汪全珍, 李樹生
(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230039)
強極值原理中輔助函數(shù)的構(gòu)造
汪全珍, 李樹生
(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230039)
通過分析極值原理在強極值原理證明中的作用,研究如何構(gòu)造其證明中的輔助函數(shù). [關(guān)鍵詞]極值原理;強極值原理;輔助函數(shù)
在《偏微分方程》的本科教學(xué)中,調(diào)和方程這一章是理論內(nèi)容最為豐富的一章,也是相對難的一章,在其許多定理的證明中都構(gòu)造了輔助函數(shù),雖然證明中所用到的知識都只是微積分,但對學(xué)生來說,這種技巧性的證明消化起來還是有一定的難度.如果在課堂上不去分析輔助函數(shù)的構(gòu)造,啟發(fā)學(xué)生去思考問題,而只是照搬照抄地教,學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣勢必會受到影響.
在教學(xué)過程中,我們發(fā)現(xiàn)雖然《偏微分方程》的教材很多,但是不管是一般形式的的強極值原理還是調(diào)和方程的強極值原理的證明都采取了與Evans[1]教材中一樣的輔助函數(shù)的構(gòu)造,見[2]-[4].事實上,通過下面的分析我們會看到,這種輔助函數(shù)的構(gòu)造對于簡單的調(diào)和方程的強極值原理的證明來說過于復(fù)雜,而且與前面的教材內(nèi)容——可去奇點定理的證明銜接的不緊湊.
我們先看調(diào)和方程的強極值原理的證明分析.
定理(強極值原理)[3]設(shè)在半徑為R某一球上(包括球面內(nèi))給定一個連續(xù)函數(shù)u(x,y,z),它在此球內(nèi)是調(diào)和的,并且對此球的所有內(nèi)點(x,y,z),成立著u(x,y,z)>u(x0,y0,z0),其中(x0,y0,z0)是球面上的某定點.如果函數(shù)u(x,y,z)在點(x0,y0,z0)沿方向v的方向?qū)?shù)存在,而方向v與球的內(nèi)法線方向成銳角,則在(x0,y0,z0)成立
分析 這個定理的證明思想就是構(gòu)造一個函數(shù)v,使得u-v滿足:
(i)在M0(x0,y0,z0)點附近u-v≥0且u-v|M0=0;
如果能夠找到這樣的函數(shù)v,則由(i)知,
再由(ii)立即可知所要證明的結(jié)論成立.
那么如何去尋找v呢?首先看看徑向函數(shù)中有沒有可能存在,即是否存在形如v(r)的函數(shù)v.假設(shè)存在,下面我們來看要對v(r)提出哪些條件,它就滿足條件(i)和(ii)了.
先看條件(ii),由
和cos(v,r)<0知,條件等價于
滿足上面條件的v是非常容易構(gòu)造的,例如嚴格單調(diào)遞減的C1函數(shù).所以,關(guān)鍵是看條件(i)還是要對v提出什么樣的要求.由于M0點在球面上,所以我們不妨用區(qū)域R-δ0≤r≤R來表示M0點附近,這里0<δ0<R是任意取定的常數(shù).這樣條件(i)就轉(zhuǎn)化為此區(qū)域上的u-v≥0且u-v|M0=0.不難構(gòu)造v(R)=u(M0)的函數(shù),所以關(guān)鍵是構(gòu)造在區(qū)域R-δ0≤r≤R上滿足u-v≥0的函數(shù)v.而在此區(qū)域邊界上滿足條件的v是不難構(gòu)造的,但是現(xiàn)在這個不等式還是在此區(qū)域內(nèi)部也成立,自然就想到了能否通過極值原理來實現(xiàn)這個難題.從而如果u-v滿足
條件(i)中的第一部分就滿足了.
由已知對任意的M∈BR,都有u(M)>u(M0),再由u的連續(xù)性可知u|?BR≥u(M0).從而
其中c2>0足夠小,使得c2(R-δ0)p-c2Rp≤m-u(M0)成立.
通過上面的分析,我們看到調(diào)和方程的強極值原理的證明中,極值原理對輔助函數(shù)的構(gòu)造起著至關(guān)重要的作用,證明中的絕大部分是在說明極值原理是如何運用的,正是從此角度出發(fā),我們認為沒有必要像一般的極值原理證明中[4]取
這樣做反而會使較簡單問題的證明變得復(fù)雜,也不利于學(xué)生的理解.
注 對于n維調(diào)和方程的強極值原理的輔助函數(shù)的構(gòu)造可以完全類似的討論,也只要v滿足條件(1)-(4),但n維情形下的條件(3)相應(yīng)地更改為
[1] Evans Lawrence C.Partial differential equations[M].Providence,Rhode Island:American Mathematical Society, 1998.
[2] 陳祖墀.偏微分方程[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2002.
[3] 谷超豪,李大潛,等.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京:高等教育出版社,2002.
[4] 陳恕行,秦鐵虎,等.數(shù)學(xué)物理方程[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2002.
O175.2
C
1672-1454(2011)03-0176-03
2008-05-12
安徽省自然科學(xué)基金項目(070416225);安徽大學(xué)211博碩建設(shè)項目(02203104)