白志明,馬 強

(河北科技大學理學院,河北石家莊 050018)

多散射雜質對二維電子系統(tǒng)輸運特性的影響

白志明,馬 強

(河北科技大學理學院,河北石家莊 050018)

利用散射矩陣理論研究了含有多個矩形散射雜質二維系統(tǒng)中電子輸運問題。絕對零度下,電導隨入射電子能量增大,呈臺階式上升形式;雜質寬度的減小使得電導的量子化現象增強;雜質長度的增大,使得電導在最初階段急劇減小,而后呈現周期性振蕩;隨著散射雜質數量的增加,電導由急劇減小也呈現周期性振蕩。溫度的升高使得電導臺階傾斜,量子化現象逐漸消失。

雜質;電導量子化;散射矩陣理論

在凝聚態(tài)物理中,研究電子輸運現象已有很長時間,研究對象絕大多數是室溫下的宏觀物體。室溫下,由晶格振動所引起的非彈性效應會非常頻繁地作用于電子,使其帶有的相位信息被破壞掉[1-9],因此,電子的波動性已幾乎不起作用,于是電子的粒子性占據了主導地位,所運用的理論通常也是經典與半經典的方法(比如,經典的玻爾茲曼方程,它把電子看成是具有確定位置和動量的經典粒子,受到外場、晶格振動、雜質和缺陷的共同作用)。盡管像玻爾茲曼方程這樣的方法在上述領域中已經取得了不錯的成果,但是還有很大的局限性,它很難解決電子波動性起主要作用的電子輸運問題。因為當所研究的體系尺度小到可以和電子的德布羅意波長相比較,且在低溫的情況下時,電子的波動性將起到明顯的作用。而根據不確定關系,這時體系中的電子不能同時具有確定的位置和確定的動量。在這樣的情況下,很多經典的概念和方法是失效的。為了研究這種微小體系的物理特性,需要用量子理論進行研究。上述的微小體系正好屬于介觀體系的范疇。電子器件一旦做到介觀尺度,在研究電子輸運時就不得不考慮電子的相干性。為此,人們做了大量的實驗和理論性工作,提出了一些理論模型和數值計算方法。散射矩陣理論方法[10-12]是常用的方法之一。

在低溫下,介觀體系表現出很多新的量子效應現象 (其中最重要的現象就是電導量子化),為進一步對新的量子效應現象進行研究,筆者利用散射矩陣理論對含有多個矩形散射雜質的二維系統(tǒng)中電子波輸運問題進行分析,并利用量子理論給出系統(tǒng)的電導。

1 理論和模型

圖1 含有多個散射雜質的二維電子系統(tǒng)Fig.1 Two-dimensional electron system w hich containsmultip le scattering impurities

其中 Z1∈[2,N],Z2∈[1,N]。k1(n),k2(n)分別為電子在導電區(qū)域方向上不同區(qū)域 x的波矢。式(1)右端的兩項分別代表向前和向后運動的電子波。N1為電子可能占據橫向子能級數。電子的總能量與波矢及模向量子化能量之間有如下關系

在給定的費米能量 EF下,電子輸運通道數由式(2)決定。在不同區(qū)域的交界面處,電子波函數及其導數連續(xù),因此在 x=0處有方程

式(5)、式(6)和式(7)可以寫成矩陣形式

由此得到

在0

同理,在 x=L0處有

在L0≤x≤L的區(qū)域內,電子波傳播的散射矩陣S4可以直接寫出

S4就是電子波在相鄰2個矩形之間傳播的散射矩陣。因此,電子波從 x=0處(即第1個矩形的左側)傳播到x=L0處(即第1個矩形的右側)的散射矩陣為

同理得到電子波從每一個矩形散射雜質左側傳播到右側的散射矩陣均為SA。令SB=S4?SA,SB為電子波從一個矩形散射雜質右側傳播到下一個矩形散射雜質右側的散射矩陣。因此,電子波從區(qū)域A傳播到區(qū)域B的總散射矩陣為

