：77-80. (Li Mingfeng,Jiang Guoyan and Zhang kai.Comparison of interpolating and fitting IGS precise ephemeris[J].Journalof Geodesy and Geodynamics,2008,(2)：77-80)

2 馮煒,等.兩種常用 GPS星歷擬合方法的精度分析[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2010,(1),145-149.(Feng Wei,et al.Accuracy assess ment of two fitting methods for GPS precise ephemeris[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2010,(1),145-149)

3 洪櫻,歐吉坤,彭碧波.GPS衛(wèi)星精密星歷和鐘差三種內(nèi)插方法的比較 [J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào) (信息科學(xué)版),2006, 31(6)：516-518.(Hong Yin,Ou Jikun and Peng Bibo. Three interpolation methods for precise ephemeris and clock offset of GPS satellite[J].Geomatics and Information Science ofWuhan University,2006,31(6)：516-518)

4 魏二虎,柴華.GPS精密星歷插值方法的比較研究[J].全球定位系統(tǒng),2006,5：13-15.(Wei Erhu and Chai hua. The comparison research on GPS precise ephemeris interpolation methods[J].GNSS World of China,2006,5：13-15)

5 陳鵬,陳正陽(yáng),李驍.一種新的 GPS精密星歷插值方法[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2009,(2)：111-114. (Chen Peng,et al.A new method for GPS precise ephemeris interpolation[J].Journal of Geodesy and Geodynamics, 2009,(2)：111-114)

6 張守建,等.兩種 IGS精密星歷插值方法的比較分析[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2007,(2)：80-83.(Zhang Shoujian,et al.Comparative analysis on two methods for IGS precise ephemeris interpolation[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2007,(2)：80-83)

RESEARCH ON GPS PREC ISE EPHEM ERIS INTERPOLATI ON BASED ON HIGH/LOW ORDERS INTEGRATED

Wang Xiaoming,Cheng Yingyan and Liu Li
(Chinese Academ y of Surveyingamp;M apping,B eijing 100039)

Both the characteristics of Lagrange interpolation and Neville interpolation are compared with each other.It is concluded from the results that the high-order interpolation is not good enough for high-precise applications.Finally,a new interpolation method which based on high/low orders to solve this problem is put forth.

GPS;precise ephemeris;Lagrange interpolation;Neville interpolation;different orders

1671-5942(2011)04-0103-04

2011-02-15

國(guó)家基礎(chǔ)測(cè)繪項(xiàng)目(B2551)

王曉明,男,1988年生,碩士生,主要研究方向?yàn)榭臻g大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理的理論與方法.E-mail：chwxm@sina.cn

P207

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