顧云風(fēng) 南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院 210037

材料力學(xué)中應(yīng)力計(jì)算公式的教學(xué)探討

顧云風(fēng) 南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院 210037

從超靜定問題的角度，通過平截面假設(shè)將軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲的應(yīng)力計(jì)算公式聯(lián)系起來(lái)，最后給出一個(gè)統(tǒng)一計(jì)算公式，并且利用量綱分析的方法幫助學(xué)生理解掌握材料力學(xué)中的應(yīng)力計(jì)算的概念。

材料力學(xué)；平截面假設(shè)；應(yīng)力；教學(xué)方法

引言

材料力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)分支，主要研究桿件在載荷作用下的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等問題。這一課程是機(jī)械、土木、水利和交通等領(lǐng)域的一門重要的技術(shù)基礎(chǔ)課，往往是許多工科學(xué)生的必修課。很多學(xué)生是從這門課開始接觸了力學(xué)中的一些比如應(yīng)力、應(yīng)變等基本概念的，初步了解現(xiàn)代力學(xué)到底是干什么的。雖然材料力學(xué)在固體力學(xué)中是最基礎(chǔ)的，相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但是教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)學(xué)生掌握的情況普遍不太理想。許多工科學(xué)生的理論功底是比較薄弱的，特別是那些在高中沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)物理的學(xué)生。另外現(xiàn)在很多大學(xué)中的力學(xué)課程的課時(shí)安排又很緊張。這些因素導(dǎo)致有些學(xué)生覺得材料力學(xué)內(nèi)容繁雜，概念難以理解，公式不易記住并熟練運(yùn)用。

筆者認(rèn)為對(duì)力學(xué)公式進(jìn)行孤立的機(jī)械記憶效率相當(dāng)?shù)紫?。整個(gè)力學(xué)是一個(gè)完整的體系，其中不同地方的內(nèi)容都是有密切聯(lián)系的。應(yīng)該在深刻理解每一個(gè)定理公式背后的物理含義的基礎(chǔ)上，了解它們之間內(nèi)在的關(guān)系，只有這樣才能融會(huì)貫通?？紤]到這一點(diǎn)，在教學(xué)過程中應(yīng)該注意經(jīng)?；仡櫛容^不同的知識(shí)點(diǎn)。本文以材料力學(xué)中幾種基本變形的應(yīng)力計(jì)算公式為例，分析這些概念內(nèi)在的異同點(diǎn)。

1 桿件橫截面上的應(yīng)力計(jì)算公式

強(qiáng)度問題是材料力學(xué)中的一類比較重要的問題。而計(jì)算這一問題必須涉及桿件中應(yīng)力的計(jì)算。從本質(zhì)上講，這里的應(yīng)力計(jì)算問題都是超靜定問題。比如圖1(a)中的軸向拉伸問題中，靜力平衡方程只能求出軸力 (分布內(nèi)力系的靜力等效結(jié)果)，而無(wú)法求出橫截面上各處的應(yīng)力大小。

材料力學(xué)對(duì)這個(gè)問題的分析并不采用像彈性力學(xué)那樣的嚴(yán)格的解析求解方法，而是借助于一些簡(jiǎn)單的假設(shè)。對(duì)于橫截面上的應(yīng)力計(jì)算問題，這一假設(shè)就是平截面假設(shè)——桿件變形以后橫截面仍然保持為平面。超靜定問題的求解需要用到三方面的關(guān)系：靜力平衡關(guān)系、幾何關(guān)系和物理關(guān)系。平截面假設(shè)提供了幾何關(guān)系。對(duì)圖1(a)中的軸向拉伸問題，根據(jù)平截面假設(shè)，桿件兩個(gè)橫截面間的所有縱向纖維的伸長(zhǎng)是相同的，即變形在橫截面上是均勻分布的。因?yàn)椴牧狭W(xué)一般只考慮均勻材料，所以橫截面上各處的物理關(guān)系是相同的。綜合考慮幾何關(guān)系和物理關(guān)系，可知軸向拉伸桿橫截面上的應(yīng)力是均勻分布的。由此可以用軸力FN和橫截面面積A表示軸向拉伸桿橫截面上的正應(yīng)力

