嚴冬明,王斌銳,金英連

(中國計量學院機電工程學院,浙江杭州310018)

與人協(xié)作機器人是仿人機器人研究的熱點.機器人之間的各個桿件,及機器人與人發(fā)生肢體碰撞是研究的難點.劉才山等將系統(tǒng)的動力學方程與并協(xié)性約束方程相結合,建立了多點碰撞多剛體系統(tǒng)的碰撞動力學模型[1].劉錦陽等考慮撞擊點處的局部變形,基于Hertz撞擊模型建立了衛(wèi)星—太陽帆板柔性系統(tǒng)接觸碰撞的動力學模型[2].彼得·艾伯哈特,胡斌以及李敏等通過剛性小球和桿的縱向低速撞擊實驗驗證了Hertz理論模型的正確性[3,4].Pennestri等建立了自由運動的人體手臂的三維動力學模型,并針對肘關節(jié)定義了新的運動副[5].Tran Minh Tuan等對已有的仿人機器人肢體運動數(shù)據(jù)庫進行驗證,表明應用運動元運動模型可以有效完成人體基本運動動作[6].Park Jung-Jun等設計了非線性彈簧-曲柄滑塊機構的關節(jié)裝置,保證位置精度的同時,更好地完成與人的協(xié)作[7-8].由于被動緩沖局限性大,主動緩沖是研究方向,為此需研究系統(tǒng)運動及機構參數(shù)對碰撞的影響.已有碰撞理論研究針對理想球-桿碰撞,對典型的碰撞-擊掌動作的仿人性,及機構參數(shù)對碰撞沖擊的影響研究可參考文獻少.

本文研究機器人肢體碰撞中動作仿人性及參數(shù)對碰撞力的影響及實時仿真平臺.首先建立仿人機器人上肢機構[9,10];利用雅克比矩陣建立速度運動學模型;采用拉格朗日能量函數(shù)法建立動力學模型;采用非線性等效彈簧阻尼模型建立接觸碰撞模型.而后利用 ADAMS軟件建立虛擬樣機,進行運動學和動力學仿真及動作仿人性分析;針對雙手擊掌,進行不同剛度下碰撞仿真,分析剛度對碰撞的影響;最后給出了結論.

1 仿人機器人上肢體建模

1.1 上肢體運動學模型

仿人機器人的機構尺寸參照成年人體比例,建模為由大臂、小臂和手組成的三連桿模型.肩關節(jié)可前屈/后伸、外展/內(nèi)收及內(nèi)/外旋運動,肘關節(jié)可前屈/后伸運動,腕關節(jié)可內(nèi)/外旋運動,共5個自由度.本文建立的仿人機器人上肢體各關節(jié)作業(yè)空間(相對角度)如表1.

表1 上肢體關節(jié)的作業(yè)空間Table 1 Rotation range of each joint

本文利用ADAMS,以機器人雙手擊掌動作為例進行建模.仿人機器人虛擬樣機如圖1.

圖1 機器人上肢虛擬樣機Figure 1 Virtual prototype of the humanoid robot upper limbs

機器人與基座之間添加固定副;上臂和軀干之間添加球副;大臂和小臂之間的肘關節(jié)以及小臂與手部之間腕關節(jié)用旋轉(zhuǎn)副連接[11].模型中左右臂同構,所以數(shù)學模型相同.

定義仿人機器人的關節(jié)變量陣為

式(1)中:qi為廣義坐標,單位:(°).

根據(jù)相鄰臂齊次坐標變換連乘,可定義機器人手在基坐標系中的位姿為

式(2)中:p1-p3表示位置,單位:mm;p4-p6表示姿態(tài),單位:(°),都是廣義坐標的函數(shù),Φ為位姿變換函數(shù).

式(3)中,J為雅克比矩陣.

1.2 上肢體動力學模型

拉格朗日能量函數(shù)法可以相對簡單的方式求解出機器人比較復雜的動力學模型.仿人機器人的拉格朗日方程為

式(4)中:L=U-V,單位:J;U、V分別為上肢體總動能和總勢能;τj為關節(jié)i的廣義力,單位:N.仿人機器人上肢體的勢能為

式(5)中:g為重力加速度矢量,mi為連桿i的質(zhì)量,kg;pci為連桿i質(zhì)心坐標矢量.

仿人機器人上肢體的動能為

式(6)中:vci為連桿i質(zhì)心的平移速度矢量,Ici為連桿i質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動慣量矢量,ωi為連桿i的轉(zhuǎn)動速度矢量.

