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(學軍中學 浙江杭州 310012)

回歸基礎淡中見雋
——評析2011年新課程高考函數與導數試題

●鄭日鋒

(學軍中學 浙江杭州 310012)

1 試題概述

函數是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數學模型，其思想方法貫穿于高中數學課程的始終，是高中數學的主干知識.導數進入中學數學教材之后，給傳統(tǒng)的中學數學內容注入了生機與活力，為中學數學問題(如函數問題、不等式問題、解析幾何問題等)的研究提供了新視角、新方法、新途徑，拓寬了高考的命題空間.

2011年全國各地新課程高考數學試卷共13套25份，涉及函數與導數的題目中，理科客觀題有29道，解答題有12道；文科客觀題有35道，解答題有14道，分值占總分的20%左右.試題既考查了函數的基本性質、函數的零點問題、導數的幾何意義、導數在研究函數中的應用，又考查了函數、導數與其他內容的綜合，以及化歸思想、分類討論思想、數形結合思想及推理論證能力.

在2011年數學高考試卷中，涉及函數與導數部分的解答題除江蘇卷(文、理合卷)外，難度差異明顯.文科試題大多是由理科試題通過數值化、特殊化等問題改編而成，從而降低了對文科學生的考查要求.試卷正視文、理科學生在數學學習內容、學習要求、學習能力等方面的差異，準確定位各自的考查內容和目標.

2 命題特點和知識類型

2．1 命題特點

試卷充分考慮了解題方法的大眾化與常規(guī)化，不在冷僻的技巧上設置問題，努力貼近學生在通性通法上下功夫，試題中規(guī)中矩、不偏不怪.絕大多數題目材料背景熟悉、設問方式常規(guī)、解題方法基本、和平時教學匹配度高.在考基礎、考通性、考通法上體現得濃墨重彩、淋漓盡致.

在選擇題、填空題中考查函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、函數的圖像、導數的幾何意義、導數的簡單應用等.在解答題中,主要考查導數的綜合應用，如利用導數求函數的單調區(qū)間、求函數的極值、最值，及利用導數證明不等式等.

各份試題貼近基礎知識、基本技能、基本數學思想方法，不偏不怪，客觀題除個別省份較難外，其余省份都屬容易題、中檔題，解答題突出綜合性，呈現出“入手容易、階梯遞進、拾級而上”的特點，體現了“回歸基礎、淡中見雋”的特色.

2．2 考查的知識類型

2．2．1 函數的定義域、值域

( )

A．(-∞,-1) B．(1，+∞)

C．(-1,1)∪(1,+∞) D．(-∞,+∞)

(2011年廣東省數學高考文科試題)

xgt;-1且x≠1.

故選C.

例2已知函數f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),則b的取值范圍為

( )

C．[1,3] D．(1，3)

(2011年湖南省數學高考文科試題)

解由g(b)屬于f(x)的值域，得

-b2+4b-3gt;-1，

解得

故選B.

2．2．2 函數的零點

( )

(2011年天津市數學高考理科試題)

2．2．3 函數的圖像

( )

A. B.

C. D.

(2011年山東省數學高考文、理科試題)

2．2．4 函數的性質

例5設函數f(x)和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是

( )

A．f(x)+|g(x)|是偶函數

B．f(x)-|g(x)|是奇函數

C．|f(x)|+g(x)是偶函數

D．|f(x)|-g(x)是奇函數

(2011年廣東省數學高考理科試題)

分析由f(x)是偶函數、g(x)是奇函數，得|f(x)|和|g(x)|都是偶函數，因此f(x)+|g(x)|與f(x)-|g(x)|都是偶函數，而|f(x)|+g(x)與|f(x)|-g(x)的奇偶性不能確定.故選A.

2．2．5 抽象函數

例6設g(x)是定義在R上以1為周期的函數，若函數f(x)=x-g(x)在區(qū)間[3,4]上的值域為[-2,5]，則f(x)在區(qū)間[-10,10]上的值域為________．

(2011年上海市數學高考理科試題)

解由g(x+1)=g(x)得，將f(x)在[3,4]上的圖像先向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到f(x)在[4,5]上的圖像，依次類推，將f(x)在[3,4]上的圖像先向左平移1個單位，再向下平移1個單位得到f(x)在[2,3]上的圖像，依次類推，可得f(x)在區(qū)間[-10,10]上的值域為[-15,11].