圖1

對(duì)于圓截面扭轉(zhuǎn)問題，幾何關(guān)系仍然是平截面假設(shè)——變形前為平面的橫截面，變形后仍然為平面，形狀和大小不變，半徑保持為直線，不同橫截面只是間距不變地繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。這一幾何關(guān)系表明扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的變形大小是與到圓心的距離成正比的。這里材料的物理關(guān)系在各處仍然是相同的。由此可知橫截面上的切應(yīng)力τ如圖1(b)所示沿半徑線性分布。最后結(jié)合靜力平衡關(guān)系，可以得到橫截面上的切應(yīng)力

此處T、Ip和ρ分別為扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力（扭矩）、橫截面對(duì)圓心的極慣性矩和到圓心距離。

對(duì)于梁的純彎曲問題，作為幾何關(guān)系的平截面假設(shè)指出變形前為平面的橫截面在梁彎曲變形后仍然保持為平面，并且仍然垂直于變形后的軸線?；谶@一假設(shè)，兩個(gè)橫截面之間的縱向纖維的長(zhǎng)度變形是沿著梁的高度線性變化的，進(jìn)一步考慮到材料的物理關(guān)系在各處相同，可以推出梁的橫截面上的正應(yīng)力如圖1(c)所示是按直線規(guī)律變化的。最后加上靜力平衡關(guān)系，可以得到應(yīng)力計(jì)算公式

此處M、Tz和y分別為彎曲時(shí)的內(nèi)力（彎矩），橫截面對(duì)中性軸的慣性矩和到中性軸的距離。

通過將式（1）到（3）的這三個(gè)公式比較可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)力計(jì)算公式可以統(tǒng)一改寫為

其中的“橫截面上內(nèi)力”對(duì)于軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲分別是軸力FN、扭矩T和彎矩M?！皺M截面幾何參數(shù)”代表不同基本變形對(duì)應(yīng)的一種特征的橫截面幾何性質(zhì)。軸向拉壓對(duì)應(yīng)的是零次矩，即橫截面面積A；扭轉(zhuǎn)是對(duì)圓心的二次矩，即極慣性矩IP；彎曲是對(duì)中性軸的二次矩，即軸慣性矩Iz。

“應(yīng)力分布參數(shù)”取決于作為幾何關(guān)系的平截面假設(shè)和物理關(guān)系。由前面的分析可知，軸向拉壓時(shí)，這一參數(shù)可以看成是“1”，表示應(yīng)力均勻分布。扭轉(zhuǎn)和彎曲時(shí)，“應(yīng)力分布參數(shù)”分別是ρ和y，表示應(yīng)力在橫截面上的線性分布特征。

“應(yīng)力分布參數(shù)”也可以用量綱進(jìn)行分析幫助記憶。以[M]和[L]分別表示質(zhì)量和長(zhǎng)度的量綱。軸向拉壓的內(nèi)力FN除以橫截面幾何參數(shù)A后，量綱為[M][L]-2，正好是應(yīng)力的量綱，所以式（1）中的“應(yīng)力分布參數(shù)”是一個(gè)無(wú)量綱量。對(duì)式（2）和式（3）進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，“應(yīng)力分布參數(shù)”必須是一個(gè)具有長(zhǎng)度量綱的參數(shù)。

2 結(jié)束語(yǔ)

本文從超靜定問題的角度分析了材料力學(xué)中軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲這些基本變形中桿件橫截面上應(yīng)力計(jì)算公式的內(nèi)在的邏輯聯(lián)系。本文利用平截面假設(shè)這一幾何關(guān)系將這些概念聯(lián)系起來(lái)，并且用一個(gè)統(tǒng)一的公式表示應(yīng)力計(jì)算公式，另外提出量綱分析的方法幫助學(xué)生記憶。教學(xué)實(shí)踐證明這種方法可以有效地幫助學(xué)生深入理解材料力學(xué)的基本概念。

[1] 劉鴻文. 材料力學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社.2008

[2] 孫訓(xùn)方. 材料力學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社.2002

顧云風(fēng)，男，江蘇省南京市南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院講師，碩士，研究方向：固體力學(xué)。

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.09.157