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(舟山中學(xué) 浙江舟山 316000)

高考、自主招生、競賽試題的三維比較

●謝建偉

(舟山中學(xué) 浙江舟山 316000)

參照2011年高校自主招生數(shù)學(xué)筆試和2010年以來數(shù)學(xué)高考、全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽的試題情況(高考、自主招生、全國聯(lián)賽，本文簡稱為“三類考試”)，現(xiàn)從3個維度(長度、寬度、深度)作一比較與剖析.

1 試題長度

判別試題難度，筆者認(rèn)為有三看：一看問題本身;二看規(guī)定的“時間、題量、題型”;三看“考試在哪個時段進(jìn)行”.這其中隱藏著一個“長度”的概念.

1．1 約定長度

所謂的約定長度，指的是3類考試在試題結(jié)構(gòu)相對穩(wěn)定前提下的題型、題量和考試時間安排.

表1 3類考試的約定長度

由表1不難發(fā)現(xiàn)：

(1)2010年以來各地和各高校對各類考試的時間和題量的規(guī)定,呈現(xiàn)出大同小異之勢；

(2)高考三類題(選擇題、填空題、解答題)的壓軸題接近于解競賽題的能力要求.華約、北約自主招生筆試題,甚至某些省份高考的部分試題與全國聯(lián)賽一試試題及省級競賽試題的要求不相上下.

1．2 解題長度

雖然同樣熟門熟路的一些問題，但是卻因基本模式調(diào)用次數(shù)的不同或解題長度的不同，導(dǎo)致解題難度的變化.

例1在平面區(qū)域{(x,y)||x|≤1,|y|≤1}上恒有ax-2by≤2，則動點(diǎn)P(a,b)所形成平面區(qū)域的面積為

( )

A．4 B．8 C．16 D．32

(2011年全國數(shù)學(xué)競賽浙江省預(yù)選賽試題)

分析在區(qū)域{(x,y)||x|≤1,|y|≤1}上恒有ax-2by≤2,其關(guān)鍵是什么呢?

解注意到直線ax-2by=2呈現(xiàn)線性變化規(guī)律,平面區(qū)域{(x,y)||x|≤1,|y|≤1}是一個矩形，可知該區(qū)域的4個頂點(diǎn)(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)也應(yīng)滿足ax-2by≤2，得關(guān)于動點(diǎn)P(a,b)的約束條件為:a+2b≤2,a-2b≤2,-a-2b≤2,-a+2b≤2,由此計算出動點(diǎn)P(a,b)所形成平面區(qū)域的面積為4.故選A.

評注(1)與線性規(guī)劃相關(guān)的考題當(dāng)前比較熱門.這一類試題可以從數(shù)或形上加以突破；

(2)“三類考試”試題在各自命題意圖指導(dǎo)下,形成的解題長度方面的情況差別較大.

2 試題寬度

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動產(chǎn)生的輻射,會拓寬知識和思維的寬度.“三類考試”試題在這一點(diǎn)上也有所區(qū)別.

2．1 知識寬度

(2011年華約自主招生考試試題)

點(diǎn)評(1)高考試題對和差化積公式?jīng)]有記憶方面的要求;(2)與競賽試題比較,自主招生試題更注重于考查由基礎(chǔ)知識(如“三角和角公式”等)到較為復(fù)雜的結(jié)論(如“和差化積公式”)的輻射和應(yīng)用能力.

2．2 思維寬度

例3在單位圓O上任取3個點(diǎn)，求這3個點(diǎn)構(gòu)成銳角三角形的概率.

(2011年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試試題)

分析這樣的題目需要且必須分2步走：先取圓周上的2n個等分點(diǎn)，求三點(diǎn)構(gòu)成銳角三角形的概率；再對所得的結(jié)果求n趨向于無窮大時的極限.

圖1

故

評注(1)引入輔助等分點(diǎn),借助古典概型和極限思想,充分考查了學(xué)生的思維寬度;

(2)新課標(biāo)高考對極限部分不作要求.

3 試題深度

數(shù)學(xué)作為理科學(xué)習(xí)與研究的基礎(chǔ)知識,必然要求在學(xué)習(xí)中要不斷深化,并在應(yīng)用中加深認(rèn)識的深度.

3．1 認(rèn)識深度

例4擲n次硬幣，記不連續(xù)出現(xiàn)3次正面向上概率為Pn.

(1)求P1,P2,P3,P4；

(2)求{Pn}的遞推公式；

(2011年華約自主招生考試試題)

(3)與遞推數(shù)列{Pn}相應(yīng)的特征方程是

求導(dǎo)得

由式(1)，式(2)，式(3)得

(4)

由特征方程無重根,得

Pn=c1·αn+c2·βn+c3·γn，

0lt;Pn=|Pn|=|c1·αn+c2·βn+c3·γn|≤|c1|·|α|n+|c2|·|β|n+|c3|·|γ|n.

3．2 應(yīng)用深度

例5一個圓柱杯瓶底及壁厚度不計，質(zhì)量為a，重心在圓柱中軸線的中點(diǎn)上，向杯中倒入質(zhì)量為b的水，恰好倒?jié)M，此時杯和水整體的重心還在圓柱中軸線中點(diǎn)上.

(2)當(dāng)?shù)谷攵嗌儋|(zhì)量的水時，整體重心最低.

(2011年華約自主招生考試試題)

解將圓柱杯側(cè)過來看,不妨設(shè)杯高度為1.

因?yàn)閎=3a,代入得

圖2 圖3

(2)設(shè)倒入質(zhì)量為xb的水時,重心距杯底高度為y,0lt;x≤1,如圖3.與第(1)小題類似可得

得

令a+bx=t,alt;t≤a+b,則

評注(1)“將圓柱杯側(cè)過來看”有利于問題分析的直觀性；

(2)生活中的許多知識在本質(zhì)上也是數(shù)學(xué)問題,要把握其應(yīng)用深度;

(3)本題事實(shí)上已從數(shù)學(xué)角度證明了“題設(shè)情形下，當(dāng)且僅當(dāng)整體重心距杯底高度等于杯中水的高度(即整體重心恰好位于水面上)時,整體重心位置最低”.