丁文國(guó), 周宗福

(1.黃山學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽黃山 245041;2.安徽大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院,安徽合肥 230000)

無(wú)窮時(shí)滯Lotka-Volterra型系統(tǒng)的正周期解

丁文國(guó)1, 周宗福2

(1.黃山學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽黃山 245041;2.安徽大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院,安徽合肥 230000)

利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理討論Lotka-Volterra型系統(tǒng)的正周期解存在性,得到了正周期解存在的充分條件.推廣并改進(jìn)了已有的結(jié)果.

正周期解;無(wú)窮時(shí)滯;不動(dòng)點(diǎn)

1 引 言

其中t∈R,x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))∈Rn,xt(s)=x(t+s)對(duì)一切s∈(-∞,0].對(duì)于i= 1,2,…,n,ai∈c(R,R),bi,fi∈c(R×B,R),ai(t+ω)≡ai(t),bi(t+ω,φ)≡bi(t,φ),fi(t+ω, Φ)≡fi(t),ω＞0.

對(duì)方程組(1),作如下假設(shè)：

考慮下述無(wú)窮時(shí)滯周期泛函微分方程組

其中s∈(-∞,0];

(H2)bi(t,φ)把有界集映為有界集,且存在連續(xù)非負(fù)的ω-周期函數(shù)b1i(t)對(duì)?t∈R,?φ∈B, bi(t,φ)≥b1i(t),

2 主要結(jié)果及證明

于是由引理1知,方程(4)存在唯一的ω-正的周期解

根據(jù)對(duì)b(t)所設(shè)的條件,b(t)連續(xù)非負(fù),不恒為0,故y(t)＞0(?t∈R),從而方程(3)存在唯一的ω-正的周期解

引理3(Schaudr不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)X為Banach空間,D為X中的有界閉凸集,T：D→D為全連續(xù)的,則T在D中必有不動(dòng)點(diǎn).

3 主要結(jié)果

定理1 若(H1),(H2),(H3)滿足,則方程組(1)存在正的ω-周期解.

則Bω按此范數(shù)為一個(gè)Banach空間.令

則Ω為Bω中的有界閉凸集.

對(duì)?u?Ω,考慮下面的微分方程式組

易見fi(t,ut),bi(t,ut)連續(xù)且為ω-周期的.由(H1),(H2)及引理2知方程組(5)的每個(gè)方程均存在唯一的正的ω-周期解

則T的不動(dòng)點(diǎn)即為方程組(1)的正的ω-周期解.下面證明：

(i)TΩ?Ω;

(ii)T在Ω上為連續(xù)的;

(iii)TΩ為列緊的.

(i)?u?Ω,xiu(t)＞0.對(duì)t∈R(i=1,2,…,n),

其中A1,A2為(Ⅱ)中的A1,A2,可見TΩ中的函數(shù)等度連續(xù).故由Ascoli-Arzela由定理知,TΩ在Bω中為列緊的.于是由引理3,即Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理知,T在Ω中有不動(dòng)點(diǎn),即方程組(1)存在正的ω-周期解.

4 應(yīng)用舉例

考慮具有離散時(shí)滯與無(wú)窮分布時(shí)滯的n種群Lotka-Volterra型系統(tǒng)

證在定理1的條件(H1)中,取c1=c2=…=cn=1,即知定理1的所有條件滿足,故結(jié)論成立.

注 關(guān)于系統(tǒng)(13)的正周期解的存在性,文[1]在bi(t),aijl(t),cijl(t),kij(t,s)均為非負(fù)的前提下,給出了若干結(jié)果.本文定理2給出了新的不同的結(jié)果.

例1 討論具無(wú)窮分布時(shí)滯的2π-周期兩種群Lotka-Volterra型系統(tǒng)故定理2的條件都有滿足,所以方程(14)存在正2π-周期.

[1] 滕志東.一類無(wú)窮時(shí)滯周期Lotka-Volterra型系統(tǒng)的正周期解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2001,21A：94-01.

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[8] 曾志剛,廖曉聽.具兩個(gè)時(shí)滯項(xiàng)的微分方程的穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2004,(8)：489-499.

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The Positive Periodic Solution of Lotka-Volterra Systems of Infinite Delay

DIN G Wen-guo1, Z HOU Zong-f u2
(1.Department of Mathematics,Huangshan University,Huangshan Anhui 245021,China;
2.School of Mathematics and Computation of Science of Anhui University,Hefei Anhui 230000,China)

This paper discusses the positive periodic solution’s existence of Lotka-Volterra systems by means of schaude fixpoint theorem.The theorems obtained contain and improve the existing results.

Positive periodic solution;Infinite Delay;Fixpoint

O175.1

A

1672-1454(2011)05-0042-06

2008-11-19

安徽省2010年高校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2010B217)