根據散射矩陣的定義,有

因此S是1個2N1×2N1維的矩陣,它將入射區(qū)域A和透射區(qū)域B中電子波的振幅聯(lián)系起來。由于區(qū)域B是輸出端,則由式(17)得到

若已經求得S11,S21,又因為Aa是已知的,則Ab和Ba可以容易地求得。例如:假如在區(qū)域A中只有第1個模注入,則矩陣 Aa,Ab和Ba分別為

其中rn1代表由第1個模輸入,由第n個模反射的波振幅,tn1代表由第1個模輸入,由第n個模透射的波振幅。k1(n)(n=1,2,…,N1)因子的引入是為了保證流守恒條件 T+R=1。因為Aa是已知的,則由式(18)得到透射率和反射率分別為

如果區(qū)域中有多個橫向模的電子輸入,則需要多次計算而求得總的透射率和反射率。零溫下電導與透射率的關系為

而在非零溫度情況下,系統(tǒng)電導為

2 數值計算和結果分析

圖2 絕對零溫下兩雜質系統(tǒng)的電導 G隨入射電子費米波矢kF的變化關系Fig.2 G VS Fermiwave vecto r of the incident electron at zero temperature for a two-impurity system

電子在散射區(qū)域 HⅡ和 HⅢ的傳播過程中,當電子占據比較高的橫向子能級時,由于散射雜質的存在,式(12)中的k2可能為純虛數,此時為衰減波。由于以k2輸運的電子運動路徑有限,因此衰減波在數值處理過程中應予考慮。

圖3 零溫下兩雜質系統(tǒng)的電導 G隨著W2的變化關系Fig.3 G VS W2at absolute zero temperature fo r a two-impurity system

圖4 絕對零溫下兩雜質系統(tǒng)的電導G隨著L0的變化關系Fig.4 G VS L0at absdute zero temperature for a two-impurity system

圖4給出了絕對零溫下含有兩散射雜質系統(tǒng)的電導 G隨著L0的變化關系。參數選擇為 E=5 eV,W1=2 nm,W2=0.9 nm,L=L0+0.5 nm,0.01 nm≤L0≤2 nm。在系統(tǒng)的尺寸和散射雜質的寬度以及間隔,還有入射電子的能量確定的情況下,隨著散射雜質長度L0從0不斷增大,最初階段電導G急劇減小,接著呈現周期性振蕩。當L0=0時,相對于整個導電區(qū)域中沒有散射雜質,電子在傳輸過程中不會受到散射作用。在這樣的情況下,若在區(qū)域A電子占據 N個通道,則有電導 G=NG0,此時的電導為最大值,圖4中的曲線是符合這一理論解釋的。當L0>0時,開始存在散射作用。在L0比較小的時候,電導G隨著L0的不斷增大急劇減小,電導的這種減小是一種散射效應。當L0增大到0.2 nm時,隨著 L0的增大,電導 G呈現周期性振蕩,周期在0.6～0.7 nm之間,振幅小于1個單位的量子電導 G0。這是一種干涉效應,是電子波動性的體現。電子在區(qū)域A中沿 x軸正向傳輸,遇到矩形散射雜質,受其散射作用,分為2個電導區(qū)域,電子在區(qū)域 HⅡ,HⅢ中傳輸,越過矩形散射雜質后,匯合到區(qū)域 HⅠ中。電子在傳輸的時候,經歷了 N個這樣的過程,最后在區(qū)域B匯合,由于系統(tǒng)的對稱性,電導G呈現周期性振蕩。

圖5 含有五個雜質系統(tǒng)的電導 G隨著 T溫度的變化關系Fig.5 G VS temperiture T for a five-impurity system

