◆胡愛(ài)平 伍度志 葉志勇 蘇理云

(1．重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院;2．后勤工程學(xué)院基礎(chǔ)部)

淺談《概率論》教學(xué)中的一些問(wèn)題

◆胡愛(ài)平1伍度志2葉志勇1蘇理云1

(1．重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院;2．后勤工程學(xué)院基礎(chǔ)部)

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律性的學(xué)科。由于隨機(jī)現(xiàn)象的普遍性決定了該學(xué)科應(yīng)用的廣泛性。鑒于概率論在教與學(xué)中的一些問(wèn)題，本文進(jìn)行了相關(guān)論述。

概率論教學(xué) 概率模型 知識(shí)結(jié)構(gòu)

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律性的學(xué)科，由于隨機(jī)現(xiàn)象的普遍性決定了該學(xué)科應(yīng)用的廣泛性。如今，概率統(tǒng)計(jì)已被高等院校的眾多專業(yè)列為一門必修的基礎(chǔ)課。可是，對(duì)于剛剛接觸這門新課的大學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是一門全新的課程，與以前學(xué)過(guò)的知識(shí)有著本質(zhì)的區(qū)別。因此，學(xué)生在概率論的學(xué)習(xí)過(guò)程中容易出現(xiàn)畏難情緒;另一方面，教師授課也難以達(dá)到好的教學(xué)效果。

一、注意培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)該門課程的興趣

興趣是最好的老師，因此在教學(xué)中如何激發(fā)學(xué)生的興趣是每一位教師都要面臨的問(wèn)題。在這一點(diǎn)上，概率論的教學(xué)具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)楦怕收摼哂泻軓?qiáng)的實(shí)際背景，而且，在概率論的發(fā)展過(guò)程中，出現(xiàn)過(guò)很多引人入勝的典故。因而在教學(xué)過(guò)程中要盡量避免照本宣科，可以利用這些資源來(lái)激發(fā)學(xué)生的興趣。

例如，第一堂課可簡(jiǎn)單講講概率論的發(fā)展史，讓學(xué)生了解到這門學(xué)科與生活緊密相關(guān)，還可結(jié)合學(xué)生所學(xué)專業(yè)講講概率論知識(shí)的用途。講到數(shù)學(xué)期望這個(gè)概念時(shí)，可舉例說(shuō)明購(gòu)買一張彩票的期望所得，保險(xiǎn)公司的贏利情況等。講到小概率事件時(shí)，可聯(lián)系生活實(shí)際:盡管某些事件發(fā)生的概率很小，但一旦發(fā)生，便會(huì)被引起廣泛關(guān)注，如買彩票中頭等獎(jiǎng)、發(fā)生重大交通事故(如空難)、出現(xiàn)特大自然災(zāi)害等，這樣學(xué)生便會(huì)對(duì)小概率事件留下深刻印象，小概率事件不容忽視。

二、幫助學(xué)生將概率知識(shí)融入到已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中去，做到前后知識(shí)的連貫

1．幫助學(xué)生找到新知識(shí)和舊知識(shí)的聯(lián)系

新舊知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)，往往是教學(xué)的重點(diǎn)，有時(shí)也是教學(xué)的啟發(fā)點(diǎn)．對(duì)于實(shí)例做精辟而深刻的分析，這是促進(jìn)新舊知識(shí)相互作用，使新知識(shí)“同化”在已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中。例如，事件的關(guān)系及運(yùn)算與集合的關(guān)系及運(yùn)算的形式完全是一致的，只不過(guò)有不同的含義。連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)這個(gè)概念，學(xué)生一般不好理解，可打個(gè)比方，與物理知識(shí)聯(lián)系起來(lái)。若將區(qū)間上的概率看成“物體的質(zhì)量”，區(qū)間的長(zhǎng)度看作“物體的體積”，兩者之比值正好是密度，只不過(guò)是線密度，這正好是密度函數(shù)名稱的由來(lái)。因此密度函數(shù)在某點(diǎn)值的大小反映了隨機(jī)變量落在該點(diǎn)附近概率的大小。而連續(xù)型隨機(jī)變量落在某區(qū)間(或區(qū)域)上的概率可轉(zhuǎn)化為其密度函數(shù)在該區(qū)間(或區(qū)域)上的積分，完全轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。隨機(jī)變量的概率、期望等的計(jì)算往往借助的是高等數(shù)學(xué)中的積分運(yùn)算;概率分布與密度函數(shù)的關(guān)系就是積分與求導(dǎo)的關(guān)系。因此，概率密度反映的是分布函數(shù)累加的快慢程度。如此類的問(wèn)題很多，都可以幫助學(xué)生建立起聯(lián)系。這樣，學(xué)生就不會(huì)感到陌生。