2．2．6 分段函數

( )

A．[-1，2] B．[0，2]

C．[1，+∞) D．[0，+∞)

(2011年遼寧省數學高考理科試題)

解由條件可得

解得x≥0.故選D．

2．2．7 函數的最值

例8設直線x=t與函數f(x)=x2,g(x)=lnx的圖像分別交于點M,N，則當|MN|達到最小時t的值為

( )

(2011年湖南省數學高考理科試題)

解由題意知|MN|=x2-lnx(xgt;0)，不妨令h(x)=x2-lnx，則

令h′(x)=0,解得

2．2．8 導數的幾何意義

例9曲線y=ex在點A(0,1)處的切線斜率為

( )

(2011年江西省數學高考文科試題)

分析y′=ex,x=0,e0=1,故選A．

2．2．9 函數與導數的綜合問題

(1)求函數h(x)=f(x)-g(x)的零點個數，并說明理由；

(2)設數列{an}(n∈N*)滿足a1=a(agt;0)，f(an+1)=g(an)，證明：存在常數M,使得對于任意的n∈N*，都有an≤M.

(2011年湖南省數學高考理科試題)

分析(1)由觀察法與二分法思想得x=0為h(x)的一個零點，且h(x)在(1,2)內有零點，再通過研究h(x)的單調性，得h(x)有且只有2個零點．

(2)設h(x)的正零點為x0，分2種情況:①當alt;x0時，歸納并證明a0lt;x0(任意n∈N*)；②當a≥x0時,同樣歸納并證明an≤a(任意n∈N*)．

綜上所述，存在常數M=max{x0,a}，使得對于任意的n∈N*，都有an≤M.

本題是函數、導數與數列的綜合問題，綜合程度較高，需要考生有較強的數學素養(yǎng)和功底．

3 亮點掃描

2011年各地數學高考試題充分體現了在穩(wěn)定中尋求變化、在變化中追求創(chuàng)新的思想．

3．1 解法多樣——巧法與通法相得益彰

例11設函數f(x)=(x-a)2lnx,a∈R.

(1)若x=e為y=f(x)的極值點，求實數a；

(2)求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立.

(2011年浙江省數學高考理科試題)

分析第(1)小題比較容易解決.由f′(e)=0，可求得a=e或a=3e.再檢驗．第(2)小題是通常的含參數不等式恒成立求參數范圍問題，注意到當x∈(0,1]時不等式恒成立，因而等價于當x∈(1,3e]時，不等式(x-a)2lnx≤4e2恒成立．

思路1(命題者提供的解答)先特殊化，由f(3e)≤4e2，得實數a的取值范圍為

再求f(x)的最大值，為此研究f(x)的單調性，而又需構造輔助函數，通過估計零點，從而解決問題，但解題過程曲折繁冗．

本題主要考查函數極值的概念、導數運算法則、導數應用、不等式等基礎知識，同時考查推理論證能力和分析、解決問題的能力.3種解法的共性是都利用了化歸思想與函數思想，但轉化的手段迥異，思路1直接轉化為求f(x)的最大值，思路2則通過變形(參數分離)轉化為求2個易求最值的函數的最值，思路3則通過恰當變形轉化為2個圖像的關系.很多省份的導數壓軸題都有不同的解法，旨在考查不同思維層次的考生的不同思維水平，使試卷具有較高的區(qū)分度.

3．2 數學建?！蔑@函數應用

圖1

(1)寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域；

(2)求該容器的建造費用最小時的r.

(2011年山東省數學高考理科試題)

解(1)根據圓柱與球的表面積、體積公式，可得

本題是實際生活中的優(yōu)化問題.試題貼近學生的生活實際，旨在考查學生從實際問題中抽象出函數模型及利用導數解決問題的能力，反映了數學在實際生活中的應用，激發(fā)了學生學以致用的求知欲和成就感.

