陳 剛, 朱文輝

(南通職業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)課部 江蘇南通 226007)

指數(shù)級數(shù)前n次多項(xiàng)式零點(diǎn)的性狀分析與控制估計(jì)

陳 剛, 朱文輝

(南通職業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)課部 江蘇南通 226007)

對指數(shù)級數(shù)中前n次多項(xiàng)式的零點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行分析,得到了零點(diǎn)數(shù)量及其變化趨勢的一系列結(jié)果.利用Taylor公式給出了具有解析表達(dá)式的零點(diǎn)控制區(qū)間,進(jìn)一步運(yùn)用指數(shù)級數(shù)的余項(xiàng)分析和Stirling公式給出了精度更高的零點(diǎn)控制區(qū)間,同時(shí)得到了尋求零點(diǎn)的計(jì)算方法,這種算法的精度能夠達(dá)到任意要求,對高次多項(xiàng)式零點(diǎn)的計(jì)算能大幅減少運(yùn)算量.

前n次多項(xiàng)式;零點(diǎn)的性狀;控制區(qū)間;精度估算

它們在對Pn(x)的研究中起著重要的作用.本文擬研究多項(xiàng)式Pn(x)的零點(diǎn)狀況,并對其變化趨勢和控制區(qū)間進(jìn)行探討,進(jìn)而給出數(shù)值控制與零點(diǎn)計(jì)算的一種簡便方法.

1 Pn(x)零點(diǎn)的存在性與零點(diǎn)數(shù)量

綜合文獻(xiàn)[1]中的三個(gè)問題可得到定理的證明.這里運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法給出一個(gè)更簡潔的證明.

證m=1時(shí),P1(x)=1+x有唯一零點(diǎn)x=-1,

設(shè)m=k時(shí)結(jié)論成立,利用(1)式,考慮m=k+1的情形.由歸納假設(shè),P′2k+1(x)=P2k(x)＞0,故P2k+1(x)單調(diào)遞增.又P2k+1(x)是奇次多項(xiàng)式,首項(xiàng)系數(shù)為正,故

所以P2k+1(x)=0有唯一實(shí)根,記作ξ.

因?yàn)镻′2k+2(x)=P2k+1(x),P2k+1(x)單調(diào)遞增,P2k+1(ξ)=0,所以P2k+1(x)當(dāng)x＞ξ時(shí)為正,當(dāng)x＜ξ時(shí)為負(fù),故P2k+2(x)在x=ξ處取得最小值,即

顯然ξ≠0,因而P2k+2(x)＞0,沒有零點(diǎn).于是歸納法完成.

推論1 設(shè)ξ2n-1是P2n-1(x)的零點(diǎn)(n∈N+),則ξ2n-1＜0.

證 由定理1的證明知,P2n-1(x)單調(diào)遞增,而P2n-1(0)=1＞0,所以ξ2n-1＜0.

可見下面關(guān)于Pn(x)零點(diǎn)的性質(zhì),只需針對n是奇數(shù),并且當(dāng)x＜0時(shí)的情形進(jìn)行討論.

2 P2n-1(x)零點(diǎn)序列的單調(diào)性與變化趨勢

定理2 設(shè)ξ2n-1是P2n-1(x)的零點(diǎn)(n∈N+),則有ξ2n+1＜ξ2n-1,即序列{ξ2n-1}單調(diào)遞減.