2．對(duì)于概率論中一些易于混淆的概念要幫助學(xué)生區(qū)分

如隨機(jī)事件“相互獨(dú)立”與“互不相容”，隨機(jī)變量“相互獨(dú)立”與“不相關(guān)”，這兩組概念，學(xué)生容易混淆。而這些概念又分別在不同的章節(jié)中出現(xiàn)，如果教師不有意識(shí)的提出來(lái)加以區(qū)分，學(xué)生很容易出錯(cuò)。因此，在教學(xué)的過(guò)程中，要不停的將新知識(shí)和舊知識(shí)加以比較、區(qū)分、歸類，這樣往往能夠取得很好的教學(xué)效果。

三、在教學(xué)過(guò)程中，注重培養(yǎng)學(xué)生“概率的思維方式”

概率問(wèn)題與生活實(shí)際密切相連，而生活中的問(wèn)題，其條件和背景千差萬(wàn)別，一般沒(méi)有固定的法則和套路，因此解決概率問(wèn)題也沒(méi)有現(xiàn)成的模式或方案。一般首先要從實(shí)際問(wèn)題抽象出概率模型，再進(jìn)行求解。

例如，概率論中兩類重要模型——古典概率模型與重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷闹v解:古典概型的教學(xué)重點(diǎn)不是放在“如何計(jì)數(shù)”上，而是通過(guò)實(shí)際生活中的事例理解古典概型的特征，即試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性。應(yīng)教會(huì)學(xué)生把一些實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為古典概型，不同問(wèn)題歸結(jié)為同一個(gè)概率模型的轉(zhuǎn)化思想。概率中很多問(wèn)題可看成分球入盒模型，下面就是一個(gè)例子:

5個(gè)人在第一層進(jìn)入11層樓的電梯，假如每個(gè)人以相同的概率走出任一層(從第二層開(kāi)始)，求此5個(gè)人在不同樓層走出的概率。

若把樓層看成盒子，人看成球，則此題可看成5個(gè)球向10個(gè)盒子中放，且每個(gè)盒子可放多個(gè)球的分球入盒模型。類似的還有生日問(wèn)題，分房子問(wèn)題等。

也可把一些純數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率模型．

可設(shè)計(jì)如下一個(gè)抽樣模型:一批產(chǎn)品共有a+b個(gè)，其中a個(gè)是不合格品，b個(gè)合格品。從中隨機(jī)取出n個(gè)，n=min(a，b)。則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為n個(gè)產(chǎn)品中不合格品數(shù)的概率分布問(wèn)題，即超幾何分布。

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的教學(xué)重點(diǎn)是正確領(lǐng)會(huì)“重復(fù)”與“相互獨(dú)立”兩個(gè)方面，不可將古典概型中的不重復(fù)抽取當(dāng)作重復(fù)，更不可將非“獨(dú)立”的事件當(dāng)作“獨(dú)立”的事件來(lái)解決。正確區(qū)分二項(xiàng)分布與超幾何分布的背景。很多看起來(lái)千差萬(wàn)別的問(wèn)題都可歸結(jié)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ图捌渑c之有關(guān)的二項(xiàng)分布，問(wèn)題便迎刃而解。

四、一些重要公式的講解可結(jié)合實(shí)例，加深學(xué)生的印象

概率論的一個(gè)重要內(nèi)容是研究怎樣從一些較簡(jiǎn)單事件概率的計(jì)算來(lái)推算較復(fù)雜事件的概率，全概率公式和Bayes公式正好起到了這樣的作用。對(duì)一個(gè)較復(fù)雜的事件A，如果能找到一伴隨A發(fā)生的完備事件組，而計(jì)算各個(gè)的概率與條件概率相對(duì)要容易些，這時(shí)為了計(jì)算與事件A有關(guān)的概率，可能需要使用全概率公式或Bayes公式。

而全概率公式與貝葉斯公式的運(yùn)用以及區(qū)別，學(xué)生一般難以掌握，這時(shí)可講解幾個(gè)給人留下深刻印象的實(shí)例，可用全概率公式分析“敏感性”問(wèn)題。

在醫(yī)療診斷中，為了診斷出現(xiàn)癥狀的患者，到底患了疾病中的哪一種，可用Bayes公式算出在癥狀的情況下，起因于疾病的概率，而后按各個(gè)后驗(yàn)概率的大小來(lái)推斷患者患哪種病的可能性最大。

還可用貝葉斯公式來(lái)分析伊索寓言(孩子與狼)中村民對(duì)這個(gè)小孩的可信程度是如何降低的。

從而結(jié)合上面這樣典型而又令人難忘的例子講清全概率公式與貝葉斯公式的聯(lián)系與區(qū)別，學(xué)生一般較有興趣，易留下深刻印象。

總之，只有在教學(xué)的過(guò)程中不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律，調(diào)整教學(xué)方法和教學(xué)手段，才能取得更好的教學(xué)效果。

［1］茆詩(shī)松等．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］．北京:高等教育出版社，2004．

［2］楊振明．概率論［M］．北京:科學(xué)出版社，1999．

［3］林正炎．概率統(tǒng)計(jì)課程改革的若干建議［J］．高等數(shù)學(xué)研究，2001，4(1)．

［4］伍度志，汪益川，胡愛(ài)平．概率論教學(xué)方法初探．訓(xùn)練與科技，2009，(3)．

重慶市高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(No．113152)資助。