苗則朗,馮永興,張書畢,張秋昭

(1.中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測繪學(xué)院,江蘇徐州 221008;2.江蘇省資源環(huán)境信息工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇徐州 221008)

隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的概率分布函數(shù)研究

苗則朗1,2,馮永興1,張書畢1,張秋昭1

(1.中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測繪學(xué)院,江蘇徐州 221008;2.江蘇省資源環(huán)境信息工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇徐州 221008)

通過仿真計(jì)算出隨機(jī)線元落入其“真實(shí)值”緩沖區(qū)內(nèi)的比例,并采用柯氏檢驗(yàn)法對其進(jìn)行分布擬合檢驗(yàn),得出隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例服從正態(tài)分布的結(jié)論,從而完善線元誤差不確定帶模型。

隨機(jī)線元;緩沖區(qū);正態(tài)分布;柯氏檢驗(yàn)法

一、引 言

線狀地形物的特征一般包括長度和曲率,通常線狀地形物的真實(shí)位置不容易獲得或者獲得的方式比較困難[1],因此不容易對線元整體精度作出評(píng)價(jià)。有關(guān)線狀地形物精度評(píng)價(jià)目前已有多種模型。Perkal于 1956年首先提出了應(yīng)用 Epsilon帶模型來建立線元不確定性模型[2],圍繞“真實(shí)”的位置建立寬度相等的緩沖區(qū),比較測量值與“真值”之間的關(guān)系;Blakemore定義了點(diǎn)與線段的緩沖區(qū)之間的五種位置關(guān)系:絕對在、有可能在、模棱兩可、可能不在、絕對不在[3];Skidmore和 Turner通過查找測量與參考線元之間的數(shù)目估計(jì)線元的精度[4];Goodchild和Hunter利用隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例評(píng)價(jià)隨機(jī)線元的精度[5];Tveite、Langass和張永彬等通過緩沖區(qū)疊置分析,評(píng)價(jià)測量數(shù)據(jù)精度[6-7]。但以上方法均假設(shè)參考線元與測量線元之間不存在偏移,僅考慮方差的影響。為克服以上方法的不足,Joon Heo等在考慮偏移、方差的綜合影響下,提出了非線性最小二乘方法[1],并將該方法應(yīng)用于海岸線退化研究[8]。

以上模型與方法,均直接假設(shè)隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例服從高斯正態(tài)分布,但沒有給出具體的原因或者推導(dǎo)過程,體系稍欠完善。本文基于計(jì)算機(jī)仿真和分布擬合檢驗(yàn)的方法,采用柯爾莫戈羅夫(KolmogorovA N)檢驗(yàn)法對假設(shè)的正態(tài)分布進(jìn)行分布擬合檢驗(yàn),給出了隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例服從高斯正態(tài)分布的結(jié)論及證明過程。

二、誤差函數(shù)及柯氏檢驗(yàn)法

在數(shù)學(xué)中,誤差函數(shù) erf(x)(也稱為高斯誤差函數(shù))是一個(gè)特殊的函數(shù) (非初等函數(shù)),在概率、統(tǒng)計(jì)、材料科學(xué)和偏微分方程等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。erf(x)定義為

誤差函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積函數(shù) (記為Φ)基本相同,可以通過比例和旋轉(zhuǎn)運(yùn)算等同。即

柯氏檢驗(yàn)法由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫戈羅夫首先提出,對于連續(xù)型的隨機(jī)變量,柯氏檢驗(yàn)法較χ2檢驗(yàn)法更好。設(shè) X的分布函數(shù) F(x)是未知的;X1,…,Xn是樣本;F0(x)是給定的某個(gè)分布函數(shù);作如下假設(shè)

首先從樣本出發(fā)求出經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) Fn(x),計(jì)算分歧度

取否定域?yàn)?/p>

當(dāng)計(jì)算出分歧度 Dn的值小于臨界值λ時(shí),則接受 H0。臨界值λ的取值可以由柯爾莫戈羅夫檢驗(yàn)臨界值表查知[9]。

三、模擬步驟及分布擬合分析

1.模擬步驟

隨機(jī)線元及其使用“真實(shí)值”建立的緩沖區(qū)示意圖如圖 1所示,隨機(jī)線元的分布受偏移和方差的影響,文獻(xiàn)[1]論述了偏移和方差對隨機(jī)線元分布的影響。綜合考慮偏移和方差的影響,得出計(jì)算機(jī)仿真的步驟如下:

1)生成隨機(jī)線元。模擬的點(diǎn)分別為 Z1、Z2,并假設(shè) Z1、Z2相互獨(dú)立。其分布依次為

利用Matlab生成上述兩組隨機(jī)點(diǎn),連接兩個(gè)隨機(jī)點(diǎn),即得到該線段一組隨機(jī)線元。

2)圍繞“真實(shí)”線段建立緩沖區(qū)。

3)計(jì)算隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例

4)采用蒙特卡羅方法重復(fù)以上三個(gè)步驟10 000次,將平均值作為該緩沖區(qū)帶寬下隨機(jī)線元落入帶寬為緩沖區(qū)內(nèi)的比例。

5)以一定的步長(如 0.5 m)增加緩沖區(qū)帶寬,重復(fù)以上四個(gè)步驟,得到一系列不同緩沖區(qū)帶寬下隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例。

圖1 隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)示意圖

2.模擬結(jié)果

隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的長度與隨機(jī)線元長度的比值如表 1所示;隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例曲線圖如圖2所示。

表 1 隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例

從圖 2中可以發(fā)現(xiàn)隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例曲線圖與誤差函數(shù) erf(x)曲線圖很接近,為了驗(yàn)證,采用柯氏檢驗(yàn)法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

圖 2 隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例

3.分布擬合檢驗(yàn)

采用柯氏檢驗(yàn)法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。從圖 2可以看出,該曲線的形態(tài)與正態(tài)分布的誤差函數(shù)曲線相似,因此作如下假設(shè)

參數(shù)μ、σ的最大似然估計(jì)值

計(jì)算分歧度Dn

計(jì)算臨界值λ

可知

故認(rèn)為 H0成立。因此,隨機(jī)線元落入“真實(shí)值”緩沖區(qū)內(nèi)的比例服從高斯正態(tài)分布的誤差函數(shù)。

四、結(jié)果分析

本文通過計(jì)算機(jī)仿真,驗(yàn)證了隨機(jī)線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例與正態(tài)分布有著密切的聯(lián)系即其比例符合正態(tài)分布的誤差函數(shù),從體系上完善了 Epsilon帶的應(yīng)用。但文章不足之處在于:①模擬分析是在假設(shè)線元端點(diǎn)分布獨(dú)立的情況下研究的,可以推廣到誤差相關(guān)的一般情形;②研究對象主要是線元,樣本量較小,可以推廣至折線、曲線等更加一般的情況,這是下一步工作的重點(diǎn)。

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Research on Probability D istribution Function of Random L ine within the Buffer Zone

M IAO Zelang,FENG Yongxing,ZHANG Shubi,ZHANGQiuzhao

0494-0911(2011)02-0029-02

P208

B

2010-05-07

苗則朗(1988—),男,安徽碭山人,博士生,主要研究方向?yàn)榈乩硇畔⑾到y(tǒng)算法及遙感圖像處理及模式識(shí)別。