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(龍西路345號中301 江蘇蘇州 215128)

龍鳳曲線切線的幾個有趣性質(zhì)

●錢永康張斑竹

(龍西路345號中301 江蘇蘇州 215128)

定義我們把橢圓b2x2+a2y2=a2b2和a2x2-b2y2=a2b2(agt;bgt;0)稱為龍鳳曲線(如圖1)，前者稱為龍曲線，后者稱為鳳曲線.

本文介紹龍鳳曲線切線的幾個有趣的性質(zhì).

定理1已知龍鳳曲線，過定點(diǎn)M(m,0)的直線l1與橢圓交于點(diǎn)A,B，過點(diǎn)M的直線l2與雙曲線交于點(diǎn)C,D(如圖1)，過點(diǎn)A，B作龍曲線的2條切線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)C，D作鳳曲線的2條切線交于點(diǎn)Q，則PQ⊥x軸.

圖1

證明如圖1所示，設(shè)A(acosθ1,bsinθ1),B(acosθ2,bsinθ2)，則過點(diǎn)A,B的切線方程為

解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為

從而

由kAM=kBM得

化簡得

則

又設(shè)C(asecα1,btanα1),D(asecα2,btanα2),則過點(diǎn)C,D的鳳曲線的2條切線方程分別為

由kCM=kDM得

化簡得

則

因此xP=xQ,即PQ⊥x軸.

證法1設(shè)A(acosθ1,bsinθ1),B(acosθ2,bsinθ2),C(asecα1,btanα1),D(asecα2,btanα2),則

于是切點(diǎn)弦AB，CD的直線方程分別為

令y=0,代入上述2個方程得

由定理1的證明知

由此知

證法2設(shè)P(m,y0)，則AB，CD的直線方程分別為b2mx+a2y0y=a2b2和b2mx-a2y0y=a2b2.令y=0,得

定理3已知龍鳳曲線,定點(diǎn)M(m,0)和N(n,0)且mn=a2，過點(diǎn)M,N作直線l1⊥x軸，l2⊥x軸，l1上任取一點(diǎn)P，作鳳曲線的2條切線PA，PB，點(diǎn)A，B為切點(diǎn)，過l2上一點(diǎn)Q，作龍曲線的2條切線QC，QD，C，D為切點(diǎn)，則AB過點(diǎn)N，CD過點(diǎn)M.

圖2

證法1如圖2所示，設(shè)C(acosθ1,bsinθ1)，D(acosθ2,bsinθ1)，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

因?yàn)镼∈l2，且l2⊥x軸，所以xQ=n，即

又直線CD的方程為

令y=0得

與前式比較得

這正是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，說明CD過定點(diǎn)M(m,0).又設(shè)A(asecα1,btanα1)，B(asecα2,btanα2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

因?yàn)镻∈l1,且l1⊥x軸，所以xP=xM=m,則

而直線AB的方程為

令y=0得

證法2設(shè)P(m,y1),Q(n,y2)，則AB,CD的直線方程為b2mx-a2y1y=a2b2和b2nx+a2y2y=a2b2.令y=0得

因?yàn)閍2=mn,所以

xN=n,xM=m,

這說明AB過點(diǎn)N(n,0),CD過點(diǎn)M(m,0).

圖3

定理4已知龍鳳曲線,定點(diǎn)M(m,0),N(n,0)且mn=a2,過點(diǎn)M的直線l1⊥x軸與龍曲線交于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)N的直線l2⊥x軸與鳳曲線交于點(diǎn)C,D，則A，B處龍曲線的切線均過點(diǎn)N，且C,D處鳳曲線的2條切線均過點(diǎn)M.

證明設(shè)A(acosθ1,bsinθ1)，則點(diǎn)A處龍曲線的切線方程為

bxcosθ1+aysinθ1=ab,

令y=0得

xcosθ1=a.

又A∈l1,且l1⊥x軸，于是acosθ1=m,代入上式得

這正是點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，說明過點(diǎn)A的切線過點(diǎn)N.同理可得過點(diǎn)B的龍曲線的切線也過點(diǎn)N(n,0).

又設(shè)C(asecθ,tanθ)，則過點(diǎn)C的鳳曲線的切線方程為

bx-aysinθ=abcosθ，

令y=0得

x=acosθ.

因?yàn)镃∈l2，且l2⊥x軸，所以asecθ=n，代入上式得

這正是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，說明過點(diǎn)C的切線過點(diǎn)M(m,0).同理可知,過點(diǎn)D的切線也過點(diǎn)M.

定理5已知龍鳳曲線,定點(diǎn)M(m,0),N(n,0),且m·n=a2,龍曲線的長軸為AB，過點(diǎn)M,N的直線l1⊥x軸，l2⊥x軸，l1上一點(diǎn)P，連結(jié)PA，PB與鳳曲線交于點(diǎn)C，D，連結(jié)QA，QB與龍曲線交于點(diǎn)E,F，則CD過點(diǎn)N，EF過點(diǎn)M.

圖4

證明設(shè)A(-a,0),B(a,0)，E(acosθ1,bsinθ1)，F(xiàn)(acosθ2,bsinθ2)，Q(n,y0).由kAQ=kEQ和kBF=kQF,得

兩式相除得

由EF的直線方程為

令y=0得

這正是點(diǎn)M的橫坐標(biāo),說明EF過點(diǎn)M(m,0).

又設(shè)C(asecθ3,btanθ3)，D(asecθ4,btanθ4)，P(m,x0).由kCA=kPA,kDB=kPB得

兩式相除得

又CD的直線方程為

令y=0得

這正是點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，說明CD過點(diǎn)N(n,0).