把式(3),(5),(6)代入式(4)求導并寫成矩陣形式,可得機器人動力學方程為

1.3 接觸碰撞動力學模型

忽略碰撞點的滑動(切向位移),本文采用接觸變形建立接觸碰撞動力學方程,利用廣義非線性等效彈簧阻尼模型來建立碰撞過程中力和接觸變形的本構方程

式(8)中:F為法向接觸力,單位:N;k為剛度系數(shù),單位:N·m-1;c為阻尼因子,是接觸處幾何形狀、材料特性、變形量和變形速度的非線性函數(shù);δ為接觸面的法向變形量,單位:mm;e為不小于1的指數(shù).

在接觸碰撞階段,肢體從自由運動狀態(tài)到接觸變形狀態(tài),產(chǎn)生了運動約束,機構拓撲結構發(fā)生變化.本文用約束力來等效運動約束,可將變拓撲結構系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為帶約束力的無拓撲結構變化系統(tǒng)來處理,所建立的接觸碰撞階段動力學模型為

式(9)中:FI為法向接觸力F相對于廣義坐標q的廣義力陣;K為關節(jié)剛度陣;Φ(q,t)為接觸運動約束;λ為拉氏乘子.

本文采用接觸變形模型建立的動力學方程,仿人機器人上肢體自由度與碰撞狀態(tài)無關.

2 虛擬樣機仿真平臺

本文所建肢體模型的基本參數(shù)如表2.

表2 機器人肢體模型的基本參數(shù)Table 2 Parameters of the humanoid robot upper limbs

仿真條件:在ADAMS/Solvers模塊中設定仿真/時間 1 s,采樣頻率 200 Hz,計算精度為0.000 1.材料選用的是鋼材,密度是 7.8×103kg·m-3,楊氏模量是206 GPa.在仿真過程中,忽略摩擦,機器人只受重力和關節(jié)驅(qū)動力,積分時間步長足夠小,通過對動力學參數(shù)和積分器參數(shù)的設置,提高求解的穩(wěn)定性,以保證接觸力求解值的收斂.

2.1 運動仿真與分析

將機器人關節(jié)相對角度隨時間的變化作為輸入[13].為實現(xiàn)機器人運動的仿人,本文軌跡規(guī)劃方法為:通過高速攝像機和人體運動分析軟件,獲得人體雙手擊掌動作過程中各個關節(jié)的角度曲線;而后用樣條曲線來對數(shù)據(jù)建模.設計0.8 s時雙手接觸.

各個關節(jié)相對角度變化曲線,如圖2.

由圖2可見,擊掌動作是上肢體各關節(jié)的復合運動;肩關節(jié)的運動最復雜;肘關節(jié)的運動量最大;肩、肘關節(jié)是人體上肢的主要關節(jié).

上肢體速度,如圖3.

由圖3可見,仿人運動過程中,各個關節(jié)都先是加速運動,而后是減速運動,速度曲線是平滑的,符合緩沖需求.小臂和手運動范圍較大,速度較快.三個臂的X軸向的速度峰值都先于Y軸,分析原因為:X軸向運動距離大于Y軸.小臂和手的速度峰值都先于大臂,分析原因為:越靠近碰撞點的肢體,速度峰值越早出現(xiàn),以便于后續(xù)的碰撞緩沖.仿人運動關節(jié)角度曲線基本符合正弦曲線形態(tài).

圖2 上肢體擊掌動作中關節(jié)角度曲線Figure 2 Angle curves of joints during handclap

2.2 動力學仿真與分析

通過運動學仿真,可采用ADAMS/VIEW中的測量得到關節(jié)運動所需驅(qū)動力矩.在建立模型時,各桿件是通過旋轉(zhuǎn)副連接的,所以軟件中對模型進行測量的時候,選取旋轉(zhuǎn)副上的力矩值作為測量值.本文將測得的驅(qū)動力矩數(shù)據(jù)輸入spline函數(shù)中,并用CUBSPL函數(shù)將力矩施加到驅(qū)動器上,實現(xiàn)仿人擊掌動作動力學仿真.各關節(jié)所需驅(qū)動力矩,如圖4.

圖3 關節(jié)笛卡爾空間速度曲線Figure 3 Velocity curves of all parts

由圖4可見,肩關節(jié)的驅(qū)動力矩最大;肩關節(jié)前屈/后伸和外展/內(nèi)收驅(qū)動力矩大于內(nèi)/外旋力矩;肘關節(jié)的驅(qū)動力比較大;腕關節(jié)的驅(qū)動力矩比較小.0～0.6 s是加速驅(qū)動階段;在0.6 s左右,關節(jié)力矩開始為擊掌緩沖而變化.擊掌前的緩沖過程為:肩、肘關節(jié)驅(qū)動力矩逐漸減小,腕關節(jié)驅(qū)動力矩逐漸變大,但三個關節(jié)驅(qū)動力矩絕對值的大小關系不變.值得注意的是,距離碰撞點最遠的肩關節(jié)驅(qū)動力矩下降為負值,分析原因為:肩關節(jié)和肘關節(jié)的驅(qū)動力矩方向不同,便于更大范圍、更快速實現(xiàn)碰撞點速度調(diào)節(jié);同時肩關節(jié)反向力矩使得雙手碰撞后快速反向運動離開.