證由(1)式,P2n+1(x)比P2n-1(x)多兩項(xiàng),當(dāng)x=-(2n+1)時(shí)這兩項(xiàng)的和為零,再根據(jù)P2n-1(x)單調(diào)遞增,可得

3 P2n-1(x)零點(diǎn)具有解析表達(dá)式的控制區(qū)間

由定理1可知,指數(shù)多項(xiàng)式P2n(x)和P2n-1(x)在后者零點(diǎn)ξ2n-1左側(cè)的性態(tài)與ex的差異很大,所以確定ξ2n-1的位置對于級數(shù)逼近效果有重要意義.零點(diǎn)序列{ξ2n-1}單調(diào)遞減并趨于負(fù)無窮,表明了它的變動(dòng)趨勢,但從數(shù)值計(jì)算的角度,更看重零點(diǎn)的區(qū)間控制.從定理2的證明中得到一個(gè)控制不等式-(2n-1)＜ξ2n-1＜ξ1=-1(n＞1),但這個(gè)控制區(qū)間很粗糙.下面利用Taylor公式構(gòu)造更好的控制區(qū)間.函數(shù)ex的Taylor公式為

將P2n-1(x)的零點(diǎn)ξ2n-1代入,得到

取θ=0和θ=1,注意到ξ2n-1＜0,可得到控制不等式

(2)式右邊的不等式兩邊取對數(shù)整理,并記y=-ξ2n-1,得到

(3)式左邊的函數(shù)關(guān)于y單調(diào)遞增,因此求得方程y+2nlny=ln[(2n)!]的根y=B(n),就可得到不等式(3)的解y＞B(n),從而ξ2n-1＜-B(n),這是零點(diǎn)ξ2n-1的控制上限.

整理得到β+lnβ+1＞0.左邊的函數(shù)關(guān)于β單調(diào)遞增,所以求得方程β+lnβ+1=0的唯一根β＊,即得不等式的解β＞β＊,從而有不等式(3)的一個(gè)弱解為y＞2β＊n.于是ξ2n-1＜-2β＊n,這是零點(diǎn)ξ2n-1的具有解析表達(dá)的控制上限.不難求得β＊的數(shù)值解β＊=0.2785,于是得到P2n-1(x)零點(diǎn)ξ2n-1的一個(gè)控制區(qū)間為

對正整數(shù)n,尋求2n-1次方程P2n-1(x)=0的根,在作數(shù)值計(jì)算(如牛頓切線法等)時(shí),控制區(qū)間的上、下限可以直接作為計(jì)算的初值,也可以上下限的中點(diǎn)作為計(jì)算的初值,從而能省略初值試算的步驟,減少計(jì)算工作量.

4 P2n-1(x)零點(diǎn)控制限的改進(jìn)

在函數(shù)ex的冪級數(shù)展開式中,將P2n-1(x)的零點(diǎn)ξ2n-1代入,并記y=-ξ2n-1,得到

由于0＜y＜2n-1,所以上式右端是絕對值逐項(xiàng)縮小的交錯(cuò)級數(shù),因此得到控制不等式

右邊的不等式取對數(shù)后即不等式(3),左邊的不等式取對數(shù)整理可化為

結(jié)合(4)式右邊的不等式,可得

易證,上式左邊的函數(shù)關(guān)于y單調(diào)遞增,所以求得該函數(shù)惟一的零點(diǎn)y=nαn,即得不等式(7)的解y＜nαn,其中αn由方程

確定.于是ξ2n-1＞-nαn,-nαn可作為零點(diǎn)ξ2n-1的控制下限.

同理,結(jié)合(4)式的左邊及不等式(3),解得y＞nβn,其中βn由方程

確定.于是ξ2n-1＜-nβn,-nβn可作為零點(diǎn)ξ2n-1的控制上限.

這樣我們得到了P2n-1(x)零點(diǎn)ξ2n-1的一個(gè)更精確的控制區(qū)間為

其中αn,βn分別由方程(8)和(9)確定,運(yùn)用數(shù)值解法不難求得.

例如n=2時(shí),解方程

相比之下,改進(jìn)后控制區(qū)間的精度確實(shí)提高許多.

在控制區(qū)間ξ2n-1∈(-nαn,-nβn)中,αn,βn需要對不同的n,逐個(gè)地通過求方程的數(shù)值解確定,應(yīng)用起來還是不夠方便.不過從方程(8)和(9)不難看出,αn,βn都隨n單調(diào)遞減,因此當(dāng)a≤n≤b時(shí),αn≤αa, βn≥βb,控制區(qū)間便可簡化為

對于不同的n,只需計(jì)算少量系數(shù),便可分段構(gòu)造控制區(qū)間.具體的控制區(qū)間如表1所示.

