劉 靜, 孫善輝

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽宿州 234000)

一類直線上自相似集的相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)的分布

劉 靜, 孫善輝

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽宿州 234000)

先構(gòu)造了一類直線上的自相似集,研究了它的相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)公式.作為推論我們給出了三分Cantor集相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)公式,從而首次發(fā)現(xiàn)了它的相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)的分布規(guī)律.

相似壓縮不動(dòng)點(diǎn);三分Cantor集;坐標(biāo)公式

2005年文[1]提出了相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)這一嶄新的概念,這為探討自相似集的結(jié)構(gòu)提供了另一個(gè)研究方向.我們?nèi)艨梢哉业阶韵嗨品中蔚南嗨茐嚎s不動(dòng)點(diǎn),便可以得到自相似集在相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)處的局部性質(zhì),從而又可以根據(jù)相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)的處處稠密推出自相似集的性質(zhì).可見研究自相似集的相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)是當(dāng)今十分前沿的課題,對(duì)認(rèn)識(shí)自相似分形的結(jié)構(gòu)和推動(dòng)分形幾何的發(fā)展都具有十分重要的意義.本文研究了一類直線上自相似集的相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)的分布,是繼相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)概念提出后的一個(gè)重大突破.

1 相關(guān)概念與已知結(jié)論

2 一類直線上的自相似集的構(gòu)造

圖1 一類推廣的Cantor集的構(gòu)造圖

3 E＊的相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分布

下面我們就來探求E＊的相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)公式.

在證明定理1之前我們先考察E＊的第k級(jí)壓縮與第k+1級(jí)壓縮得到的相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.

此時(shí)定理1結(jié)論也成立,綜上所述定理1成立.

由定理1我們能得到如下推論:

注 由推論1可以找到三分Cantor集的全體相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)的分布為

[1] Xu Shaoyuan.Connecting Hausdorff measure and upper convex density orHs-a.e.covering[J].J.Math.Anal. Appl.,2005,311(1)：324-337.

[2] Zhou Zuoling and Li Feng.Twelve open problems on the exact value of the Hausdorff measure and on topological entropy：abrief survey of recent results[J].Nonlinearity,2004,17(2)：493-502.

[3] 許紹元,周作領(lǐng).關(guān)于滿足強(qiáng)分離開集條件的自相似集的Hausdorff測度[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,2005,34(5)：545-552.

[4] 許紹元,許璐.關(guān)于三分Cantor集的構(gòu)造的一個(gè)基本性質(zhì)及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2001,31(2)：223-226.

The Exploration of the Contracting-similarity Fixed Points for a Kind of Self-similar Fractal on Straight line

L IU J ing, SUN S han-hui
(Department of Mathematics,Suzhou College,Suzhou,Anhui 234000,China)

We construct a kind of self-similar fractalE＊on straight line firstly,then we research the coordinate formula for the contracting-similarity fixed points ofE＊.As an application,we get the coordinate formula for contracting-similarity fixed points of the middle third Cantor set,so the distribution of the middle third Cantor set is found for the first time.

contracting-similarity fixed points;middle third Cantor set;coordinate formula

O189.1

A

1672-1454(2011)03-0066-04

2008-07-10

宿州學(xué)院自然科學(xué)研究項(xiàng)目(2009y2k26;2009y2k27)