洪云飛

(長江大學(xué)期刊社；長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

呂一兵

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

一類非線性二層規(guī)劃問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法

洪云飛

(長江大學(xué)期刊社；長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

呂一兵

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

研究了下層為凸規(guī)劃的一類非線性二層規(guī)劃問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。在下層問題為凸規(guī)劃的情況下,將下層問題用其K-T最優(yōu)性條件代替，從而把原二層規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單層非線性規(guī)劃；構(gòu)造該單層規(guī)劃的罰函數(shù)，提出求解該類規(guī)劃問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。數(shù)值試驗結(jié)果表明該方法是可行和有效的。

非線性二層規(guī)劃；罰函數(shù)；K-T最優(yōu)性條件；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

在對多層規(guī)劃的研究中，二層規(guī)劃是一個重要的研究對象。二層規(guī)劃研究的是具有2個層次系統(tǒng)的規(guī)劃與管理問題，上層決策者只是通過自己的決策去指導(dǎo)下層決策者，并不直接干涉下層的決策；而下層決策者只需要把上層的決策作為參數(shù)，它可以在自己的可能范圍內(nèi)自由決策。二層規(guī)劃的基本形式為：

式中，x、y分別稱為上下層變量；F、f分別稱為上下層目標(biāo)函數(shù)；g、G分別稱為上下層約束函數(shù)。當(dāng)F、f、G、g全為線性函數(shù), 則稱為線性二層規(guī)劃；否則稱為非線性二層規(guī)劃。

一般來說，求解二層規(guī)劃問題是非常困難的，文獻[1]指出線性二層規(guī)劃是一個Np-hard問題，文獻[2-4]對此結(jié)論給出了證明。對于一般的非線性二層規(guī)劃問題, 文獻[5-6]提出了基于下層問題的K-T最優(yōu)性條件的求解方法。下面筆者主要研究F、f、G、g連續(xù)可微且f、G關(guān)于變量y是凸函數(shù)的一類非線性二層規(guī)劃問題：鑒于文獻[5-6]中的方法，將下層問題用其K-T最優(yōu)性條件代替，從而將原二層規(guī)劃化為單層非線性規(guī)劃, 構(gòu)造該單層規(guī)劃的罰函數(shù)，進而提出求解該類規(guī)劃問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。

1 非線性二層規(guī)劃問題的轉(zhuǎn)化

考慮如下線性約束的非線性二層規(guī)劃問題：

其中，x∈Rn，y∈Rm，F(xiàn):Rn×m→R1，f:Rn×m→R1，P∈R(n+m)×(n+m)，c∈Rn，d∈Rm，Q∈Rm×m，D∈Rm×n，b∈Rm，A∈Rq×n，B∈Rq×m，r∈Rq。

定義1對于線性二層規(guī)劃問題，稱集合：

S={(x,y)|Ax+By-r≤0,x≥0,y≥0}

為其約束域。

對于固定的x，當(dāng)下層問題滿足Slater條件，由凸規(guī)劃的最優(yōu)性理論可知，下層規(guī)劃問題可以轉(zhuǎn)化等價如下Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件穩(wěn)定點問題：

Qy+Dx+b+λTB=0λT(Ax+By-r)=0λ≥0Ax+By-r≤0

(2)

式中，λ=(λ1,…,λq)T是廣義拉格朗日乘子。用式(2)替換式(1)中的下層問題得：

記h(x,y,λ)=(Qy+Dx+b+λTB,λT(Ax+By-r))T，則問題(3)可簡寫為下格式：

2 非線性二層規(guī)劃問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

定義2問題(4)的罰函數(shù)[7]定義為：

(5)

由此問題(4)可以對應(yīng)轉(zhuǎn)化為如下罰函數(shù)優(yōu)化問題：

記X=(x,y,λ)T，由式(5)則可定義其能量函數(shù)[7,8]為：

(6)

根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論，將優(yōu)化設(shè)計變量與神經(jīng)元輸出相對應(yīng)，構(gòu)造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性微分方程(動力系統(tǒng))為：

(7)

由式(6)和式(7)可得到能量函數(shù)隨時間的變化率為：

(8)

因此，式(7)可以具體化為：

(9)

定理1若X*是網(wǎng)絡(luò)動力系統(tǒng)(7)或(9)在罰因子M下的平衡點，對于X≠0有E(X)≠0，則X*是網(wǎng)絡(luò)動力系統(tǒng)(7)或(9)的穩(wěn)定點，且為罰函數(shù)優(yōu)化問題的局部最優(yōu)點。若X*是罰函數(shù)優(yōu)化問題的一個最優(yōu)解，則X*是網(wǎng)絡(luò)動力系統(tǒng)(7) 或(9)的在罰參數(shù)M下的平衡點。

定理1前一部分由式(8)可知是成立的，后一部分顯然成立。

3 數(shù)值試驗

考慮其理論最優(yōu)解為如下的非線性二層規(guī)劃問題:

使用定步長四階龍格庫塔法求解上述問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)方程(9)。選取初值為(x,y,λ1,λ2,λ3)=(5，5，1，1，1)，罰因子M=10000，步長為10-5，得到圖1。

圖1 x、y、λ隨時間的變化曲線

從圖1中可以看到曲線最終都達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，由該方法得到最終的計算結(jié)果為(x,y,λ1,λ2,λ3)=(5.104，1.891，0.000，-0.000，5.870)，所以用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法求得的優(yōu)化解為(x,y)=(5.104，1.891)。數(shù)值試驗結(jié)果表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，可以得到非線性二層規(guī)劃問題的最優(yōu)解。

4 結(jié) 語

給出了下層為凸規(guī)劃的一類非線性二層規(guī)劃問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，該算法的設(shè)計比較簡單，易于編程實現(xiàn)，同時值得注意的是利用罰函數(shù)構(gòu)造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型使得系統(tǒng)變量較少，同時可增大罰因子的值以加快網(wǎng)絡(luò)的收斂速度。但是在數(shù)值試驗的過程中，選取不同的初值對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最終穩(wěn)定狀態(tài)有不同的影響，尤其當(dāng)選取決策變量的初值較小時，將得不到最優(yōu)解的穩(wěn)定狀態(tài)，而且罰因子過小起不到懲罰作用，過大又受機器性能影響。因此，該非線性二層規(guī)劃問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的全局穩(wěn)定性研究方面以及初值有待進一步深入。

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[編輯] 李啟棟

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.12.002

O224

A

1673-1409(2011)12-0004-03