趙巧玲, 王 鋒

(1.商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南商丘 476000; 2.安陽工學(xué)院數(shù)理學(xué)院,河南安陽 455000)

一類隨機(jī)算子隨機(jī)不動點(diǎn)的迭代序列收斂性

趙巧玲1, 王 鋒2

(1.商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南商丘 476000; 2.安陽工學(xué)院數(shù)理學(xué)院,河南安陽 455000)

利用非對稱迭代技巧,討論了一類不具有緊性條件的隨機(jī)算子的隨機(jī)不動點(diǎn)的存在唯一性,并給出了迭代序列收斂于解的誤差估計,所得結(jié)果是某些已知結(jié)果本質(zhì)改進(jìn)和推廣.

隨機(jī)增算子;隨機(jī)不動點(diǎn);正規(guī)錐

1 引 言

設(shè)(Ω,F,P)是一個完備的概率空間,E是可分的Banach空間或Polish空間(即可分完備度量空間),E是E上的Borel代數(shù),(E,E)為可測空間,x(ω):Ω→E為可測向量函數(shù)(隨機(jī)變量),如果?B∈E, x-1(B)={ω∈Ω|x(ω)∈B}∈F.設(shè)D是E的子集,回顧下列概念.

(i)算子A:Ω×D→E稱為隨機(jī)連續(xù)算子,是指任意給定x∈D,A(·,x):Ω→E是可測的,而任意給定ω∈Ω,A(ω,·):D→E對x連續(xù);

(ii)算子A:Ω×D→E稱為隨機(jī)增算子,是指任意給定x∈D,A(·,x):Ω→E是可測的,而任意給定ω∈Ω,A(ω,·):D→E是依E中半序≤對x是單調(diào)增算子,即若x,y∈D,x≤y??ω∈Ω,A(ω,x)≤A(ω,y);

(iii)隨機(jī)算子A(ω,x):Ω×D→E,若存在隨機(jī)變量x(ω):Ω→E使得?ω∈Ω,A(ω,x(ω))=x(ω),則稱x(ω)為A(ω,x)的隨機(jī)不動點(diǎn).

引理設(shè)E是可分的Banach空間,(E,E)是可測空間,A:Ω×D→E是隨機(jī)連續(xù)算子,則對任意的隨機(jī)變量x(ω):Ω→E,A(ω,x(ω))也是可測的[1].

2 隨機(jī)算子的隨機(jī)不動點(diǎn)問題

設(shè)E是實(shí)Banach空間,非空閉凸集P?E稱為E中的錐,如果

(i)x∈p,λ≥0?λx∈P;(ii)x∈P,-x∈P?x=θ.

由P定義半序≤:即?x,y∈E,y-x∈P,則x≤y;P稱為正規(guī)錐,如果存在N＞0,使得θ≤x≤y?‖x‖≤N‖y‖.

設(shè)u0,v0∈E,u0＜v0(即u0≤v0,u0≠v0),稱D=[u0,v0]={u∈E|u0≤u≤v0}為E中的序區(qū)間.

定理設(shè)P是實(shí)Banach空間E中的正規(guī)錐,A:Ω×D→E是隨機(jī)連續(xù)算子.若存在正有界線性算子L:E→E,算子的譜半徑0＜r(L)＜1,且存在Ω上的可測函數(shù)α(ω),b(ω)∈[0,1),b(ω)＜α(ω)+r(L)＜1,使得算子A滿足下列條件:

(i)?ω∈Ω,b(ω)(v-u)≤A(w,v)-A(ω,u),u0≤u≤v≤v0;

(ii)?ω∈Ω,A(ω,v)-A(ω,u)≤L(v-u),u0≤u≤v≤v0;

(iii)u0+α(ω)(v0-u0)≤A(ω,u0),A(ω,v0)≤v0,

則算子A(ω,x)在D中有唯一的隨機(jī)不動點(diǎn)x＊(ω),且有誤差估計:?ω∈Ω,

從而有A(ω,x＊(ω))=x＊(ω).最后在(3),(4)式中令m→∞便得到誤差估計式(1).

注 在本定理中,通過構(gòu)造隨機(jī)增算子B,把隨機(jī)非單調(diào)算子歸結(jié)到隨機(jī)增算子來討論,給出了相應(yīng)的隨機(jī)不動點(diǎn)定理.拓寬了文獻(xiàn)[3]的適應(yīng)范圍.

推論1 在上述定理中將條件(iii)換成u0≤A(ω,u0),A(ω,v0)≤v0,?ω∈Ω,則定理仍然成立且

事實(shí)上,在定理中令a(ω)=0即可.

推論2 在上述定理中將條件(iii)換成

其中K,M:E→E是正有界增算子,且0＜r(K+M+L)-b(ω)＜1,則定理仍然成立,此時且有誤差估計為

[1] Sharpe M.General Theory of Markov Processes[M].London：Academic Press,INC：1988.

[2] Dellacherie C.Capacitiés et Processus Stochastique[M].Berlin：Springer-Verlag：1972.

[3] 李國禎.隨機(jī)單調(diào)算子的隨機(jī)不動點(diǎn)定理[J].江西師范大學(xué)學(xué)報,2004,41(2)：136-142.

[4] 盛海波.增算子新的不動點(diǎn)定理及其應(yīng)用[J].華東交通大學(xué)學(xué)報,2004,21(1)：114-116.

[5] 王梓坤.隨機(jī)泛函分析引論[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,1962,5(1)：45-71.

[6] Taylor A E and Lay D C.Introduction of Functional Analysis[M].New York：Springer-Verlay,1980：277-281.

[7] 朱傳喜.關(guān)于隨機(jī)算子方程的隨機(jī)解[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,1997,26(5)：429-434.

The Convergence of Iteration Sequences of Random Fixed Point of Random Operator

Z HAO Qiao-ling1, WA N G Feng2
(1.Department of Mathematics,Shangqiu Teachers College,Shangqiu,Henan 476000,China; 2.Department of Mathematics,Anyang Institute of Technology,Anyang,Henan,455000,China)

By using non-symmetry Mann iterative technique,the existence and uniqueness of random fixed point of a kind of random operator are studied without compactness conditions.And the iteration sequences which converge to solution of operator equations and the error estimates are also given.The results presented here improve and generalize some corresponding results.

random increasing operator;random fixed point;nomal cone

O211.5

A

1672-1454(2011)03-0083-04

2008-08-04;[修改日期]2008-11-28

河南省教育廳自然科學(xué)研究項目(2010B110019)