蘇化明, 禹春福

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥 230009)

廣義對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用

蘇化明, 禹春福

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥 230009)

廣義對(duì)稱性;積分計(jì)算;考研試題;競(jìng)賽試題

錢昌本教授在[1]中將對(duì)稱性在定積分中應(yīng)用的有關(guān)結(jié)論借助于點(diǎn)函數(shù)推廣為一般情形,得到如下結(jié)論.

若f(P)是區(qū)域Ω上的連續(xù)函數(shù),且區(qū)域Ω具有某種對(duì)稱性,當(dāng)函數(shù)f(P)在Ω中各對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)值的絕對(duì)值相等且符號(hào)相反時(shí)(稱f(P)為相應(yīng)于區(qū)域Ω的奇函數(shù))時(shí),有

當(dāng)f(P)在Ω中各對(duì)稱點(diǎn)處的函數(shù)值相等(稱f(P)為相應(yīng)于區(qū)域Ω的偶函數(shù))時(shí),有

其中區(qū)域Ω1為區(qū)域Ω“對(duì)稱的一半”.

dx,其中n為正整數(shù).(解放軍通訊工程學(xué)院1980年碩士研究生入學(xué)試題;上海交通大學(xué)1994年高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)

解被積函數(shù)可改寫為

積分區(qū)間[0,nπ]關(guān)于

解積分區(qū)域V關(guān)于平面y-z=0對(duì)稱,而被積函數(shù)關(guān)于y-z為奇函數(shù),故由廣義對(duì)稱性知I=0.

解由曲面Σ的方程x2+y2+z2=2ax知

其中L是以點(diǎn)A(1,1),B(2,2)和C(1,3)為頂點(diǎn)的三角形正方向的圍繞.(合肥工業(yè)大學(xué)1985年碩士研究生入學(xué)試題)

解記P(x,y)=2(x2+y2),Q(x,y)=-(x+y)2,由 Green公式知

可利用積分的廣義對(duì)稱性進(jìn)行求解的問題還有很多,下面再列出幾道,但不再給出解答.

[1] 錢昌本.高等數(shù)學(xué)范例剖析240題[M].西安：西安交通大學(xué)出版社,2004：148-156.

[2] 鄒節(jié)銑,陳強(qiáng).1978—1983全國招考研究生高等數(shù)學(xué)試題選解[M].長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社,1983：240-241.

[3] 《大學(xué)數(shù)學(xué)》編輯部.碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題精解[M].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社,2009：194-195.

[4] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].2版.北京：高等教育出版社,2006：871-872.

[5] 吉林大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題精選詳解(上冊(cè))[M].長春：吉林科學(xué)技術(shù)出版社,1986：174-175,195,164,167.

[6] 李心燦,季文鐸,余仁勝,等.大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題、研究生入學(xué)考試難題解析選編[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社, 2005：331-335.

O172.2

A

1672-1454(2011)05-0138-04

2009-04-10