張 靜, 陳 目

(1.廣州市紡織服裝職業(yè)學(xué)校,廣東廣州 510310; 2.廣東體育職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣東廣州 510663)

一類二階Emden-Fowler型中立型時(shí)滯微分方程的區(qū)間振動(dòng)性

張 靜1, 陳 目2

(1.廣州市紡織服裝職業(yè)學(xué)校,廣東廣州 510310; 2.廣東體育職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣東廣州 510663)

對一類二階Emden-Fowler型中立型時(shí)滯積分方程

利用Riccati技巧和積分平均法,給出了一些判定其解振動(dòng)的充分判據(jù).這些判據(jù)僅依賴于方程的系數(shù)在[t0,∞)的區(qū)間列的性質(zhì),而非整個(gè)[t0,∞)上的性質(zhì).最后,我們給出實(shí)例以闡述主要結(jié)果的有效性.

振動(dòng);中立型時(shí)滯微分方程;積分平均法

1 引 言

考慮到二階Emden-Fowler型中立型時(shí)滯微分方程

這里x(t)=y(t)+p(t)y(t-τ).我們假設(shè)下面條件成立：

(A1)τ和σ1,σ2是非負(fù)常數(shù),α,β是正的常數(shù)且0＜α＜1＜β;

(A2)q1,q2∈C([t0,∞),R+),R+=(0,+∞);

(A3)p∈C([t0-θ,∞],R),-1＜p0≤p(t)≤1,p0是一個(gè)常數(shù).

我們默認(rèn),對任何φ∈C([t0-θ,t0],R),θ=max{τ,σ1,σ2},方程(1.1)有一個(gè)解y(t),滿足初始條件y(t)≡φ(t),當(dāng)[t0-θ,t0)時(shí),并且延展到[t0,∞)(Hale[6]).出于振動(dòng)性的環(huán)境考慮,我們關(guān)注方程(1.1)存在于[ty,∞)上的那些解y=y(t),且sup{|y(t)|∶t≥T}＞0,對任意T≥ty成立,并滿足方程(1.1).如通常定義,方程的一個(gè)解稱之為振動(dòng)的,如果它有任意大的零點(diǎn).否則就稱為非振動(dòng)的.如果方程(1.1)的所有的解都是振動(dòng)的,則方程(1.1)稱為振動(dòng)的.對于方程(1.1),如果q1(t)≡0,稱之為超線性,而當(dāng)q2(t)≡0時(shí),稱之為次線性.

自20世紀(jì)70年代以來,隨著以中立型泛函微分方程為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用課題的大量涌現(xiàn)(如博弈論,細(xì)胞中酶反應(yīng)動(dòng)力學(xué)等),人們對中立型泛函微分方程的研究工作越來越重視,并取得長足的進(jìn)展.中立型方程是一類形式相當(dāng)廣泛的泛函微分方程,有著廣泛的應(yīng)用背景,Hale[6]的末尾給出了許多實(shí)際應(yīng)用實(shí)例.例如,中立型方程在高速計(jì)算機(jī)連接開關(guān)電路的無耗損傳輸網(wǎng)絡(luò)中有著其實(shí)際應(yīng)用背景,因而對中立型方程的解的性質(zhì)的研究,不但對其本身的發(fā)展有著理論意義,而且在應(yīng)用上同樣有著重要意義.近30年以來,對中立型方程的振動(dòng)性的研究,受到人們的廣泛關(guān)注,并得到許多成果,見文獻(xiàn)[1,3,5].最近,文[13]文獻(xiàn)[2]和[4]關(guān)于二階Emden-Fowler方程

正如文[13](注4)指出的,尋找方程(1.3)及其特殊形式的方程的振動(dòng)性判定方法,仍然是十分有意義的.對Emden-Fowler中立型時(shí)滯方程

最近,Saker[10],Saker and Manojlivic[11],和徐[14]對方程(1.1),(1.3)和(1.4)給出了一些判定定理.然而,文[10,11,13,14]所建立的判定定理均涉及方程系數(shù)函數(shù)q,q1,q2在整個(gè)半直線[t0,∞)上整體性質(zhì).然而,Kong在文[8]中指出,方程的振動(dòng)性問題,實(shí)際上是區(qū)間性質(zhì).即僅當(dāng)研究方程的在一列有界區(qū)間列上性質(zhì),而無須考慮系數(shù)函數(shù)在[t0,∞)的其余部分的性質(zhì).這種性質(zhì)的振動(dòng)性定理稱之為區(qū)間振動(dòng)準(zhǔn)則.Kong在[8]中對二階線性方程

給出了第一個(gè)漂亮的區(qū)間振動(dòng)定理.最近,Yang在[15]把文[5]的結(jié)果推廣到了一類二階中立型時(shí)滯方程.

