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車 艷 舒慧生

（1.莆田學(xué)院電子信息工程學(xué)系，福建莆田351100；2.東華大學(xué)信息學(xué)院，上海 201620）

一類概率依賴的不完全測量非線性系統(tǒng)的H∞濾波

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車 艷 舒慧生

（1.莆田學(xué)院電子信息工程學(xué)系，福建莆田351100；2.東華大學(xué)信息學(xué)院，上海 201620）

闡述了一類具有不完全測量的，隨機離散非線性系統(tǒng)的H∞濾波問題.不完全測量信息包括了測量數(shù)據(jù)丟失和隨機發(fā)生地通訊延時.通過一組Kroneckerδ函數(shù)，采用一個測量輸出方程同時描述了網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中隨機出現(xiàn)地通訊時延和測量數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象.文章的目的是使得對所有允許的時滯、測量數(shù)據(jù)丟失、隨機非線性及系統(tǒng)內(nèi)外部隨機擾動，濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)滿足均方指數(shù)穩(wěn)定和H∞范數(shù)約束.最后，通過數(shù)值例子來證明文章所述H∞濾波器的有效性.

不完全測量；測量數(shù)據(jù)丟失；隨機通訊時延；H∞濾波；網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)

0 引 言

本文研究了一類具有不完全測量的，隨機離散非線性系統(tǒng)的H∞濾波問題.首先闡述H∞性能指標(biāo).眾所周知，它是用來估計系統(tǒng)干擾抑制水平的.在過去三十年中，自Zames［1］開創(chuàng)性研究以來，H∞控制、濾波理論得到了快速發(fā)展［2－10］，尤其是1988年Doyle等人［11］在美國控制年會上發(fā)表了著名的DGKF論文，證明了H∞控制器設(shè)計問題歸結(jié)為求解兩個適當(dāng)?shù)腞iccati方程.同樣，已經(jīng)證明H∞濾波問題的可解性對于線性情況歸結(jié)為一個適當(dāng)?shù)腞iccati不等式，對于非線性情況歸結(jié)為一個Hamilto－Jacobi不等式.

非線性存在于幾乎所有的現(xiàn)實系統(tǒng)中，對于狀態(tài)方程或量測方程是非線性時，為了簡化系統(tǒng)模型和研究方便，現(xiàn)有文獻對非線性增加了不同的約束條件，廣泛采用的如Lipschitz條件［12－13］.本文考慮的是扇形有界非線性，Lipschitz條件作為其特例，使得這一非線性的描述，更具一般性，更加貼近實際工程情況.

不完全測量包括了測量數(shù)據(jù)丟失和隨機發(fā)生地通訊延時.在各類網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中，例如因特網(wǎng)，傳感器網(wǎng)絡(luò)等，多個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點共享網(wǎng)絡(luò)信道，由于網(wǎng)絡(luò)帶寬有限且網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)流量變化不規(guī)則，當(dāng)多個節(jié)點通過網(wǎng)絡(luò)交換數(shù)據(jù)時，常常出現(xiàn)數(shù)據(jù)碰撞、多路徑傳輸、連接中斷、網(wǎng)絡(luò)擁塞等現(xiàn)象，因而不可避免地出現(xiàn)信息交換時間延遲及丟包現(xiàn)象.本文通過一組Kroneckerδ函數(shù)，建設(shè)性地用一個測量輸出方程同時描述了網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中隨機出現(xiàn)地多重時延和測量數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象.通過仿真證明了文章所述H∞濾波器的有效性.

1 問題描述

考慮下面一類隨機離散非線性系統(tǒng)：

其中x（k）∈?n是狀態(tài)向量，y（k）∈?p是測量輸出，z（k）∈?q是要估計的系統(tǒng)輸出，ω（k）是定義在概率空間（Ω，F(xiàn)，｛Fk∈I＋｝，P）上的一個一維零均值Gaussian白噪聲序列并且滿足Eω（k）2＝1，υ（k）∈?p，是外部隨機信號，A，Bi，C，Di，E1，E2，E3，L1是相適維已知矩陣，di∈I＋（i＝1，2，…，q）是已知時延滿足d1＜d2＜…＜dq，為研究方便設(shè)d0＝0，Ψ（k）是給定初始條件.

｛τk｝是獨立同分布的隨機變量，表示在時刻k發(fā)生時延的大小及測量丟失的概率［14］.δ（τk，di）是Kronecker delta函數(shù)滿足：

φi（·）和ˉφi（·）是滿足下列扇形有界條件的非線性函數(shù)：

其中Ni與（i＝1，2，…，q）是已知正對角矩陣.

對系統(tǒng)（1）設(shè)計如下一般形式的線性濾波器：

其中＾x∈?n是狀態(tài)估計，＾z（k）是z（k）的估計，M1與M2是待設(shè)計濾波器參數(shù)，L2是已知相適維矩陣.設(shè)ξ（k）＝［xT（k）＾xT（k）］T，~z（k）＝z（k）－＾z（k），可有增廣系統(tǒng)：

為研究式（5）的隨機穩(wěn)定性，做下面定義：

定義1 在υ（k）＝0的情況下，如果存在常數(shù)α＞0，β∈（0，1），使得

則濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（5）稱為均方指數(shù)穩(wěn)定.

