◆方長榮
(浙江省淳安縣威坪中學(xué))
轉(zhuǎn)動數(shù)學(xué)中的“魔環(huán)”
——例談高中數(shù)學(xué)解題中圓的妙用
◆方長榮
(浙江省淳安縣威坪中學(xué))
圓作為最簡潔完美的幾何曲線,生活中一直都被人們所推崇。我們的身邊處處都有它的影子:1500年前的雄偉的趙州橋;制作精美的圓形大鐘;田徑場彎道處的圓形跑道;還有孩子們最喜歡看的電影《魔環(huán)》……同樣,在數(shù)學(xué)習(xí)題的解決過程中,我們也能時刻看到圓的痕跡。并且它的相關(guān)知識的巧妙應(yīng)用對于數(shù)學(xué)問題的分析解決起著非常重要的作用。本文主要談圓在數(shù)學(xué)解題中多方面的應(yīng)用。
評注:巴普洛夫說過“觀察、觀察、再觀察,觀察能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)”。數(shù)學(xué)解題就是一個觀察到發(fā)現(xiàn)的過程。此題通過畫圖和分析明確了“到點A(1,2)的距離是1的直線是以A(1,2)為圓心半徑為1的圓的切線”,把問題轉(zhuǎn)化為確定兩個圓公切線的數(shù)量。極大地簡化了運算量和解題過程,這正是我們學(xué)生所期盼的,當(dāng)然會引起學(xué)生求知欲望,掌握情況自然很好。同時,教師要及時強(qiáng)調(diào)解析幾何的最基本的思想方法:數(shù)形結(jié)合思想,這對解決解析幾何的一般問題具有指導(dǎo)性意義。
為了充分挖掘此題的功能,最大程度復(fù)習(xí)考察相關(guān)知識,可以考慮將此題進(jìn)行變形。
評注:根據(jù)方程特征,構(gòu)造熟悉簡單的方程,逐層分解研究兩種曲線(函數(shù)),轉(zhuǎn)化為兩個圖像交點問題。即先由數(shù)想形,再由形想數(shù),是復(fù)雜的不熟悉的方程根個數(shù)變得清晰可辨,解題思路頓開。
上述所描述的這些問題:方程、不等式、向量、函數(shù)最值等內(nèi)容幾乎涵蓋了現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)的全部重點知識,而在這些習(xí)題的解決中我們都能見到一個“魔環(huán)”的影子——圓。圓的性質(zhì)圖形的靈活應(yīng)用使我們的解題大為簡便。在教學(xué)中,我們要引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識圓這個“魔環(huán)”的重要作用,發(fā)揮“魔環(huán)”的魔力,切實掌握圓的相關(guān)幾何性質(zhì)。因此,解決數(shù)學(xué)問題時,應(yīng)當(dāng)充分轉(zhuǎn)動圓這個“魔環(huán)”,設(shè)法從“形”的角度構(gòu)造直觀圖形來刻劃問題的條件與結(jié)論,使錯綜復(fù)雜的各種關(guān)系變得清晰可辨,從而解決問題。事實上,這也就是數(shù)學(xué)中最重要的思想方法——數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用。