方建衛(wèi)

(西南大學育才學院 理工學院，重慶 401524)

數(shù)學建模最優(yōu)化理論探討*

方建衛(wèi)

(西南大學育才學院 理工學院，重慶 401524)

結合2011年“高教杯”全國大學生數(shù)學建模競賽題目A，分析了數(shù)學建模的理論思想，提出了數(shù)學建模的本質特點實際就是一種最優(yōu)化的思想。并且通過該比賽題目探討了用最優(yōu)化的理論求解數(shù)學模型的方法。

數(shù)學建模;最優(yōu)化理論;重金屬污染空間分布;單因素模型;模糊神經(jīng)網(wǎng)絡

從大學數(shù)學到現(xiàn)代數(shù)學，廣泛應用于各行各業(yè)無論是從純數(shù)學本身的理論，還是從應用數(shù)學的相關課題，每一個數(shù)學概念的產(chǎn)生都有著很強的實際背景，都是從實際問題中抽象出一般的理論，又用成熟的理論去指導實踐，解決實際問題，所以數(shù)學概念的產(chǎn)生是確確實實地從實際中來又到實際中去的辨證思想的體現(xiàn)。本文結合2011年“高教杯”全國大學生數(shù)學建模競賽題目A，分析了數(shù)學建模的理論思想，提出了數(shù)學建模的本質特點就是一種最優(yōu)化思想。通過matlab5.3，excel軟件和修正shepherd插值法擬合出城區(qū)的空間分布。數(shù)學與信息、計算機技術結合，使得實際問題得到更好更方便的解決。

一、數(shù)學建模是數(shù)學應用的一種體現(xiàn)

人們常對實際事物建立種種數(shù)學模型，以期通過對該模型的考察來描述、解釋、預計或分析出與實際事物相關的規(guī)律。數(shù)學模型(Mathematical Mode1)也是一種模擬，是用數(shù)學符號、數(shù)學式子、程序、圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。數(shù)學建模就是用數(shù)學語言描述實際現(xiàn)象的過程。因為對于同一個問題可建立不同的實際模型，可得到不同的“最優(yōu)解”，所以數(shù)學建模沒有最好，只有更好，關鍵看建立模型的獨特之處。綜合起來講，數(shù)學建模的過程可以概括為如下的流程:觀察實際問題——提出假設——建模——求解——檢驗——修改或應用。實際問題經(jīng)常是十分復雜的，既存在著必然的因果關系也存在某些偶然的因果關系，這就需要我們從錯綜復雜的現(xiàn)象中找出主要因素，略去次要因素，確定變量的取舍并找出變量間的內在聯(lián)系。學習數(shù)學建模和參與建模實踐，實際上是一個綜合能力、綜合素質的培養(yǎng)和提高的過程。

二、數(shù)學模型到最優(yōu)化理論

2011年“高教杯”全國大學生數(shù)學建模競賽題目A:隨著城市經(jīng)濟的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環(huán)境質量的影響日顯突出。對城市土壤地質環(huán)境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質量評價，研究人類活動影響下城市地質環(huán)境的演變模式，日益成為人們關注的焦點。

按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、……、5類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動影響的程度不同。

現(xiàn)對某城市城區(qū)土壤地質環(huán)境進行調查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個采樣點對表層土(0～10厘米深度)進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業(yè)活動的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。

所給數(shù)據(jù)有采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度，8種主要重金屬元素的背景值。

建模要求:給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，分析該城區(qū)內不同區(qū)域重金屬的污染程度。

模型采用:根據(jù)題目給出取樣點的位置及其所屬的功能區(qū)，八種主要重金屬元素在各個功能區(qū)的濃度，通過matlab5.3數(shù)學軟件和修正shepherd插值法擬合出城區(qū)的空間分布，并運用excel軟件分析，計算出各個重金屬元素的平均值和標準偏差，然后將處理得到的數(shù)據(jù)和跟背景值的數(shù)據(jù)進行對比分析，最終得出不同地域重金屬的污染程度。

圖1 As元素在該城區(qū)分布等高線及散點圖

要求八種重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，運用matlab5.3作散亂節(jié)點的插值計算，用帶有e01sef和e01sff兩種函數(shù)的修正shephard法插值擬合出該八種元素在該城區(qū)的空間分布，空間分布圖(以As元素為例):

圖2 As元素在該區(qū)分布地形圖

先由數(shù)據(jù)擬合發(fā)現(xiàn)每種重金屬元素都近似服從正態(tài)分布，因此建立正態(tài)分布模型:

i代表五個功能區(qū)(i=1，2，……，5分別代表生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)、公園綠地區(qū));j代表八種重金屬元素(j=1，2……，8 分別代表 As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn元素);k第k個樣本的濃度;所有樣本的總量;ni第i個功能區(qū)的樣本總量;xjk第j種金屬元素第k個樣本點的濃度;μij第i個功能區(qū)的第j個元素含量平均值;σij第i個功能區(qū)的第j個元素含量的標準差;xijk第i個功能區(qū)第j種金屬元素第k個樣本點的濃度 ;cνj第j種金屬元素的變異系數(shù);ρij第i個功能區(qū)第j種金屬元素的污染指標。

模型的優(yōu)點:針對于其重金屬元素成正態(tài)分布模型，采用單因素法對其進行評價，提高了模型的精確性。模型的缺點:模型較為單一，缺少對照模型。而且擬合的數(shù)據(jù)亦缺少精確性比較。

若采用神經(jīng)網(wǎng)絡模型可根據(jù)土壤金屬污染評價的需要以及模糊機理和人工神經(jīng)網(wǎng)絡的特點，構建了如下圖所示的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡的結構及兩個主要的功能模塊:模糊化模塊和人工神經(jīng)學習推理模塊。

這個數(shù)學模型亦很好解決不同地區(qū)重金屬污染程度的情況。總之，數(shù)學建模與最優(yōu)化理論之間是相輔相成的，數(shù)學模型來源于生活和實踐，而實踐中的問題總是層出不窮的，建立的模型也可能會越來越龐大復雜，任何一個模型的建立，都會使最優(yōu)化模型的求解越來越優(yōu)，會給實際問題帶來突破性的進展。故有了解問題的起源和實際背景，了解這一理論發(fā)展的迂回曲折、螺旋式的前進，才會更深刻地領悟到一種理論的思想本質，領悟到它的精髓，慨嘆它的美妙!

［1］楊啟帆.數(shù)學建模［M］.杭州:浙江大學出版社，2005.

［2］胡運紅.非線性最優(yōu)化問題及其算法研究［J］.運城高等專科學校學報，2003，(6).

［3］中國環(huán)境監(jiān)測總站.中國土壤元素背景值［M］.北京:中國環(huán)境科學出版社，1990.87.

［4］方鳳滿，王起超，李東俠，等.長春市大氣顆粒污染特征及影響因子分析［J］.環(huán)境科學學報，2001，(3).

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2011－06－20