董超 武警北京指揮學(xué)院 100012

運(yùn)用“微元法”培養(yǎng)學(xué)生解決物理問題的能力

董超 武警北京指揮學(xué)院 100012

“微元法”是用來解決物理問題重要方法，也是培養(yǎng)學(xué)生解決物理問題能力的有效途徑。本文針對“微元法”的關(guān)鍵“微元”進(jìn)行了探討，目的是找到解決物理問題的思維方法，從而達(dá)到運(yùn)用“微元法”培養(yǎng)學(xué)生解決物理問題的能力。

物理學(xué)；微元；微元法

物理學(xué)是一門研究物質(zhì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)、運(yùn)動的基本形態(tài)、規(guī)律以及物質(zhì)之間相互作用和轉(zhuǎn)化規(guī)律的自然科學(xué)。就空間而言，從10-15m（質(zhì)子的半徑）到1026m（可探測到的類星體的最遠(yuǎn)距離）的尺度均屬其研究范圍。就時間而論，從10-43s（普朗克時間）到1039s（質(zhì)子的壽命）都在其研究之列。作為公眾關(guān)注的是物理學(xué)在工程技術(shù)中的應(yīng)用結(jié)果，而作為“大學(xué)物理”教師，考慮的是在有限的時間里如何提高給學(xué)生學(xué)物理的積極性、培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，這是我們“物理人”討論的一個永恒的主題。

大學(xué)物理教學(xué)中，常常遇到運(yùn)用“微元法”解決物理問題。所謂“微元法”就是將一些幾何、物理等實際問題轉(zhuǎn)化為定積分來計算的數(shù)學(xué)方法?！拔⒃ā钡睦碚摶A(chǔ)是：①計算的量應(yīng)對于區(qū)間具有可加性。②小區(qū)間上的部分量應(yīng)具線性性。所謂具有“線性性”，即對小區(qū)間上的量而言，總存在關(guān)于的線性函數(shù)，使是比高階的無窮小，也即。

如何用“微元法”解決物理問題是物理教員的重要難題！這個難題的關(guān)鍵是如何尋找“微元”？下面就“微元”作進(jìn)一步的探討。

一 “微元”理論

積分的思想在古希臘時代已有萌芽。公元前5世紀(jì)德謨克利特創(chuàng)原子學(xué)說，把物體看作是由大量微小部分疊加而成，從而求得幾何體的體積。中國古代《莊子·天下篇》中的“一尺之棰” ，芝諾的悖論，歐多克斯的“窮竭法”，劉徽的“割圓法”。他們的目的就是要尋找“微元”這個最小基本單位。

在“大學(xué)物理”教學(xué)中，我們把質(zhì)點(diǎn)、分子、電子等稱作“微元”，學(xué)生可以理解，但對于“元位移”、“元功”、“元電荷”、“元電場”、“元電動勢”、“元電通量”、“元電流”、“元磁場”、“元能量”等等看作“微元”學(xué)生就難以接收。為了更好地掌握“微元”這一重要概念，我在上課前首先從數(shù)學(xué)的角度介紹微元含義。其次用物理的語言來描述“微元”。在 “大學(xué)物理”教學(xué)中，有些學(xué)生會抱怨說：“我們的教學(xué)過于基本，過于理想化，與實際相差甚遠(yuǎn)”。這與教師沒有把尋找“微元”，以及“微元”這個模型在解決物理問題當(dāng)中的重要作用告訴學(xué)生有一定的關(guān)系。所以，我努力讓學(xué)生逐漸體會“微元”的重要性—一旦找到了“微元”，問題無論多么復(fù)雜就都能解決，因為后面的工作就是如何運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，乃至用電腦去解決問題獲得結(jié)果了。例如：在講“功”的問題，學(xué)生以前學(xué)過的是恒力沿直線做功。但更一般的情況應(yīng)該是研究變力沿曲線做功。那么，研究恒力沿直線做功的意義是否僅僅在于“簡單、容易、符合我們的理解力”呢？其實不完全是這樣，研究它的意義還在于它可以作為“微元”來解決問題。因為任何一個變力沿曲線做功的問題，都可以歸結(jié)為恒力沿直線做功的積分。實踐證明：教師只有講清楚了為什么可以運(yùn)用“微元法”的原理，這樣，學(xué)生運(yùn)用起來才得心應(yīng)手、才能真正調(diào)動學(xué)習(xí)物理的興趣、從而達(dá)到了培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的目的。

二 如何尋找“微元”

從理論上來講：只有符合“微元法”原理，都可以用它來解決問題。實際上， “微元”建立的好壞將直接影響求解結(jié)果。為了正確地尋找“微元”，我先舉兩個例子，然后歸納尋找“微元”的有效途徑。例1：一半徑為R的帶電球體，其電荷密度為：

試求：（1）帶電體的總電量；（2）球內(nèi)、外各點(diǎn)的電場強(qiáng)度；（3）球內(nèi)、外各點(diǎn)的電勢。

要解決第（1）問，首先要建立“微元”—“元電荷”，即dQ。其次是求“元電荷”，元電荷又與“元體積”密切相關(guān)。取半徑為r-r+dr的球殼為“體積元”。從而求解“元電荷”為：

最后對帶電球體積分就可以求得總電量Q

對于（2）（3）問，只要正確找到“電荷元”，就可以迎刃而解。

例2 計算質(zhì)量為m，半徑為R的勻質(zhì)圓盤對通過盤心并垂直盤面的軸的轉(zhuǎn)動慣量。

要求轉(zhuǎn)動慣量，關(guān)鍵在 “質(zhì)量元”的選取。在圓盤上任取一半徑為r、寬為d r的窄環(huán)帶作為面元ds，此環(huán)帶的質(zhì)量就是“質(zhì)量元”dm。

為此不難求得對應(yīng)的“慣量元”d I

要求整個圓盤對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量I，只要對dI進(jìn)行定積分得：

由上例子不難看出：正確尋找“微元”是解決問題的關(guān)鍵！尋找“微元”的有效途徑是：1、先假定要求的量的 “微元”。2、找出要求的“微元”與其他“微元”有關(guān)，列出它們之間的關(guān)系。3、對假定的微元進(jìn)行定積分就可以求解。

三 建立“微元”應(yīng)注意的問題

“微元”建立的好壞，它將直接影響到求解的結(jié)果。在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意以下兩個問題：

1、注意微元與物理模型的關(guān)系。物理模型是物理學(xué)處理復(fù)雜問題簡單化的重要工具。在建立微元的過程中，應(yīng)把微元與物理模型有機(jī)地結(jié)合起來。

2、注意所求微元與其他微元之間的關(guān)系。我們所求解的微元大多數(shù)不能直接求解，而是通過其他微元間接求解。所以在建立微元時，應(yīng)區(qū)分能否直接求解？理想情況是直接求解，不能直接求解的就要建立正確的微元與微元之間的關(guān)系。

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.10.165

董超（1968.），女，畢業(yè)于江西師范大學(xué)物理系光學(xué)專業(yè)，碩士研究生?，F(xiàn)任武警北京指揮學(xué)院數(shù)理教研室副主任、副教授。