圖4 各關節(jié)驅(qū)動力矩Figure 4 Torque of joints during handclap

2.3 碰撞仿真與分析

在ADAMS中,采用IMPACT函數(shù)來實現(xiàn)上述接觸力模型.機器人手臂材料采用鋼材,當接觸力沒有超過極限值時,接觸可近似定義為剛性碰撞形式.本文在ADAMS中定義雙手之間的接觸類型為contact,定義k為3.86×108N·m-1,e為1.1,c為10,接觸面的法向變形量δ的最大變形值為0.01 mm.

定義法向接觸力F作用在各個關節(jié)處的力矩為碰撞力矩,可通過雅克比矩陣與F的相乘得到.其變化曲線,如圖 5.

圖5 擊掌碰撞力矩影響變化曲線Figure 5 Experimental results during dynamic handclap

圖6 肘關節(jié)碰撞力矩局部放大Figure 6 Various stiffness experiments during handclap

從圖5可見,在擊掌碰撞下,肘關節(jié)受到的力矩影響最為明顯;肩關節(jié)受到的力矩為零(由于肩關節(jié)轉(zhuǎn)動中心軸線與接觸面法線相交);腕關節(jié)受到的力矩并不是最大.由于碰撞變形(即接觸面的法向變形)需要一定時間,所以各關節(jié)所受碰撞力矩的最大響應出現(xiàn)在兩桿接觸后約0.17 s時.兩桿接觸時是指兩桿的中心軸線間的距離等于兩桿的半徑之和時.由于采用了廣義非線性等效彈簧阻尼接觸力模型,各關節(jié)碰撞力矩達到峰值后,在被動緩沖下,各關節(jié)所受的力矩迅速下降.

碰撞緩沖后,腕關節(jié)所受的力矩大于肘關節(jié).當擊掌動作完成后,受到接觸力作用,上肢體間存在著相互離開的運動.由于手離碰撞點距離最近,在完成了擊掌動作后以及下一次再擊掌,腕關節(jié)帶動手運動范圍較大,所以腕關節(jié)上力矩較大.

利用ADAMS的參數(shù)化設計功能,將IMPACT函數(shù)中剛度系數(shù)k定義為一個設計變量,取值范圍為3.0×108N ·m-1～4.5×108N ·m-1,在其變化區(qū)間內(nèi)均勻地取指定的幾個值.運行一次ADAMS中的設計研究(Design Study),步長為0.375×108N·m-1.在不同的接觸剛度下,肘關節(jié)受到碰撞力矩和接觸剛度值之間的關系,如圖6.

由圖6可見,接觸剛度值越大,碰撞力矩越大,剛度系數(shù)與力矩最大值之間的函數(shù)關系基本表現(xiàn)為線性關系.實驗發(fā)現(xiàn),不同接觸剛度下,肘關節(jié)受到的力矩都最明顯.

3 結 語

碰撞是時變的動態(tài)過程,時間短,計算復雜.通過本文的建模和仿真分析,可得:

1)建立的仿人機器人肢體碰撞實驗平臺可方便實現(xiàn)仿人運動軌跡和碰撞參數(shù)的測量,為關節(jié)驅(qū)動器的設計和選型提供基礎;

2)在擊掌碰撞前,各關節(jié)的角速度都是先增速后減速,基本呈現(xiàn)出正弦曲線形態(tài),所以機器人關節(jié)速度的仿人運動規(guī)劃可采用正弦插值法,且峰值的相位關系是動作擬人化的關鍵;

3)在擊掌碰撞中,肘關節(jié)所受碰撞力矩最大;被動緩沖后(到兩手臂分離前),腕關節(jié)所受的碰撞力矩最大;

4)碰撞參數(shù)對碰撞有重要影響,尤其是剛度系數(shù),基本與接觸力和碰撞力矩成線性正比關系.

本文仿真方法所得機器人動作仿人性好.利用虛擬樣機仿真平臺可研究碰撞,且成本低.下一步將柔性體引入肢體,同時添加柔性關節(jié),研究接觸力和柔性體模態(tài)之間的關系.

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