●

(蘇步青學(xué)校 浙江平陽 325404)

簡談二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

●周增強

(蘇步青學(xué)校 浙江平陽 325404)

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一．作為最基本的初等函數(shù)，二次函數(shù)內(nèi)容廣泛，頗受命題者青睞．各地中考試題中二次函數(shù)的考題，既有解析式、值域與最值等基本內(nèi)容，也有通過與二次方程、二次不等式的聯(lián)系而變化出各種各樣的代數(shù)問題；還有大量的從圖像角度、結(jié)合坐標(biāo)系衍生而成的數(shù)形結(jié)合問題.這類問題綜合性強、難度大，往往以壓軸題的形式出現(xiàn).本文將通過一些中考試題和模擬題對二次函數(shù)綜合應(yīng)用進行分類說明.

1 實際應(yīng)用題

例1利達(dá)經(jīng)銷店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理)．當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸.該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價的方式進行促銷.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸．綜合考慮各種因素，每售出1噸建筑材料共需支付廠家及其他費用100元.設(shè)每噸材料售價為x(元)，該經(jīng)銷店的月利潤為y(元).

(1)當(dāng)每噸售價為240元時，計算此時的月銷售量；

(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍)；

(3)該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定為每噸多少元？

(4)小靜說：“當(dāng)月利潤最大時，月銷售額也最大”,你認(rèn)為對嗎？請說明理由.

解(1)由題意得，月銷售量為

45+(260-240)×7.5÷10=60(噸).

(2)根據(jù)題意得

即

(3)對第(2)小題的結(jié)論配方得

因此利達(dá)經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應(yīng)定價為每噸210元.

(4)小靜說的不對.當(dāng)月利潤最大時，x為210元，此時月銷售額為17 325元；當(dāng)x為200元時，月銷售額為18 000元.因為

17 325lt;18 000，

所以當(dāng)月利潤最大時，月銷售額不是最大，故小靜說的不對.

說明這是二次函數(shù)的性質(zhì)在實際問題中的應(yīng)用.解這類題型的重點是列出二次函數(shù)的關(guān)系式，然后運用二次函數(shù)的性質(zhì)解題.

2 動點運動問題

圖1

(1)求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

(2)2個動點P，Q分別從點O，A同時出發(fā),以每秒1個單位長度的速度運動.其中點P沿著線段OA向點A運動，點Q沿著折線A→B→C的路線向點C運動.設(shè)這2個動點運動的時間為t(秒)(0lt;tlt;4)，△PQA的面積記為S.

①求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

②當(dāng)t為何值時，S有最大值，最大值是多少？并指出此時△PQA的形狀.

③是否存在這樣的t值，使得△PQA是直角三角形?若存在，請直接寫出此時點P,Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解得

故所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為

(2)①過點B作BE⊥x軸于點E，則

∠BAE=60°.

1°當(dāng)點Q在線段AB上運動，即0lt;t≤2時，

QA=t，PA=4-t.

綜合1°，2°可得

②1°當(dāng)0lt;t≤2時，

2°當(dāng)2≤tlt;4時，

③存在.當(dāng)點Q在線段AB上運動時，要使得△PQA是直角三角形，必須使得∠PQA=90°，這時PA=2QA，即

4-t=2t，

說明該動點問題的解題思路是先利用二次函數(shù)描述動點的運動規(guī)律，然后再具體運算求解.

3 含參數(shù)問題

例3已知y2=4a(x-a)(agt;0)，且當(dāng)x≥a時，S=(x-3)2+y2的最小值為4，求參數(shù)a的值．

解將y2=4a(x-a)代入S的表達(dá)式中，得

S=(x-3)2+4a(x-a)=

x2-2(3-2a)x+9-4a2=

[x-(3-2a)]2+12a-8a2,

則S是關(guān)于x的二次函數(shù)，其定義域為xgt;a，對稱軸方程為x=3-2a，頂點坐標(biāo)為(3-2a,12a-8a2)，圖像開口向上．

若3-2a≥a，即0lt;a≤1,則當(dāng)x=3-2a時，

S最小=12a-8a2=4,

此時

若3-2alt;a，即agt;1,則當(dāng)x=a時，

S最小=[a-(3-2a)]2+12a-8a2=4,

此時

a=5或a=1(因agt;1,故a=1舍去).

說明函數(shù)中的參數(shù)問題一般是先對參數(shù)范圍進行分析，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)獲得等量關(guān)系進行求解．

4 圖形信息題

例4某公司推出了一種高效環(huán)保型除草劑，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程.圖2的二次函數(shù)圖形(部分)表示了該公司年初以來累積利潤S(萬元)與時間t(月)之間的關(guān)系(即前t個月的利潤總和S與t之間的關(guān)系).

根據(jù)圖形提供信息，解答下列問題：

(1)公司從第幾個月末開始扭虧為盈；

(2)累積利潤S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)求截止到何月末公司累積利潤可達(dá)30萬元；

(4)求第8個月公司所獲利是多少元？

圖2

解(1)由圖2可知公司從第4個月末以后開始扭虧為盈.

(2)由圖2可知頂點坐標(biāo)為(2,-2)，可設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為

y=a(t-2)2-2.

因為所求函數(shù)關(guān)系式的圖形過點(0,0)，所以

a(t-2)2-2=0,

解得

從而所求函數(shù)關(guān)系式為

即

t1=10，t2=-6(舍去),

因此截止到10月末公司累積利潤可達(dá)30萬元.

(4)把t=7代入關(guān)系式，得

把t=8代入關(guān)系式，得

因為

16-10.5=5.5.

所以第8個月公司所獲利是5.5萬元.

說明圖形信息題顧名思義是指圖形中蘊含著條件信息，一般通過圖形中已知的點坐標(biāo)，根據(jù)合適的二次函數(shù)表達(dá)式列出二次函數(shù)，從而使問題獲解．

5 代數(shù)推理題

證明因為f(-1)=a-b+c,

f(1)=a+b+c,f(0)=c,

所以

當(dāng)-1≤x≤0時，

-x2-x+1=

當(dāng)0≤x≤-1時，

-x2+x+1=

綜上所述，問題獲證.

6 探索性問題

圖3

(1)求點D的坐標(biāo).

(2)求經(jīng)過點O，B，D的拋物線解析式.

(3)判斷在第(2)小題中所得的拋物線上是否存在一點P，使得ΔDCP∽ΔOCD？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

解(1)連結(jié)AD，則AD⊥CD于點D,作DE⊥OA于點E．由點A的坐標(biāo)為(1，0)，且OC=2OA，可得AC=3，因此

于是

解得

因而

得

解得

故所求拋物線的解析式為

(3)設(shè)⊙A與x軸的另一個交點為F(2,0)，連結(jié)DF. 由CD切⊙A于點D，得

∠CDO=∠CFD.

又∠DCO=∠FCD，因此

△OCD∽△DCF.

說明二次函數(shù)探索性問題的解法并不唯一，重點是找到條件間的關(guān)系，對每一個已知條件進行分析利用．在探索性問題中比較常見的是存在性問題，這類問題的一般解法有2種，一是假設(shè)結(jié)論存在，若求出的結(jié)論符合已知條件，則結(jié)論存在；若求出結(jié)論不符合已知條件或與定理、公理等相矛盾，則結(jié)論不存在．二是像本題這樣，先找到特殊點(或特殊值)等，然后證明這些點或值就是解決問題所需要的.

[1] 梁麗平，安振平.二次函數(shù)綜合問題例談[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版),2006(1):2-6.

[2] 顧國璽.二次函數(shù)知識的綜合應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究(初中版),2011(2):18-20.