圖5給出了含有5個散射雜質系統(tǒng)的電導G隨著溫度 T的變化關系。參數選擇為EF=5 eV,W1=2 nm,W2=0.9 nm,L=1 nm,L0=0.5 nm,0.1 K≤T≤10 K。在系統(tǒng)尺寸以及入射電子的能量確定的情況下,系統(tǒng)的電導 G隨著溫度 T的升高而不斷減小。在絕對零溫情況下,電子在導電區(qū)域傳輸過程中,由于受到 y方向的限制作用,其能量是量子化的,形成了電子占據通道的傳輸模式,從而使得電導呈現臺階式的量子化現象。溫度對電導的影響是極其復雜的,本方法只是考慮了溫度對費米分布函數的影響。隨著溫度的不斷上升,只有能量集中于費米能級 EF附近幾個kBT范圍內的電子才對系統(tǒng)的電導有貢獻。所以系統(tǒng)的電導隨著溫度的不斷上升而逐漸減小。

圖6 絕對零溫下電導 G隨著散射雜質個數 N的變化關系Fig.6 G VS the number of scattering impurities N at absolute zero temperature

圖6給出了絕對零溫下電導 G隨著散射雜質個數N的變化關系。參數選擇為 E=10 eV,W1=2 nm,W2=0.9 nm,L=1.5 nm,L0=1 nm。由圖6看出,在系統(tǒng)尺寸以及間隔,還有入射電子的能量確定的情況下,隨著散射雜質的個數 N的不斷增大,最初階段電導 G開始從最大值急劇地減小,接著呈現周期性振蕩。這一點與圖4十分相似。只有1個散射雜質時,電子波的傳輸受到雜質的散射分為2個導電區(qū)域,從而發(fā)生干涉作用,形成電導 G的周期性振蕩;現在散射雜質變?yōu)槎鄠€,那么電子波在傳輸過程中每遇到1個散射雜質,就會發(fā)生1次干涉作用,所以最終總的干涉作用疊加在一起,也形成了電導G的周期性振蕩的現象。

3 結 論

在絕對零溫的情況下,當散射雜質的尺寸以及間隔確定時,隨著入射電子能量的增大,電導呈現臺階式上升的量子化現象;當系統(tǒng)尺寸、散射雜質的長度及間隔和入射電子能量確定時,隨著散射區(qū)域寬度的增大,電導呈現臺階式上升的量子化現象;當系統(tǒng)的尺寸和散射雜質的寬度以及間隔,還有入射電子的能量確定時,隨著雜質長度從零不斷增大,電導在最初階段急劇減小,接著呈現周期性振蕩;當系統(tǒng)和散射雜質的尺寸以及間隔,以及入射電子的能量確定時,系統(tǒng)的電導隨著溫度的升高而不斷減小;當散射雜質的尺寸以及入射電子能量確定時,隨著散射雜質的個數的不斷增大,最初階段電導急劇減小,接著呈現周期性振蕩。

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Influence of multi-scattering impurities on transport p roperties of two-dimensional electron system s

BA IZhi-m ing,MA Qiang
(College of Sciences,Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang Hebei 050018,China)

By using scattering matrix theory,the electron transpo rt in a two-dimensional system containing multi-rectangular scattering impurities is studied.A t zero temperature,the conductance show s the quantum phenomena w hich increasesw ith the increase of electron energy and w ith the decrease of the w idth of scattering impurities.The impurity makes the conductance decrease rapidly at its small length,and at large length the conductance show s periodic oscillation.In themulti-scattering system,the conductance no longer decreases rapidly butoscillatesw ith increasing number of scattering impurities.The increase of temperaturemakes the conductance stages tilt and the quantum phenomena disappear gradually.

impurity;conductance quantization;scattering matrix theory

O469;O481.3

A

1008-1542(2011)01-0001-07

2010-05-07;

2010-09-21;責任編輯:王士忠

白志明(1962-),男,河北冀州人,教授,博士,主要從事凝聚態(tài)物理理論方面的研究。