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        不動點定理的相關(guān)應(yīng)用

        2011-11-18 03:35:28李承耕
        關(guān)鍵詞:韓山高等教育出版社不動點

        劉 波, 李承耕

        (韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)系, 廣東 潮州 521041)

        不動點定理的相關(guān)應(yīng)用

        劉 波, 李承耕

        (韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)系, 廣東 潮州 521041)

        主要介紹了Banach 不動點理論及其在數(shù)學(xué)分析、積分方程、微分方程中的應(yīng)用,應(yīng)用不動點理論證明了閉域套定理、積分方程和微分方程解的存在唯一性。

        不動點;不動點定理;應(yīng)用

        1 Banach不動點定理

        定義1[1]設(shè)X是給定的集合,T:X→X為X到自身中的映射,如果?x0∈X使得Tx0=x0,則稱x0為映射T的一個不動點。

        定義2[2]設(shè)X=(X,d)是度量空間,T是X到X中的映射,如果存在一個數(shù)a,0

        d(Tx,Ty)≤αd(x,y)

        (1)

        則稱T是壓縮映射。

        定理1[3]設(shè)X=(X,d)是完備的度量空間,T是X上的壓縮映射,那么T有且只有一個不動點。

        2 閉域套定理的證明

        證明設(shè){Dn}是R2中的閉域列,p1,p2是閉域Dn中的2個點,坐標(biāo)為p1(x1,y1),p2(x2,y2),定義距離d(p1,p2)=|x1-x2|+|y1-y2|,則閉域Dn顯然是完備的度量空間。

        對?p(x,y)∈Dk,設(shè)ak=min{x|(x,y)∈Dk},bk=max{x|(x,y)∈Dk},ck=min{y|(x,y)∈Dk},dk=max{y|(x,y)∈Dk},作映射:

        對?p(x,y)∈Dk,有Tp(Dk)?Dk,所以Tp是Dk到自身的一個映射。

        現(xiàn)證T是壓縮映射,任取p1,p2∈Dk,滿足:

        “你小子呀,總算來了?!毙”斫銞顣悦钒褍杀P菜放在餐桌正中間,“你快坐下吧。你們娘倆多親近,我這還有兩個菜,你們先吃著,我就來?!?/p>

        由于Dk+1?Dk,所以:

        令:

        得到:

        d(Tp1,Tp2)≤αd(p1,p2)

        3 積分方程解的存在唯一性

        定理3設(shè)f(x)為a≤x≤b的連續(xù)函數(shù),k(x,t)為正方形a≤x≤b,a≤t≤b上的連續(xù)函數(shù)。若存在常數(shù)M使得:

        由于α=|λ|M(b-a)<1,所以T是C[a,b]到C[a,b]的一個壓縮映射,由Banach不動點定理,存在一個不動點滿足方程。

        4 微分方程解的存在唯一性

        [1]張恭慶,林源渠.泛函分析講義(上冊)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1998.

        [2]程其襄.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2003.

        [3] 薛昌興. 實變函數(shù)與泛函分析[M]. 北京:高等教育出版社,2004.

        [編輯] 洪云飛

        10.3969/j.issn.1673-1409.2011.12.006

        O177.2

        A

        1673-1409(2011)12-0014-02

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