本文的目的是為系統(tǒng)（1）設(shè)計一個如（4）所示的H∞濾波器，使得下面兩個條件同時滿足：

（R1）濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（5）均方指數(shù)穩(wěn)定；

（R2）給定標(biāo)量γ＞0，對于所有非零ν（k），在零初始條件下，濾波誤差~z（k）滿足

2 主要成果

引 理 1 定 義 Ξ （k）： ＝［ξT（k） ξT（k－1） … ξT（k－dq）］T.考慮下面Lyapunov候選函數(shù)

其中P，Q是正定矩陣，Z在（6）中有定義，如果存在標(biāo)量φ＞0使得

則濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（5）是均方指數(shù)穩(wěn)定.

證明：據(jù)式（9）有

對任一整數(shù)N≥dq＋1，對式（12）兩邊從0至N－1關(guān)于k求和有

因此，濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（5）滿足定義1，是均方指數(shù)穩(wěn)定，至此引理1證明完成.

定理1 給定擾動衰減γ＞0和濾波參數(shù)M1和M2.如果存在正定矩陣P＝PT＞0，Q＝QT使得矩陣不等式（21）成立，則v（k）＝0系統(tǒng)（5）均方指數(shù)穩(wěn)定且濾波誤差~z（k）滿足H∞條件（8）.

證明：首先處理υ（k）＝0情況下式（5）的穩(wěn)定性分析，選擇與式（9）相同的Lyapunov泛函，通過定義V（k）差分有

至此，由引理1知濾波誤差系統(tǒng)（5）均方指數(shù)穩(wěn)定.

下面處理υ（k）≠0情況，容易得到

說明式（5）是均方指數(shù)穩(wěn)定，因此在零初始條件下有

至此，證明完成.

下面的定理2為濾波器參數(shù)的設(shè)計提供了一個充分條件，為了簡潔，定理的證明在此略去.

定理2 給定擾動衰減γ＞0，濾波誤差系統(tǒng)（5）在υ（k）＝0時均方指數(shù)穩(wěn)定；并且濾波誤差~z（k）在零初始條件下及任意非零υ（k）下，如果存在正定矩陣R＝RT＞0，S＝ST＞0，Q＝QT＞0，實數(shù)矩陣Q1，Q2與Q3使得式（31）成立，則（5）均方指數(shù)穩(wěn)定.

綜上所述，文章為非線性隨機系統(tǒng)（1）關(guān)于測量丟失和隨機發(fā)生的通訊時延完成了H∞濾波器的設(shè)計.值得說明的是包含了線性對象和LMIs的式（31）很容易通過常用的數(shù)值軟件解得.

3 數(shù)值例子

本節(jié)通過數(shù)值例子來說明文章所提出理論的有效性.

給定系統(tǒng)（1）的參數(shù)如下：

仿真時，設(shè)置初始條件為x（－2）＝［0.1 －0.1］T，x（－1）＝ ［0.2 －0.2 ］T，x（0）＝［0.3 －0.3 ］T.仿真結(jié)果詳見圖1與圖2，圖1是實際測量輸出和理想測量輸出的比較，圖2是濾波誤差.仿真結(jié)果證明本文所述濾波器性能很好.

圖1 實際測量輸出y1（1，k）與理想測量輸出y2（1，k）Fig.1 Actual measurements y1（1，k）and ideal measurements y2（1，k）

圖2 濾波誤差~z（2，k）Fig.2 Filtering eror~z（2，k）

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Probability－dependent H∞fltering for a class of nonlinear systems with incomplete measurements

CHEYan1，2，SHUHui－sheng2
（1.Department of Electronics and Information Engineering，Putian University，Putian 351100，China；2.College of Information Sciences and Technology，Donghua University，Shanghai 201620，China）

TheH∞filtering problem is discussed for a class of nonlinear stochastic discrete systems with incomplete measurements.The considered incomplete measurements include both the missing measurements and the communication delays of random occurrences.By using a set of Kronecker delta functions，a unified measurement model is employed to describe the phenomena of random communication delays and missing measurements in networked control systems.The purpose of the problem addressed is to design anH∞filter such that，for all nonlinearities，incomplete measurements，internal and external disturbances，the filtering error dynamics is exponentially mean－square stable and theH∞－norm requirement is satisfied.A numerical example is given to illustrate the effectiveness of the proposed filter scheme.

incomplete measurements；missing measurements；randomly occurring communication delays；H∞filtering；networked control systems

TP202

A

10.3969／j.issn.1674－2869.2011.11.025

1674－2869（2011）11－0099－06

2011－04－24

國家自然科學(xué)基金項目（No.60974030）；福建省教育廳科技項目（No.JA11211）

車 艷（1970－），女，黑龍江雙城人，碩士，在讀博士.研究方向：網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的隨機控制、數(shù)據(jù)庫（分布式數(shù)據(jù)庫）及應(yīng)用技術(shù)、計算機操作系統(tǒng).

本文編輯:龔曉寧