本文受文獻(xiàn)[8,9]的啟發(fā),借用Riccat技巧和平均積分技巧,給出了幾個(gè)關(guān)于方程(1.1)的區(qū)間振動(dòng)定理,也就是說,這里的準(zhǔn)則僅依賴于方程(1.1)(或a(t),q1(t),q2(t))在區(qū)間[t0,∞)的子區(qū)間的性質(zhì).我們的結(jié)果改進(jìn)和推廣了[10,14]的成果,最后,我們給出兩個(gè)實(shí)例,以說明本文結(jié)果的有效性.

2 主要結(jié)果

在這一節(jié),我們將在條件0≤p(t)≤1和-1＜p0≤p(t)＜0下建立kong-type型振動(dòng)定理.為符號簡便,我們引入下列記號.

下面的引理將被用來證明方程(1.1)的振動(dòng)準(zhǔn)則,它的證明見[12]中引理1(α=1).

引理2.1 設(shè)A0,A1,A2∈C([t0,∞),R)),并且A2＞0,ω∈C1([t0,∞),R)).如果存在區(qū)間(a,b)?[t0,∞),使得

情形(C2).設(shè)y(t)是方程(1.1)的非振動(dòng)解.不失一般性.我們假設(shè)y(t)＞0對t≥t0.進(jìn)而,類似于文[15]的引理(12)證明,可存在t1＞t0使得(2.5)成立.進(jìn)一步得,可找到T0使得(2.6)成立.注意到y(tǒng)(t)＞x(t),就有y(t-σ1)≥x(t-σ2),對t≥T0.由此可知,(1.1)可變形為

情形二：-1＜p0≤0.注意Q2(t)≥2q1(t).余下證明相似于情形一.因此,由定理2.5,方程(3.1)是振動(dòng)的.

[1] Agarwal R P,Grace S R,Regan D O.Oscillation theory for second order dynamic equations[M].London：Taylor &Francis,2003.

[2] Arkinson F V.On second order nonlinear oscillation[J].Pacific J.Math.,1955(5)：643-647.

[3] Bainov D D,Mishev D P.Oscillation theory for neutral equations withdelay[M].New York：Adam Hilger IOP Publishing Ltb.,1991.

[4] Belohorec S.Oscillatory solution of certain nonlinear differential equations of the second order[J].Math.Fyz. Casopis Sloven.Akad.Vied.,1961(11)：250-255.

[5] Erbe L H,Kong Q,Zhang B G.Oscillation theory for functional differential equations[M].New York：Marcel Dekker,1995.

[6] Hale J K.Theory of functional differential equations[M].New York：Springer-Verlag,1977.

[7] Hardy G H,Littlewood J E,Polya G.Inequalities[M].2 edition.Cambridge University Press,1988.

[8] Kong Q.Interval criteria for oscillation of second order linear ordinar differential equations[M].J.Math.Anal. Appl.,1999(299)：258-270.

[9] Philos Ch G.Oscillation theorems for linear differential equations of second order[M].Arch.Math.(Besel), 1989(53)：482-492.

[10] Saker S H.Oscillation theorems for linear differential equations of Emden-Fowler type[J].Acta.Math.Hungar, 2003,100(1-2)：37-62.

[11] Saker S H,Manojlivic J V.Oscillation criteria for second order superlinear neutral delay differential equations[J]. Electron.J.Qual.Theory Differ.Equ.2004(10)：1-22.

[12] Tiryaki A,Basci Y,Gulec I.Interval criteria for oscillation of second order functional differential equations[J]. Comput.Math.Appl.,2005(50)：1487-1498.

[13] Wong J S W.Necessary and sufficient conditions for oscillation for second order neutral differential equations[J]. J.Math.Anal.Appl.,2000(252)：342-352.

[14] Xu Z.On the oscillation of second order neutral differential Equationof Emden-Fowler Type[J].Monastsh. Math.,2007(150)：157-171.

Interval Oscillation Criteria for Second-order Emden-Fowler Neutral Delay Differential Equations

Z HA N G J ing1, C H EN Mu2
(1.Guangzhou Textile and Garment Vocational School,Guangzhou 510310,China; 2.Guangdong Vocational Institute of Sport,Guangzhou 510663,China)

By using a generalized Riccati technique and an integral averaging method,interval oscillation criteria are established for the second-order Emden-Fowler neutral delay differential equation

oscillation;neutral delay differential equation;integral averaging method

O175.13

A

1672-1454(2011)03-0124-07

2008-08-01;[修改日期]2009-06-08