3．3 知識交匯——凸顯綜合能力

例13已知點A(0，2)，B(2，0)，若點C在函數y=x2的圖像上，則使得△ABC的面積為2的點C的個數為

( )

A.4 B.3 C.2 D.1

(2011年上海市數學高考理科試題)

而此方程有4個實數根.故選A.

導數的應用十分廣泛，它不僅可以解決函數問題，還可以與數列、不等式、三角函數、解析幾何、立體幾何綜合.例如江西省數學高考文科試題第18題是導數與立體幾何的綜合，湖南省數學高考理科試題第22題、福建省數學高考理科試題第10題是導數與數列的綜合.

3．4 立意高遠——甄別選拔功能

例14設f(x),g(x),h(x)是R上的任意實值函數，如下定義2個函數(fog)(x)和(fgg)(x)：對任意x∈R，(fog)(x)=f(g(x))；(fgg)(x)=f(x)g(x)，則下列等式恒成立的是

( )

A．((fog)gh)(x)=((fgh)o(ggh))(x)

B．((fgg)oh)(x)=((foh)g(goh))(x)

C．((fog)oh)(x)=((fog)o(goh)(x)

D．((fgg)gh)(x)=((fgg)g(ggh)(x)

(2011年廣東省數學高考文科試題)

分析對選項B，

((fgg)oh)(x)=(fgg)(h(x))=

f(h(x))g(h(x))，

((foh)g(goh))(x)=(foh)(x)(goh)(x)=

f(h(x))g(h(x)).

故選B.

例15已知函數f(x)=ex+x，對于曲線y=f(x)上橫坐標成等差數列的3個點A,B,C，給出以下判斷：①△ABC一定是鈍角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形，其中正確的判斷是

( )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

(2011年福建省數學高考理科試題)

畫出圖像，可得△ABC一定是鈍角三角形，不可能是等腰三角形.故選B.

例14是高等數學背景下的閱讀理解題，類似的閱讀理解題還有浙江省數學高考理科試題第10題、江蘇省數學高考試題第19題.例15是函數凹凸性的簡單性質.許多函數與導數試題立意高遠、內涵豐富，強化了數學素養(yǎng)和能力的考查.

4 復習對策

4．1 理解數學的本質

在平時的教學中，要立足于教材，重視教材的使用.雙基的落實是在一點一滴的潛移默化之中的，要精選習題、注重通性通法、突出思維能力和運算能力，及時引申拓展、培養(yǎng)歸納能力.

函數的定義域、值域、函數的基本性質、圖像問題應熟悉其基本知識及基本策略和基本數學思想方法.在復習時，將這些基本知識、基本方法聯系起來，完善認知結構，達到舉一反三、融會貫通的效果.

函數的零點問題是高考考查的熱點.解決這類問題的關鍵是通過合理的變形轉化為一個方程的實數根的問題，然后借助于二分法和數形結合思想，或一元二次方程實根的分布解決問題，體現了解決函數問題的基本思想.

利用導數可以解決函數中的三大問題：求函數的單調區(qū)間、求函數的極值、求函數的最值.其他問題如不等式證明、含參不等式有解、含參不等式恒成立等問題也是高考考查的熱點，解決這些問題需要構造恰當的輔助函數，轉化為三大問題.

只有加強數學知識內在的聯系，抓住數學的本質，突出概念的理解和運用，突出思維能力的培養(yǎng)，才能真正提高學生的數學素質.教學中應做到“三性”，即對知識理解的深刻性、掌握的全面性、運用的靈活性，以使學生形成綜合性的知識體系.

4.2 培養(yǎng)探究能力

只有在課堂上適度地讓學生探究，才能讓學生適應高考的新問題.導數問題在很多省份的高考試卷中處于壓軸題的位置，需要考生在新的情景中靈活運用知識、方法解決問題，對學生的數學能力和數學素質提出了很高的要求.這昭示我們：高三數學復習應注意培養(yǎng)學生對問題分析的態(tài)度及探究的目光，從人的可持續(xù)發(fā)展所需要的能力來看，這是十分必要的.在教學中,引入條件或結論具有開放性的問題和某些從實際生活中提出的自己尋求答案的問題，或者對課堂上的某些問題適當加以延伸、推廣等，并引導學生加以解決，這會使課堂教學充滿生機和活力，有利于學生思維能力得到提升.