表1 按冪次數(shù)分列的指數(shù)多項(xiàng)式零點(diǎn)控制區(qū)間

5 P2n-1(x)零點(diǎn)的控制精度與數(shù)值估算

依照上述算法的基本思路,保留級數(shù)(5)更多的項(xiàng),零點(diǎn)的控制限還可改進(jìn),通過對應(yīng)的確定αn,βn的方程,得到比表1更精確的控制區(qū)間.從理論上說,利用級數(shù)(5)構(gòu)造的控制區(qū)間,精度能夠達(dá)到任意要求.因而這種方法可以代替直接搜索方程P2n-1(x)=0的根,尤其當(dāng)n較大時(shí),能夠避免冗長的算式輸入和龐大的階乘運(yùn)算,大幅縮減計(jì)算量.

例如對于n=100,保留級數(shù)(5)的3項(xiàng)和4項(xiàng),求下列方程的數(shù)值解:

得到α100=0.56530,β100=0.56524,從而199次方程P199(x)=0的根ξ199的控制區(qū)間為

于是得到精確到0.1的解ξ199=-56.5.若取控制區(qū)間的中點(diǎn)ξ199=-56.527作為近似值,則誤差不超過0.003,相對誤差為0.0053%.

零點(diǎn)近似值的誤差能夠在事先進(jìn)行估計(jì).分析確定αn,βn的方程可以發(fā)現(xiàn),保留級數(shù)(5)的k-1項(xiàng)和k項(xiàng),取控制區(qū)間的中點(diǎn)作為近似值,其誤差大致為

其中^αn,^βn分別是αn,βn的估計(jì)值,比如方程(8)和(9)確定的αn,βn就是一對估計(jì)值.也可直接查表1,以αa,βb作為估計(jì)值,即取^αn=αa=βb.

例如對于n=50,由表1查得(α33+β64)/2=0.5735,則99次方程P99(x)=0根的初步近似值為ξ99=-0.5735×50=-28.7.若希望此根精確到三位小數(shù),要求誤差δ=0.0005,則

向上取整k=6,即應(yīng)保留級數(shù)(5)的5項(xiàng)和6項(xiàng)計(jì)算零點(diǎn)的近似值.若取k=8,則誤差為δ=(0.28675)8/2=0.000023,可精確到四位小數(shù).這是大致的估計(jì),待算出α50,β50的值后會(huì)有進(jìn)一步的精度估算.

[1] 波利亞G,舍貴G..數(shù)學(xué)分析中的問題和定理(第二卷)[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1985.

[2] 蔡聰明.談Stirling公式[J].數(shù)學(xué)傳播,1993,17(2)：1-9.

[3] 舒春陽.高等數(shù)學(xué)中的若干問題解析[M].北京：科學(xué)出版社,2005.

Characteristic Analysis and Controlling Estimation of the Zero Point of the Firstnth Sum Polynomial of the Exponential Series

CH EN Gang Z HU Wen-hui
(Nantong Vocational College,Nantong,Jiangsu 226007,China)

A series of results about the number of zero points and their changing trend are obtained through the analysis to the properties of zero points of the first nth sum polynomial of the exponential series.By use of the Taylor formula,the zero point controlling interval with the analytic expressions are given,furthermore,by using the analysis to the remainder term of the exponential series and the Stirling formula,the controlling interval which has the higher accuracy are also given,and meanwhile the calculation method for seeking zero point are obtained,which can meet any required accuracy and thus greatly reduce the computation for calculating the zero points of the higher-degree polynomial.

the first nth sum polynomial;characteristic of zero point;controlling interval;accuracy estimation

O173

A

1672-1454(2011)05-0089-05

2009-03-17;[修改日期]2009-12-10