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        一類Poisson分布的數(shù)學(xué)模型

        2011-11-22 01:39:16范洪福
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2011年4期
        關(guān)鍵詞:二項(xiàng)分布

        范洪福

        (上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)

        一類Poisson分布的數(shù)學(xué)模型

        范洪福

        (上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)

        詳細(xì)地建立了一種服從Poisson分布的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)模型,并作了推廣.[關(guān)鍵詞]隨機(jī)變量;Poisson分布;二項(xiàng)分布;相互獨(dú)立

        1 引 言

        多年為本科學(xué)生講授《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程,我們積累了一些教學(xué)經(jīng)驗(yàn).此課程具有豐富的實(shí)際背景,應(yīng)用廣泛.在教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)讓理論密切聯(lián)系實(shí)際問題,盡量多介紹一些概率模型,分析隨機(jī)現(xiàn)象,讓學(xué)生深刻理解有關(guān)概念和方法,了解本課程豐富的背景,融會(huì)貫通,學(xué)以致用.

        在概率論中,Poisson分布是一類極其重要的分布,背景特別豐富.這里,我們來建立一類服從Poisson分布的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)模型.在課堂教學(xué)中,我們曾經(jīng)多次介紹過此類模型,引起了學(xué)生們濃厚的興趣,從而增強(qiáng)了學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的興趣,教學(xué)效果頗佳.

        2 數(shù)學(xué)模型

        我們學(xué)校所處的上海市軍工路是一條交通主干道中環(huán)線,交通繁忙,位于軍工路516號的學(xué)校大門口每天來往的汽車眾多.我們來考察一天內(nèi)經(jīng)過本校門口的汽車次數(shù)的分布情況.

        用隨機(jī)變量X表示“一天內(nèi)經(jīng)過本校門口的汽車次數(shù)”.將一天24小時(shí)等分成m個(gè)時(shí)段,每個(gè)時(shí)段為5秒,每輛車在一個(gè)時(shí)段內(nèi)至多經(jīng)過本校門口一次.再用隨機(jī)變量Xi表示“第i個(gè)時(shí)段內(nèi)經(jīng)過本校門口的汽車次數(shù)”,i=1,2,…,m,則

        且X1,X2,…,Xm近似相互獨(dú)立.

        先考慮Xi的分布.假設(shè)有可能經(jīng)過本校門口的汽車總數(shù)為N輛,在這N輛車中,離本校遠(yuǎn)近分布不同,有的離本校很近,有的較近,有的較遠(yuǎn),有的很遠(yuǎn).在一個(gè)時(shí)段內(nèi),它們經(jīng)過本校門口的概率不同.因此,按照距離遠(yuǎn)近,將全中國分解成n個(gè)區(qū)域,并設(shè)在第j個(gè)區(qū)域內(nèi),共有tj輛車在一個(gè)時(shí)段內(nèi)有可能經(jīng)過本校門口,則有

        現(xiàn)提出兩個(gè)假設(shè)條件:

        (a)每輛車是否經(jīng)過本校門口相互獨(dú)立;

        (b)對于屬于第j個(gè)區(qū)域內(nèi)的tj輛車,在一個(gè)時(shí)段(假設(shè)為第i個(gè)時(shí)段)內(nèi)每輛車經(jīng)過本校門口(記為事件Aij)的概率相等,記P(Aij)=pij.

        由于現(xiàn)在燃油、燃?xì)赓M(fèi)昂貴,如果汽車沒有事情不會(huì)經(jīng)過本校門口,條件(a)近似成立.由于已將全國區(qū)域進(jìn)行劃分,處于同一區(qū)域內(nèi)的汽車離本校遠(yuǎn)近相當(dāng),它們經(jīng)過本校門口的概率大致相同,條件(b)成立.

        現(xiàn)用隨機(jī)變量Yij表示“在第i個(gè)時(shí)段內(nèi)屬于第j個(gè)區(qū)域內(nèi)的tj輛車中經(jīng)過本校門口的汽車次數(shù)”,j=1,2,…,n,則有

        由條件(a),Yi1,Yi2,…,Yin近似相互獨(dú)立.

        現(xiàn)在首先考慮Yij的分布.

        對于屬于第j個(gè)區(qū)域內(nèi)的tj輛車而言,在5秒內(nèi)每輛車要么經(jīng)過本校門口(事件Aij),要么不經(jīng)過本校門口(事件 ̄Aij),而且相互獨(dú)立,故此為tj重Bernoulli試驗(yàn),事件Aij發(fā)生的次數(shù)

        顯然,這里的tj很大,tj≥10000;pij很小,pij<0.1.根據(jù)[1]中Poisson定理,近似地有

        這里λij=tj·pij.由于Yi1,Yi2,…,Yin相互獨(dú)立,根據(jù)[1]中98頁介紹的Poisson分布的可加性,有

        由于X1,X2,…,Xm相互獨(dú)立,再次利用Poisson分布的可加性,有

        3 模型推廣

        以上數(shù)學(xué)模型可以推廣到多種隨機(jī)現(xiàn)象,從而可知Poisson分布的普遍性.

        A.考察一所大學(xué)一年內(nèi)發(fā)生的學(xué)生違紀(jì)處分次數(shù)Y.

        若把“學(xué)生”比擬為“汽車”,“受到違紀(jì)處分”比擬為“經(jīng)過本校門口”,則可以類似地把一年時(shí)間等分成m個(gè)時(shí)段;把全校學(xué)生按照違紀(jì)概率的大小劃分成n個(gè)等級.經(jīng)過類似的討論、分析,可以說明隨機(jī)變量Y也服從Poisson分布.

        B.考察一家經(jīng)營機(jī)動(dòng)車輛強(qiáng)制保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的保險(xiǎn)公司一個(gè)月內(nèi)理賠的次數(shù)Z.

        若把“機(jī)動(dòng)車”比擬為“汽車”,“發(fā)生需要理賠的交通事故”比擬為“經(jīng)過本校門口”,則可以類似地把一個(gè)月時(shí)間分成m個(gè)時(shí)段;把購買該保險(xiǎn)公司車輛強(qiáng)制保險(xiǎn)的機(jī)動(dòng)車按照發(fā)生需要理賠的交通事故的概率的大小劃分成n個(gè)等級.經(jīng)過類似的討論、分析,可以說明隨機(jī)變量Z也服從Poisson分布.

        [1] 盛驟,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].2版.北京:高等教育出版社,1989.

        [2] Milton J S,Mcteer P M,Corbet J J.Introduction to statistics[M].Mc Graw-Hill Companies,1997.

        A Kind of Mathematical Model of Poisson Distribution

        FAN Hong-fu

        (College of Science,University of Shanghai for Science &Technology,Shanghai 200093,China)

        A mathematical model of Poisson distribution is constructed in detail,then it is generalized.

        random variable;Poisson distribution;binomial distribution;mutually independent

        O29

        C

        1672-1454(2011)04-0150-02

        2008-10-20;

        2009-05-18

        上海市教委重點(diǎn)課程建設(shè)課題《數(shù)學(xué)物理方程》(2010年-2011年)資助項(xiàng)目

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